《重難點(diǎn)7-1 圓的最值與范圍問題（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測）（解析版）.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重難點(diǎn)7-1圓的最值與范圍問題與圓相關(guān)的最值問題是近幾年高考數(shù)學(xué)對(duì)圓的考查的重點(diǎn)內(nèi)容。主要考查與圓相關(guān)的參數(shù)范圍問題和圓相關(guān)的長度或面積的最值及問題。一般以選擇題和填空題的形式考查，但還需注意與圓錐曲線相結(jié)合的問題?！绢}型1圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值范圍】滿分技巧圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題：一般都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值。已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為，則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為，即連結(jié)并延長，為與圓的交點(diǎn)，為延長線與圓的交點(diǎn).【例1】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)，則的最大值為（）A．8B．9C．D．【答案】C【解析】設(shè)，，由，得，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，即，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，因?yàn)?，，所以點(diǎn)在圓外，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以的最大值為.故選：C【變式1-1】（2024·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，易知，由可得，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，又，可得的最大值為到圓心的距離再加上半徑，即.故選：D【變式1-2】（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足：，則的最大值為（）A．2B．C．D．3【答案】B【解析】設(shè)，其中，則，∵，∴，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，∴即為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，∴的最大值為.故選：B.【變式1-3】（2023·上?！じ呷袑?shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)．點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，∴中點(diǎn)到圓心的距離為，由圓的定義可知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以，半徑的圓，又∵點(diǎn)在圓∴的最小值為：.故選：B.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式1-4】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，且為直角三角形，得，連接，則，即四邊形是正方形，，因此點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而，于是，所以的取值范圍為.故選：D【題型2圓上一點(diǎn)到直線的最值范圍】滿分技巧圓上的點(diǎn)到直線的距離最值問題：已知圓和圓外的一條直線，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于【例2】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線和圓，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由題知，圓，其中圓心，半徑為1，直線過定點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為到圓心的距離加上圓的半徑，即.故選：C學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式2-1】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若點(diǎn)M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值為．【答案】【解析】設(shè)，則滿足；易知圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，如下圖所示：易知，所以，即，整理可得；同理可得，即是方程的兩組解，可得直線的方程為，聯(lián)立，即；令，可得，即時(shí)等式與無關(guān)，所以直線恒過定點(diǎn)，可得；又在圓內(nèi)，當(dāng)，且點(diǎn)為的延長線與圓的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大；最大值為.【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意知，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，當(dāng)，此時(shí)圓上有個(gè)點(diǎn)滿足，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)，此時(shí)圓上有個(gè)點(diǎn)滿足，所以圓上到直線距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故C正確.故選：C.【變式2-3】（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離分別為和，且，則點(diǎn)和點(diǎn)距離的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，由得，即，即，也即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以點(diǎn)和點(diǎn)距離的最小值為.【變式2-4】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為.【答案】【解析】令，則，整理得，所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，又直線：可化為，易知過定點(diǎn)，由，故點(diǎn)在圓外，則圓心與定點(diǎn)所在直線與直線垂直，圓心與直線距離最大，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.【題型3過圓內(nèi)定點(diǎn)的最值范圍】滿分技巧過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長最值：已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過點(diǎn)的所有弦中最長為直徑，最短為與該直徑垂直的弦.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)直線為l，方程變形為，所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑，因?yàn)?，所以在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線時(shí)，弦最短，因?yàn)?，所以，?dāng)直線l過圓心時(shí)，弦最長為，故的取值范圍為.故選：.【變式3-1】（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直線被圓所截得的弦長的最小值為.【答案】2【解析】直線，即，則，即直線過定點(diǎn)，由于，故點(diǎn)在圓，當(dāng)圓心和的連線與直線垂直時(shí)，直線被圓所截得的弦長最短，圓心為，和的距離為，故弦長的最小值為.【變式3-2】（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C:，直線：，直線被圓C截得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．1D．