《東北育才學(xué)校科學(xué)高中部2023-2024學(xué)年度高考適應(yīng)性測試（一）數(shù)學(xué)Word版.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

東北育才學(xué)?？茖W(xué)高中部2023-2024學(xué)年度高三高考適應(yīng)性測試（一）數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷共150分,考試時間120分鐘。分四大題，22小題，共6頁2.請將各題答案填寫在答題卡上。3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容一、單選題（每題只有一個選項是正確答案，每題5分，共40分）1．歐拉公式（其中，為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（????）A．的實部為B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限C．D．的共軛復(fù)數(shù)為2．在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（????）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，半正多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體．如圖，某廣場的一張石凳就是一個阿基米德多面體，它是由正方體截去八個一樣的四面體得到的．若被截正方體的棱長為，則該阿基米德多面體的表面積為（????）A．B．C．D．4．公元年，唐代李淳風(fēng)注《九章》時提到祖暅的開立圓術(shù).祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理，我們可以應(yīng)用此原理將一些復(fù)雜幾何體轉(zhuǎn)化為常見幾何體的組合體來計算體積.如圖，將雙曲線與直線所圍成的平面圖形繞雙曲線的實軸所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體，下列平面圖形繞其對稱軸（虛線所示）旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體與的體積相同的是（????） A．圖①，長為?寬為的矩形的兩端去掉兩個弦長為?半徑為的弓形B．圖②，長為?寬為的矩形的兩端補(bǔ)上兩個弦長為?半徑為的弓形C．圖③，長為?寬為的矩形的兩端去掉兩個底邊長為?腰長為的等腰三角形D．圖④，長為?寬為的矩形的兩端補(bǔ)上兩個底邊長為?腰長為的等腰三角形5．已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（????）A．B．3C．D．6．英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項和為，則（????）A．B．C．D．7．在中，，，，為線段上的動點，且，則的最小值為（????）A．B．C．D．8．設(shè)正實數(shù)，，分別滿足，則，，的大小關(guān)系為（????）A．B．C．D．二、多選題（每題至少有一個選項為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分） 9．“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（????）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大10．對于正弦函數(shù)，當(dāng)時，關(guān)于的函數(shù)稱為“反正弦函數(shù)”，記作，如：；同樣的，對于余弦函數(shù)，當(dāng)時，關(guān)于的函數(shù)稱為“反余弦函數(shù)”，記作，如，則下列說法正確的是（????）A．“反正弦函數(shù)”與“反余弦函數(shù)”的定義域均為B．“反正弦函數(shù)”與“反余弦函數(shù)”的單調(diào)性相同C．“反正弦函數(shù)”是奇函數(shù)，“反余弦函數(shù)”是偶函數(shù)D．若，，且，則11．在中，P，Q分別為邊AC，BC上一點，BP，AQ交于點D，且滿足，，，，則下列結(jié)論正確的為（????）A．若且時，則，B．若且時，則，C．若時，則D．12．一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”．下列結(jié)論正確的是（????）A．若為的跟隨區(qū)間，則 B．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”三、填空題（每題5分，共20分）13．科拉茨是德國數(shù)學(xué)家，他在1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.這是一個很有趣的猜想，但目前還沒有證明或否定.如果對正整數(shù)（首項）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則滿足條件的的所有不同值的和為___________.14．已知，則_____________.15．已知，過點傾斜角為的直線交于、兩點（在第一象限內(nèi)），過點作軸，垂足為，現(xiàn)將所在平面以軸為翻折軸向紙面外翻折，使得，則幾何體外接球的表面積為______．16．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著等比數(shù)列的相關(guān)知識.已知長度為4的線段，取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17．