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衡陽市八中2021級高二上期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：本試卷滿分為150分，時量為120分鐘一、單選題1．設(shè)集合，，則（????）A．B．C．D．【答案】D【詳解】試題分析：集合，集合，所以,故選D.2．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（????）A．B．C．1D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)關(guān)系解決即可.【詳解】，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為1．故選：C．3．已知向量均為單位向量，且，則（????）A．2B．C．4D．【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及垂直關(guān)系的向量表示即可求解.【詳解】解：因為向量均為單位向量，且，所以，，所以，故選：B.試卷第17頁，共18頁 4．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（????）A．B．C．2D．4【答案】C【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到，再根據(jù)的幾何意義得解；【詳解】解：拋物線，即，則，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：C5．沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）.在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點(diǎn)處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐漏到另一個圓錐中需用時27分鐘，則經(jīng)過19分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（????）A．1:1B．2:1C．2:3D．3:2【答案】B【分析】由題意漏下來的沙子是全部沙子的，然后根據(jù)體積之比可得答案.【詳解】由題意漏下來的沙子是全部沙子的，下方圓錐的空白部分就是上方圓錐中的沙子部分，∴可以單獨(dú)研究下方圓錐，∴，∴，∴.故選：B6．設(shè)，，，則（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的單調(diào)性，分別計算三個式子的取值范圍，比較大小.試卷第17頁，共18頁 【詳解】，因為，所以，，所以.故選：D.7．已知函數(shù)），若在（0，π）上有2個極大值，則的取值范圍是（????）A．[，）B．[，]C．（，]D．（，]【答案】C【分析】先對函數(shù)化簡，然后由，所以再由在（0，π）上有2個極大值，可得，從而可求出的取值范圍【詳解】由題意可得．因為，所以因為在（0，）上有2個極大值，所以，所以，故選：C8．在正方體中，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，在三角形內(nèi)有一動點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，利用點(diǎn)到面的距離的向量求法和可構(gòu)造方程組求得坐標(biāo)，利用可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試卷第17頁，共18頁 則，，，，，，，，設(shè)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，與到平面的距離，又，，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號），即的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中距離之和的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠求得關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，從而利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點(diǎn)確定當(dāng)三點(diǎn)共線時取得最小值.二、多選題9．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的有（????）A．試卷第17頁，共18頁 B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是【答案】AD【分析】A選項，數(shù)量積為0，則兩向量垂直；B選項，判斷出不是單位向量，且與不共線；C選項，利用向量夾角坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；D選項，利用數(shù)量積為0，證明出，從而得到結(jié)論.【詳解】，故，A正確；不是單位向量，且與不共線，B錯誤；，C錯誤；設(shè)，則，，所以，又，所以平面的一個法向量是，D正確.故選：AD10．已知函數(shù)，則（????）A．是的極小值點(diǎn)B．有兩個極值點(diǎn)C．的極小值為D．在上的最大值為【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，可判斷ABC選項；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D選項.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，則有兩個極值點(diǎn)，B正確；且當(dāng)時，取得極小值，A正確；試卷第17頁，共18頁 且極小值為，C錯誤；又，，所以在上的最大值為，D正確.故選：ABD.11．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前和項和，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（????）A．B．C．是數(shù)列中的最大項D．【答案】AC【分析】由題意，根據(jù)，，即可確定的取值范圍；根據(jù)求解出的的取值范圍，來判斷的大小，然后判斷選項B；根據(jù)已知和的取值，判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，從而可以確定前n項積的最大值；利用等比中項的性質(zhì)，將前n項積轉(zhuǎn)化成，從而進(jìn)行判斷.【詳解】由等比數(shù)列公比為，，，，由可得，，得或（舍去），故，綜上故選項A正確；，故選項B錯誤；由已知，，可知T2020是數(shù)列{Tn}中的最大項，故該選項C正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以，故該選項D錯誤.故選：AC.12．公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為“黃金分割比”，把離心率為“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線試卷第17頁，共18頁 的一個頂點(diǎn)為，與不在軸同側(cè)的焦點(diǎn)為，的一個虛軸端點(diǎn)為，為雙曲線任意一條不過原點(diǎn)且斜率存在的弦，為中點(diǎn)．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列說法中，正確的有（????）A．B．C．D．若，則恒成立【答案】ABC【解析】由為黃金分割雙曲線可得，即，對兩邊同除以可得，則，A正確；對繼續(xù)變形得，，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，B正確；設(shè)，，，將坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，，作差后整理可得，即所以，故C正確；設(shè)直線，則直線，將代入雙曲線方程，可得，則，，將換成即得，則試卷第17頁，共18頁 與，的值有關(guān)，故D錯誤，故選：ABC．三、填空題13．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有__________種不同的情況.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同學(xué)在三個位置上全排列，由分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3種情況，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，其他三名同學(xué)排在三位置全排列有種，由分步乘法計數(shù)原理可知共有種，故答案為：.14．已知圓的圓心為，且有一條直徑的兩個端點(diǎn)分別在兩坐標(biāo)軸上，若直線與交于兩點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)__________．【答案】或【分析】根據(jù)直線與圓相交，圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，即可求解.