【答案】B【解析】因?yàn)橹本€：，方程可化為，令，解得，故直線過定點(diǎn)，且在圓C:內(nèi)，又,故當(dāng)直線被圓C截得的弦長最短時(shí)，有，則，解得，故選：B.【變式3-3】（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過圓內(nèi)點(diǎn)有若干條弦，它們的長度構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，且，其中分別為過點(diǎn)的圓的最短弦長和最長弦長，則的取值集合為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，則，可知，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，解得，又因?yàn)榍?，則，所以的取值集合為.故選：C.【變式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，直線，當(dāng)圓被直線截得的弦長最短時(shí)，直線的方程為.【答案】【解析】由題意，直線的方程化為，由得∴直線過定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心的連線垂直于直線，，解得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 代入到直線的方程并化簡得.【題型4圓的切線長的最值范圍】滿分技巧切線長度的最值求法1、代數(shù)法：利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；2、幾何法：把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值為.【例4】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切線長的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，由勾股定理可得,所以要使切線長取最小值，只需取最小值即可.當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，取最小值，則的最小值是.故選：A.【變式4-1】（2023·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，過點(diǎn)P作圓C：的切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為．【答案】【解析】圓C的圓心為，半徑，標(biāo)準(zhǔn)單位圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，可知圓C與標(biāo)準(zhǔn)單位圓外離，即點(diǎn)P在圓C外，由題意可知：，且，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.【變式4-2】（2023·河北石家莊·高三統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，由題可知，整理得，圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為2.如圖，因?yàn)?，所以，?dāng)取得最小值時(shí)，有最小值，由圖可知，的最小值為，所以的最小值為.故選：A學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，取最小值.又由圓的切線性質(zhì)可得此時(shí).【變式4-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，連接，則，可得，所以，即，可得，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【題型5距離和差的最值范圍】滿分技巧圓中的距離和差問題可借助圓的幾何特性進(jìn)行舉例轉(zhuǎn)化，有時(shí)需結(jié)合對(duì)稱性及三點(diǎn)共線距離最短的性質(zhì)求解最值?！纠?】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）已知為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線（點(diǎn)為切點(diǎn)），為圓上一動(dòng)點(diǎn)．則的最小值是（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】如圖所示，連接，可得，且垂足為要使得取得最小值，即，又由，，顯然，當(dāng)最小時(shí)，同時(shí)取得最小值，所以，當(dāng)時(shí)，且，所以.故選：B.【變式5-1】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）已知A為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓E：上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故，則圓關(guān)于對(duì)稱的圓的方程為，要使的值最大，則（其中為關(guān)于直線的對(duì)稱圓上的點(diǎn)）三點(diǎn)共線，且該直線過兩點(diǎn)，如圖，其最大值為.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】由圓，可得圓心，半徑為，又由點(diǎn)，可得點(diǎn)在直線上的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，解得，即，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即，則，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，此時(shí)，則，此時(shí)取得最大值，最大值為，所以，即的最大值為.【變式5-3】（2023·上海青浦·高三?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則的最小值為（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，由，得，化簡整理得，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，，設(shè)，則，故，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.【變式5-4】（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎獔AO：和點(diǎn)，點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取，連接，則，又，所以，又，故∽，故，從而，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：C【題型6與角度有關(guān)的最值范圍】滿分技巧學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 與角度有關(guān)的最值范圍問題的處理方法：利用三角函數(shù)定義，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為邊的比值，觀察線段之間的關(guān)系再進(jìn)行處理?！纠?】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，圓可化為，則圓心，半徑．設(shè)切線為，連接，因?yàn)閳A的半徑為2，所以在中，．所以．當(dāng)點(diǎn)是線段的延長線與圓的交點(diǎn)時(shí)，線段的長最大，此時(shí)，所以的最大值為．【變式6-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為拋物線上一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示：因?yàn)?，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)最大，最小，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 且，故C正確.故選：C【變式6-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，則，，所以，整理可得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，，，故三點(diǎn)共線，如圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)，為銳角且最大，最大，即，由，此時(shí)，則.