如圖，已知曲線及曲線.從上的點作直線平行于軸，交曲線于點，再從點作直線平行于軸，交曲線于點，點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列. (1)試求與之間的關(guān)系，并證明：；(2)若，求的通項公式.18．已知的內(nèi)角所對的邊分別為.(1)求；(2)為內(nèi)一點，的延長線交于點，___________，求的面積.請在下列兩個條件中選擇一個作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題.①的三個頂點都在以為圓心的圓上，且；②的三條邊都與以為圓心的圓相切，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分.19．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上的報告中提到，新時代十年我國經(jīng)濟(jì)實力實現(xiàn)歷史性躍升，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增長到114萬億元，我國經(jīng)濟(jì)總量穩(wěn)居世界第二位.建立年份編號為解釋變量，地區(qū)生產(chǎn)總值為響應(yīng)變量的一元線性回歸模型，現(xiàn)就2012-2016某市的地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)計如下：年份20122013201420152016年份編號12345地區(qū)生產(chǎn)總值（億元）2.83.13.94.65.6(1)求出回歸方程，并計算2016年地區(qū)生產(chǎn)總值的殘差；(2)隨著我國打贏了人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅戰(zhàn)，該市2017-2022的地區(qū)生產(chǎn)總值持續(xù)增長，現(xiàn)對這11年的數(shù)據(jù)有三種經(jīng)驗回歸模型、、，它們的 分別為0.976、0.880和0.985，請根據(jù)的數(shù)值選擇最好的回歸模型預(yù)測一下2023年該市的地區(qū)生產(chǎn)總值；(3)若2012-2022該市的人口數(shù)（單位：百萬）與年份編號的回歸模型為，結(jié)合（2）問中的最佳模型，預(yù)測一下在2023年以后，該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值的變化趨勢．參考公式：，；20．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值. 21．已知雙曲線：的右焦點為，漸近線方程為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點.(1)求的方程；(2)若直線的斜率為1，求線段的中點坐標(biāo)；(3)點、在上，且，.過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①在上；②；③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.22．已知函數(shù)．(1)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；東北育才學(xué)校科學(xué)高中部2023-2024學(xué)年度高考適應(yīng)性測試（一）數(shù)學(xué)參考答案1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實部定義、復(fù)數(shù)的幾何意義、模長的計算和共軛復(fù)數(shù)定義依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，則實部為，A錯誤；對于B，對應(yīng)的點為，，，對應(yīng)的點位于第二象限，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，則其共軛復(fù)數(shù)為，D錯誤.故選：C.2．D【分析】利用三角恒等變換公式和正弦定理，把中等式化為，從而 ，得或，然后結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】根據(jù)正弦定理可得，所以所以，即，整理得，則或，因為，，，，則或，即或，所以由不能推出；當(dāng)為等腰三角形時，不一定為，也不一定相等，所以由不能推出，故p是q的既不充分也不必要條件．故選：D3．A【分析】通過圖形可知阿基米德多面體是由六個全等的正方形和八個全等的等邊三角形構(gòu)成，分別求解正方形和等邊三角形面積，加和即可.【詳解】由題意知：阿基米德多面體是由六個全等的正方形和八個全等的等邊三角形構(gòu)成，其中正方形邊長和等邊三角形的邊長均為；阿基米德多面體的表面積.故選：A.4．B【分析】將所有圖形均以矩形的中心為原點，以對稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)在 軸的最短和最長距離與雙曲線實軸長和幾何體母線長對比可排除③④；假設(shè)，與雙曲線相交后旋轉(zhuǎn)，可求得圓環(huán)面積；分別在①②中求得與圖形相交所得的弦長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的圓環(huán)面積和圓面積是否與已知的圓環(huán)面積相等來判斷出結(jié)果.