【詳解】圓的一條直徑的兩個端點(diǎn)分別在兩坐標(biāo)軸上，該圓一定過原點(diǎn)，半徑為，又圓心為，故圓的方程為圓心到直線的距離為即，解得或．故答案為：-1或-1115．已知，為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是__________.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（m，n），y＝ln（x+b）的導(dǎo)數(shù)為，試卷第17頁，共18頁 由題意可得=1，又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，因為a、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為8．16．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，故，又，所以，即，所以是定義在上的奇函數(shù)；又因為，所以，即，兩式相加，再整理得：，所以由得，即，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以在上，由，解得；又當(dāng)時，，即，故，即，綜上：的解集為，故的解集為.故答案為：.試卷第17頁，共18頁 四、解答題17．已知分別為內(nèi)角的對邊，且(1)求角；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合正弦定理，邊化角即可求解角；（2）結(jié)合三角形面積公式與余弦定理求解，即可得的值.【詳解】（1）解：，由正弦定理得，所以由于，所以，則，又，所以；（2）解：由（1）得，由余弦定理得，，.18．在數(shù)列中,,,設(shè).（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明過程見詳解；；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，計算，根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可得出結(jié)論成立；進(jìn)而可求出，從而得出的通項公式；（2）先記數(shù)列的前項和為，根據(jù)錯位相減法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，試卷第17頁，共18頁 所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；又，所以，因此，即；（2）記數(shù)列的前項和為，則①所以②①②得所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推關(guān)系證明等差數(shù)列，以及求數(shù)列的通項與數(shù)列的求和問題，熟記等差數(shù)列概念，通項公式，等比數(shù)列的求和公式，以及錯位相減法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型.19．在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，，，分別為，，的中點(diǎn)，平面，與平面所成的角為．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理和面面平行的判定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）連結(jié)．∵，分別為，的中點(diǎn)，試卷第17頁，共18頁 ∴，即四邊形是梯形，∵，為分別為，的中點(diǎn)，∴，而平面，平面∴平面，????∵、為分別為、的中點(diǎn)，∴，而平面，平面∴平面，又，平面，平面，????∴平面平面，平面，∴平面；（2）∵，為的中點(diǎn)，∴，∵平面，故，，兩兩垂直．分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，由得，，∵與平面所成的角為，而平面，∴，∴，∴，，，????易知為平面的法向量，，，試卷第17頁，共18頁 設(shè)為平面的法向量，∴，令，則為平面的一個法向量，????∴，???∴平角與平面的夾角的余弦值為.20．2022年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對黨章黨史的認(rèn)知程度，針對黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識競賽，滿分100分分及以上為認(rèn)知程度高，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：第二組：第三組：第四組：第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．若有甲年齡，乙年齡試卷第17頁，共18頁 兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率.【答案】(1)32.25，(2)【分析】（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖求解平均年齡與第80百分位數(shù)；（2）按照分層抽樣確定第四組抽取人數(shù)與編號，第五組抽取人數(shù)與編號，列舉樣本空間中所有樣本點(diǎn)及事件“甲、乙兩人至少一人被選上”的所有符合的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型公式計算即可得所求概率.【詳解】（1）解：設(shè)這m人的平均年齡為，則歲設(shè)第80百分位數(shù)為a，由，解得（2）解：由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為A，B，C，甲，第五組抽取2人，記為D，乙.對應(yīng)的樣本空間為：,甲，,乙，，，,甲，,乙，，,甲，,乙，，甲,乙，甲,，乙,，共15個樣本點(diǎn).設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則,甲，,乙，,甲，,乙，,甲，,乙，甲,乙，甲,，，乙,，共有9個樣本點(diǎn).所以，21．已知點(diǎn)為橢圓C：上一點(diǎn)，A、B分別為C的左、右頂點(diǎn)，且的面積為5．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與C相交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在x軸上方），AM，BN與y軸分別交于點(diǎn)G，H，記，分別為，（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由的面積為5與點(diǎn)在橢圓C上得到關(guān)于的方程組，解之即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線l的方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為的面積為5，點(diǎn)為橢圓C：上一點(diǎn)，試卷第17頁，共18頁 所以，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知直線l的斜率不為零，故設(shè)方程為，聯(lián)立為，消去，得，設(shè)，則，故，又因為，所以，又，則直線的方程為，令，得，則，同理可得：，所以，因此為定值..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達(dá)定理解決相應(yīng)關(guān)系，其中的計算量往往較大，需要反復(fù)練習(xí)，做到胸有成竹.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性試卷第17頁，共18頁 (2)設(shè)為的兩個不同零點(diǎn)，證明：當(dāng)時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)性；（2）由可整理得到，將所證不等式化為，采用分析法可知只需證明即可；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，得到；令，，利用導(dǎo)數(shù)可證得，由取等條件不同可知，由此可證得不等式.【詳解】（1）當(dāng)時，，則定義域為，；①當(dāng)時，，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，解得：（舍）或，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）不妨設(shè)，則，且，試卷第17頁，共18頁 兩式作差整理得：，，；；要證，只需證，又，則只需證；即證；令，則，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，即，；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；試卷第17頁，共18頁 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；，即；又，，成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式的問題；本題證明不等式的基本思路是采用分析法，將所證不等式分割為兩個部分：和，采用構(gòu)造函數(shù)的方式進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.試卷第17頁，共18頁