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衡陽市八中2021級高二上期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：本試卷滿分為150分，時量為120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．設(shè)集合，，則（????）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（????）A．B．C．1D．3．已知向量均為單位向量，且，則（????）A．2B．C．4D．4．拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（????）A．B．C．2D．45．沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）.在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐漏到另一個圓錐中需用時27分鐘，則經(jīng)過19分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（????）A．1:1B．2:1C．2:3D．3:26．設(shè)，，，則（????）試卷第5頁，共5頁 A．B．C．D．7．已知函數(shù)），若在（0，π）上有2個極大值，則的取值范圍是（????）A．[，）B．[，]C．（，]D．（，]8．在正方體中，，點是線段上靠近點的三等分點，在三角形內(nèi)有一動點（包括邊界），則的最小值是（????）A．B．C．D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知空間中三點，，，則下列結(jié)論正確的有（????）A．B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是10．已知函數(shù)，則（????）A．是的極小值點B．有兩個極值點C．的極小值為D．在上的最大值為11．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前和項和，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（????）A．B．試卷第5頁，共5頁 C．是數(shù)列中的最大項D．12．公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為“黃金分割比”，把離心率為“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線的一個頂點為，與不在軸同側(cè)的焦點為，的一個虛軸端點為，為雙曲線任意一條不過原點且斜率存在的弦，為中點．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列說法中，正確的有（????）A．B．C．D．若，則恒成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有__________種不同的情況.（用數(shù)字作答）14．已知圓的圓心為，且有一條直徑的兩個端點分別在兩坐標(biāo)軸上，若直線與交于兩點，，則實數(shù)__________．15．已知，為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是__________.16．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為__________.試卷第5頁，共5頁 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．已知分別為內(nèi)角的對邊，且(1)求角；(2)若的面積為，求的值.18．(12分）在數(shù)列中,,,設(shè).（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.19．(12分）在三棱錐中，，，，分別為，的中點，，，分別為，，的中點，平面，與平面所成的角為．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．20．(12分）2022年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對黨章黨史的認(rèn)知程度，針對黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識競賽，滿分100分分及以上為認(rèn)知程度高，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：第二組：第三組：試卷第5頁，共5頁 第四組：第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．若有甲年齡，乙年齡兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率.21．(12分）已知點為橢圓C：上一點，A、B分別為C的左、右頂點，且的面積為5．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線l與C相交于點M，N（點M在x軸上方），AM，BN與y軸分別交于點G，H，記，分別為，（點O為坐標(biāo)原點）的面積，證明：為定值．22．(12分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性(2)設(shè)為的兩個不同零點，證明：當(dāng)時，．試卷第5頁，共5頁