【詳解】由得：，則當(dāng)與相交于兩點時，內(nèi)圓半徑，則在該位置旋轉(zhuǎn)一周所得圓環(huán)面積為；將所有圖形均以矩形的中心為原點，以對稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，對于③，雙曲線實軸長為，③中軸的最短距離為，不合題意，③錯誤；對于④，幾何體母線長為，④中軸的最長距離為，不合題意，④錯誤；對于①，在軸的最短距離為，母線長為，與幾何體吻合；當(dāng)與①中圖形相交時，兩交點之間距離為，此時圓環(huán)面積為，不合題意，①錯誤對于②，在軸的最長距離為，矩形高為，與幾何體吻合；當(dāng)與②中圖形相交時，兩交點之間距離為，此時圓面積為，與圓環(huán)面積相同，滿足題意，②正確.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題以祖暅原理為載體，考查了旋轉(zhuǎn)體截面面積的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠充分理解祖暅原理，根據(jù)直線與平面圖形的相交弦來確定旋轉(zhuǎn)后所得的圖形，并求得圖形面積，根據(jù)“冪勢既同，則積不容異”來得到結(jié)論.5．C【分析】由題設(shè)條件有，令則有、，應(yīng)用基本不等式求范圍且恒成立，進(jìn)而求的范圍，即可得結(jié)果. 【詳解】由，則，且，所以，令，則，且，所以，即，僅當(dāng)時等號成立，對于恒成立，僅當(dāng)，即時等號成立，綜上，若，則，而，則，只需，所以，僅當(dāng)，即時等號成立，綜上，，僅當(dāng)，即時等號成立.所以目標(biāo)式最小值為.故選：C6．A【分析】先求得，然后等比數(shù)列的前項和公式求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】依題意，，，，依題意，即，則，（由于，所以），則，兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以. 所以，所以.故選：A7．C【分析】由已知條件求得解得，，，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【詳解】設(shè)，，根據(jù)題意得，解得，，，，，又、、三點共線，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是由已知條件求出后，再由三點共線，得，所以化簡后結(jié)合基本不等式可求出其最小值，8．C【分析】分別作出函數(shù)，，圖像，根據(jù)三個圖像分別與函數(shù)圖像交點情況比較大小.【詳解】由，得，，，分別作函數(shù)，，圖像，如圖所示， 它們與函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)分別為，，，有圖像可得，故選：C.9．AC【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)可知，，則可判斷出AB選項，再由正態(tài)曲線的特征即可判斷出CD選項.【詳解】因為正態(tài)分布密度函數(shù)為，所以，，即均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，方差為100，故A正確，B錯誤；根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，所以該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多，故C正確，隨機(jī)測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大.故D錯誤．故選：AC.10．AD【分析】根據(jù)反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，因為正、余弦函數(shù)的值域均為，所以“反正弦函數(shù)”與“反余弦函數(shù)”的定義域均為，即A正確；對于B中，因為正弦函數(shù)單調(diào)遞增，所以增大時，也增大，即“反正弦函數(shù)”單調(diào)遞增，同理可知，“反余弦函數(shù)”單調(diào)遞減，即B錯誤；對于C中，由B可知，“反余弦函數(shù)”單調(diào)遞減，不可能是偶函數(shù)，即C錯誤；對于D中，設(shè)，，則，，因為，，所以，，又由，則，即，所以，則，即，即D正確．故選：AD11．AD【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，得到， ，代入相應(yīng)的變量的值，求出其他變量，從而判斷AB選項，對上式變形得到，假設(shè)成立，推導(dǎo)出，得到矛盾，故C錯誤，根據(jù)向量共線定理的推論得到，，變形得到.【詳解】由題意得：，，，，即即，所以，因為三點共線，所以，當(dāng)且時，，解得：，，，，所以，即，即，所以，因為三點共線，所以，當(dāng)且時，，解得：， 故A正確；若且時，，，解得：，B錯誤；，變形為：，①若時，則，代入①式得：假設(shè)成立，則，解得：，此時，顯然無解，故假設(shè)不成立，故C錯誤；同理可得：，，所以，，所以D正確.故選：AD【點睛】利用向量共線定理的推論得到關(guān)系式，然后解決向量的倍數(shù)關(guān)系，本題中要能在多個等式中進(jìn)行適當(dāng)變形，然后找到等量關(guān)系12．CD【分析】根據(jù)“跟隨區(qū)間”的定義對選項逐一分析，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域等知識確定正確答案.【詳解】對于A選項，若為的跟隨區(qū)間，因為在區(qū)間為增函數(shù)，故其值域為，根據(jù)題意有，解得或，因為故.故A錯誤．對于B選項，由題，因為函數(shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù)，若存在跟隨區(qū)間則有，即為的兩根．