故選：B【變式6-3】（2024·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知圓：與直線：（），過上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圓：，圓心，半徑，由的最小值為，可得．又，，所以的最小值為2，而圓心到直線：（）的距離等于2，即，解得，故選：D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式6-4】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，已知D為邊BC上一點(diǎn)，，．若的最大值為2，則常數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令且，即，則外接圓半徑為，若，的外接圓方程為，所以，令圓心為，即點(diǎn)在圓被分割的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，如下圖，要使的最大，只需與圓相切，由上易知，則，而，由圓的性質(zhì)有，中，，顯然，由，則，所以，可得（負(fù)值舍），故，而，所以，整理得，則.故選：D【題型7代數(shù)式幾何意義的最值范圍】滿分技巧利用代數(shù)法的幾何意義求最值1、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線斜率的最值問題；2、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)距離的平方的最值問題；3、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線縱截距的最值問題學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例7】（2023·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）若點(diǎn)是圓:上一點(diǎn),則的最小值為（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】圓:可化為表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方,因?yàn)?，所以的最小值?故選：B.【變式7-1】（2023·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面四邊形中，點(diǎn)，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，則的取值范圍是【答案】【解析】設(shè)，則，由得，整理得，.表示到點(diǎn)的距離平方，，所以到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，所以的范圍是，所以的范圍是，也即的取值范圍是.【變式7-2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知是曲線上的點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】，由題意可知,作出圖形，如圖所示，因?yàn)槭乔€上的點(diǎn)，則表示過點(diǎn)兩點(diǎn)直線的斜率，顯然當(dāng)位于處時(shí)，有最大值，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 顯然當(dāng)位于處時(shí)，有最小值，所以所以故的取值范圍是【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值為；的最大值為．【答案】；【解析】由題意得：將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，故的軌跡是以為圓心、1為半徑的圓；的幾何意義為到距離的平方；如上圖可知：當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，到距離最大，此時(shí)，故；因?yàn)椋?，故可設(shè)：，所以圓與直線需有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離：，解得：，所以：最大值為．【變式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┮阎本€交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．9B．16C．27D．30【答案】D【解析】由題設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，連接，則，即，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)直線為，則到的最小距離為，過分別作直線的垂線，垂足分別為，則四邊形是直角梯形，且是的中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線，所以，即，即，所以的最小值為30.故選：D.【題型8圓中面積的最值范圍】滿分技巧與圓有關(guān)的面積最值問題一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解?！纠?】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，直線交軸于，交軸于，則，圓的圓心到直線的距離，而圓的半徑為，于是圓上的點(diǎn)到直線的距離的范圍為，所以的面積.故選：C【變式8-1】（2024·廣東廣州·高三玉巖中學(xué)校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】圓C：，即圓C：，圓心坐標(biāo)，半徑為3；由題意過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個(gè)全等的三角形的面積的和，因?yàn)?，，顯然PC最小時(shí)四邊形面積最小，即，所以所以四邊形PACB的面積的最小值為，故選：B.【變式8-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最大值為.【答案】【解析】圓C的方程可化為，則圓心為，半徑為2，連接PC，則在中，，所以四邊形PACB的面積，（由切線長定理知，故）連接CO并延長，當(dāng)點(diǎn)P是線段CO的延長線與圓O的交點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，所以四邊形PACB面積的最大值為.【變式8-3】（2024·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為（）A．B．C．2D．4【答案】B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】由題意得，，，，當(dāng)垂直直線時(shí)，，，故選：B.【變式8-4】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考期中）如圖，已知圓：，圓：，過直角坐標(biāo)原點(diǎn)作直線分別交兩圓于過點(diǎn)作直線分別交兩圓于，連接，則四邊形面積的最大值為【答案】【解析】設(shè)軸與圓交于，點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，連結(jié)，則：，.同理：所以：，設(shè)，則??則：，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則：，所以：設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1B．C．2D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，且兩圓的半徑分別為，即兩圓外離，所以的最小值為.故選：B2．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)，則．因?yàn)?，所以P是圓A：上的點(diǎn)．又點(diǎn)P與點(diǎn)距離的最大值為，即，所以．故的最大值為17．故選：B.3．（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】如圖，依題意得點(diǎn)，在直線上，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)在圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓上，設(shè)，則，解得，且半徑為，所以圓，則，設(shè)圓的圓心為，因?yàn)?，所以，?dāng)五點(diǎn)共線，在線段上，在線段上時(shí)“”成立．因此的最大值為5．