即的根.故.故B錯誤．對于C選項，若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，因為為減函數(shù)， 故由跟隨區(qū)間的定義可知，即，因為，所以．易得．所以，令代入化簡可得，同理也滿足，即在區(qū)間上有兩不相等的實數(shù)根．故，解得，故C正確．對于D選項，若存在“3倍跟隨區(qū)間”，則可設(shè)定義域為，值域為.當(dāng)時，易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時易得為方程的兩根，求解得或.故定義域，則值域為．D正確．故選：CD【點睛】關(guān)于新定義函數(shù)類型問題的求解，主要的解題思路是理解新定義，并將新定義的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識來進(jìn)行求解，如本題中新定義的“跟隨區(qū)間”，根據(jù)它的定義，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定義域和值域問題來進(jìn)行求解.13．190【分析】利用第八項為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項即可求解n的所有可能的取值.【詳解】設(shè)對正整數(shù)按照上述變換，得到數(shù)列：，則：則的所有可能取值為，共6個.其和為，故答案為：190.14．30【分析】利用二項式定理的原理與組合的意義求解即可.【詳解】因為，所以是含項的系數(shù)， 若從10個式子中取出0個，則需要從中取出3個，7個1，則得到的項為；若從10個式子中取出1個，則需要從中取出1個，8個1，則得到的項為；若從10個式子中取出大于或等于2個，則無法得到含的項；綜上：含的項為，則含項的系數(shù)為，即.故答案為：.15．【分析】翻折前，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標(biāo)，然后以以原坐標(biāo)原點為原點，原縱軸的負(fù)半軸所在直線為軸，直線所在直線為軸，過點且垂直于平面的直線作軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心為，根據(jù)球心的性質(zhì)可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個未知數(shù)的值，可得出球心的坐標(biāo)，可求得球的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】翻折前，設(shè)點、，則，直線的方程為，聯(lián)立可得或，即點、，易知點，翻折后，以原坐標(biāo)原點為原點，原縱軸的負(fù)半軸所在直線為軸，直線所在直線為軸，過點且垂直于平面的直線作軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)四棱錐的外接球球心為， 由題意可得，解得，所以，球心為，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.16．；．【分析】依題可知，各等邊三角形的面積成等比數(shù)列，公比為，首項為，即可求出以及，再根據(jù)分組求和法以及錯位相減法求出．【詳解】依題可知，各等邊三角形的面積形成等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，即；，而，設(shè)，，作差得： ，所以，所以．故答案為：；．17．(1)，證明見解析(2)【分析】（1）由題意可得，從而有，再根據(jù)在上，即可得與之間的關(guān)系，根據(jù)，可得與異號，再結(jié)合，即可得證；（2）根據(jù)，可得，兩式相除，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】（1）由已知，，從而有，因為在上，所以有，所以，由及，知，下證：，因為，所以與異號，因為，所以，所以，即；（2）由 可得，兩式相除得，又，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，解得.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知等式結(jié)合正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換，即可得角的大小；（2）選擇條件①，利用三角形的外心為，根據(jù)正弦定理、余弦定理可得為等邊三角形，再利用面積公式可得的面積；選擇條件②，利用三角形的內(nèi)心為，利用等面積法求得，再根據(jù)余弦定理得，即可求得的面積.【詳解】（1）在中，因為，所以，由正弦定理，得，因為，所以，化簡，得，因為，所以.（2）選條件①：設(shè)的外接圓半徑為，則在中，由正弦定理得，即，由題意知：，由余弦定理知：， 所以.在中，由正弦定理知：，所以，從而，所以為等邊三角形，的面積.選條件②：由條件知：，由，得，因為，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因為，所以，所以的面積.19．(1)，殘差為(2)選用更好，17.773億元(3)逐年遞增【分析】（1）應(yīng)用最小二乘法求回歸直線方程即可；（2）由相關(guān)指數(shù)的大小，結(jié)合其的實際意義確定較好模型，進(jìn)而估計2023年該市的地區(qū)生產(chǎn)總值；（3）由題設(shè)可得該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值，利用單調(diào)性定義判斷其在上的單調(diào)性即可.【詳解】（1）由數(shù)據(jù)，，，而，，所以，則，綜上，回歸方程為， 當(dāng)時，，故2016年地區(qū)生產(chǎn)總值殘差為.（2）根據(jù)相關(guān)指數(shù)越大擬合越好，由于，故模型較好，因2023年對應(yīng)，則億元.（3）由（2）及題設(shè)知：該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值，令，且，若，所以，而且，則，故，所以在上遞增，則在上遞增，所以該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值逐年遞增.20．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)彎曲度、曲率的定義求得正確答案.（2）（i）結(jié)合多面體的表面積的求法求得；（ii）利用導(dǎo)數(shù)求得蜂房表面積最小時的值.令，利用余弦定理求得，結(jié)合三角恒等變換的知識求得頂點的曲率的余弦值.【詳解】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個菱形的7個頂點的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于減去三個菱形的內(nèi)角和，再減去6個直角梯形中的兩個非直角內(nèi)角和，即蜂房曲頂空間的彎曲度為.（2）（i）如圖所示，連接AC，SH，則，設(shè)點在平面的射影為O，則，則，菱形SAHC的面積為，側(cè)面積，所以蜂房的表面積為.（ii）， 令得到，所以在遞增；在遞增.所以在處取得極小值，也即是最小值.此時，在中，令，由余弦定理得，又頂點的曲率為，.21．(1)(2)(3)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程和右焦點列出方程，即可求出答案；（2）首先求出點M的軌跡方程即為其中k為直線的斜率；若選擇①②∶設(shè)直線的方程為，求出點M的坐標(biāo)，可得M為的中點，即可推出；若選擇①③︰當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，求出點M的坐標(biāo)，即可； 若選擇②③∶設(shè)直線的方程為，設(shè)的中點C，求出點C的坐標(biāo)，可得點M恰為中點，故點M在直線上．【詳解】（1）由題意可得，即，解得，因此C的方程為；（2）由直線的斜率為1，得直線的方程為，聯(lián)立，得：，不妨設(shè),聯(lián)立，得：，不妨設(shè),故線段的中點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，故線段的中點的坐標(biāo)為；（3）由題意設(shè)直線的方程為，將直線的方程代入得,,因為，，，，設(shè)點M的坐標(biāo)為,則，整理得，，，解得，又因為，，，；若選擇①②作條件：設(shè)直線的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，則，解得 同理求得，，此時點M的坐標(biāo)滿足，解得，故M為的中點，即，即③成立；若選擇①③作條件：當(dāng)直線的斜率不存在時，點M即為點，此時不在直線矛盾，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，則，解得，同理解得，此時，，由于點M同時在直線上，故解得，因此，即②成立．若選擇②③作條件：設(shè)直線的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，則，解得，同理可得，設(shè)的中點為,則，由于，故M在的垂直平分線上，即點M在直線上，將該直線與聯(lián)立，解得，即點M恰為中點，即點M在直線上,①成立； 【點睛】本題考查了雙曲線方程的求法以及雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，計算量大，解答時要明確解題思路，關(guān)鍵是聯(lián)立方程進(jìn)行計算十分繁雜，要特別注意準(zhǔn)確性.22．(1)(2)證明見解析【分析】（1）化簡，令，得到且，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，求得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，結(jié)合且，得到在上存在一個零點，設(shè)為，進(jìn)而得到的單調(diào)性，求得的最小值，即可求解；（2）由（1）得到不等式恒成立，即恒成立，從而證得，進(jìn)而證得，得到，進(jìn)而證得結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)，令，因為，可得，且，因為在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時，不等式，顯然成立，所以等價于在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又因為，所以在上存在一個零點，設(shè)為， 所以當(dāng)時，，可得，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，可得，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，且為最大值，由，所以，即實數(shù)的取值范圍為.（2）解：由（1）知，當(dāng)時，不等式恒成立，即，即恒成立，當(dāng)，且時，可得，所以，所以，所以，又因為，所以.【點睛】思路點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．