故選：C4．（2024·河北·高三張北縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，圓上有一動(dòng)點(diǎn)Q，直線上有一動(dòng)點(diǎn)M，直線與圓相切，直線與圓相切，則的最小值為（）A．4B．5C．D．【答案】D【解析】由圓可得圓心，半徑為，由圓可得圓心，半徑為，設(shè)直線上有一動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)橹本€與圓相切，直線與圓相切，所以，即，即，設(shè)，則,學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).故選：D.5．（2022·四川廣安·高三岳池中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，，則（）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最大值是【答案】B【解析】圓的方程可化為，設(shè)，且，且，則，當(dāng)，時(shí)，取得最大值，故A錯(cuò)誤；，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B正確；，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：B6．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，則，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有，，則點(diǎn)A，B在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑，則其方程為，變形可得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 聯(lián)立，可得圓D和圓O公共弦為：，又由，則有，變形可得，則有，可解得，故直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，，當(dāng)時(shí)，C到直線AB的距離最大，M到直線AB的距離也最大，則點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選:B.7．（2024·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測）（多選）已知，點(diǎn)到直線：的垂足為，，，則（）A．直線過定點(diǎn)B．點(diǎn)到直線的最大距離為C．的最大值為D．的最小值為【答案】AB【解析】已知，則，故直線過定點(diǎn)，正確；設(shè)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的最大距離即，正確；過點(diǎn)作直線直線：的垂線，垂足為，則恒成立，故的軌跡是以為直徑的圓，而，，則該圓的圓心為，半徑，故的軌跡方程為，又由，則，故N在圓外，故的最大值為，最小值為，故,錯(cuò)誤．故選：．8．（2023·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，.記線段，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 的中點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓的方程為B．四邊形面積的最大值為C．弦的長度的取值范圍為D．直線恒過定點(diǎn)【答案】AD【解析】設(shè)圓心為，則半徑為，依題意，，解得，則，因此圓的方程為，A正確；連接,則，又，則四邊形為矩形，設(shè)，則，，故，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形面積取到最大值，B錯(cuò)誤；當(dāng)弦過圓心時(shí)最長，最大值為4；當(dāng)弦時(shí)最短，最小值為，即弦的長度的取值范圍為，C錯(cuò)誤；矩形的對(duì)角線互相平分，而，則過的中點(diǎn)，D正確.故選：AD9．（2023·湖北荊州·湖北省松滋市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線被圓截得的弦最長時(shí)，C．直線被圓截得的弦最短時(shí)，D．直線被圓截得的弦最短弦長為【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的方程可化為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長，此時(shí)，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長最短，直線的斜率為，，由，解得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：此時(shí)直線的方程是，圓心到直線的距離為，可得，所以最短弦長是，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．（2024·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考期末）已知半徑為的圓C經(jīng)過點(diǎn)，則圓心C到直線的距離的最大值為．【答案】【解析】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，因?yàn)榘霃綖榈膱AC經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故圓心C到直線的距離的最大值為點(diǎn)A到直線l的距離加上半徑，即.11．（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)在直線上，則的最小值為．【答案】2【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓．因?yàn)閳A心到直線的距離，所以．12．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】由可得：，令，則直線過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑．當(dāng)直線經(jīng)過圓心時(shí)，，當(dāng)直線時(shí)，．綜上，的取值范圍是．13．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)成公差非零的等差數(shù)列，集合，，若，則的最大值為.【答案】【解析】成公差非零的等差數(shù)列，則，動(dòng)直線變形為，令，解得，動(dòng)直線過定點(diǎn)，直線的一個(gè)法向量為，若，則直線，點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心為中點(diǎn)，半徑，，則的最大值為.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：，則當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為．【答案】【解析】，所以半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，半徑最小，此時(shí)圓心為，圓心到原點(diǎn)的距離為，因?yàn)椋栽c(diǎn)在圓外，根據(jù)圓的性質(zhì)，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為.15．（2023·廣東東莞·高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）對(duì)平面上兩點(diǎn)A、B，滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)A，B是此圓的一對(duì)阿波羅點(diǎn)．不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的另一個(gè)點(diǎn)組成一對(duì)阿波羅點(diǎn)，且這一對(duì)阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 只與阿波羅點(diǎn)相對(duì)于圓的位置有關(guān)．已知，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值是．【答案】【解析】由題意知：，即，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)按順序共線時(shí)取等號(hào)），又，的最小值為.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司