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楊家坪中學高2024屆高二下第一次月考數(shù)學試卷一、單選題1.若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式直接得出結果.【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B2.已知函數(shù)，若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出，再利用導數(shù)的定義可得，進而代入求解即可【詳解】因為，則，所以，故，故，解得故選：B.3.等比數(shù)列的前n項和，則（）A.B.2C.1D.【答案】A【解析】【分析】求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式確定參數(shù)的值. 【詳解】，當時，，因為是等比數(shù)列，所以，得，所以A正確.故選：A4.若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為非負數(shù)，列不等式，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調遞增，得，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B5.在數(shù)列中，，若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)遞推關系，求出數(shù)列的項，根據(jù)數(shù)列的周期性求解.詳解】，，，，，，可以看出四個循環(huán)一次，故．故選：D6.已知函數(shù)，在區(qū)間內任取兩個實數(shù)，，且，若不等式 恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將恒成立轉化為的導函數(shù)大于1在上恒成立，即，然后求最值即可.【詳解】因為，所以，即，因為恒成立，所以函數(shù)在上任意兩點連線的斜率大于1，則的導函數(shù)大于1在上恒成立，所以，整理得，所以，因為二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，所以在上單調遞減，所以.故選：A.7.借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線代替在切點附近的曲線來近似計算，例如：求，我們先求得在處的切線方程為，再把代入切線方程，即得，類比上述方式，則（）．A.1.00025B.1.00005C.1.0025D.10005【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設，求出切線，以直代曲計算即可.【詳解】設，可得，， 曲線在點處的切線對應的函數(shù)為，因為與之間的距離比較小，在切點附近用切線代替曲線進行近似計算，，故選：A8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把函數(shù)零點問題轉化為方程根的問題，轉化為兩函數(shù)的交點問題，再利用導數(shù)研究函數(shù)的大致圖象進行求解判斷.【詳解】函數(shù)恰有5個零點等價于關于的方程有5個不同的實根．由，得或．因為，所以，由，得或，由，得，則在和上單調遞增，在上單調遞減．因為，，當時，，當時，，所以可畫出的大致圖象： 由圖可知有2個不同的實根，則有3個不同的實根，故，故A，C，D錯誤.故選：B.二、多選題9.下列正確的是（）A.B.數(shù)列的通項公式為，則110是該數(shù)列的第10項C.數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是同一個數(shù)列D.若函數(shù)是偶函數(shù)，則導函數(shù)—定是奇函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)求導公式可判斷A；根據(jù)數(shù)列的通項公式求解可判斷B；根據(jù)數(shù)列的定義可判斷C；根據(jù)奇偶函數(shù)的定義結合復合函數(shù)求導，可判斷D.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，令，解得或（舍去），即110是數(shù)列第10項，B正確；對于C，數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，中數(shù)字的排列順序不同，故不是同一個數(shù)列，C錯誤；對于D，函數(shù)偶函數(shù)，函數(shù)定義域關于原點對稱， 則，故，即，故導函數(shù)—定是奇函數(shù)，D正確，故選：BD10.等差數(shù)列的前n項和記為，若，，則成立的是（）A.B.C.的最大值是D.當且僅當時，【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質得到，再結合得到，即可判斷A選項；根據(jù)和得到，的最大值為，即可判斷BC選項；根據(jù)和等差中項的性質得到，即可判斷D選項.【詳解】因為，所以，即，又，所以，故A錯；因為，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，又，所以，，的最大值為，故BC正確；，故D錯.故選：BC.11.若函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)a的值可能是（）.A.B.C.0D.1【答案】ABC【解析】【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的性質可得為函數(shù)的極小值點，為極大值點.根據(jù)題意可知函數(shù)的極小值點必在區(qū)間內，即且，解不等式組即可.【詳解】令，解得，所以當時， 當時，所以為函數(shù)的極小值點，為函數(shù)的極大值點.因為函數(shù)在區(qū)間上有最小值，所以函數(shù)的極小值點必在區(qū)間內，即實數(shù)a滿足，且.由，解得.不等，即，有，，所以，即.故實數(shù)a的取值范圍是.故選：ABC.12.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.函數(shù)只有兩個極值點B.方程有且只有兩個實根，則的取值范圍為C.方程共有4個根D.若，，則的最大值為2【答案】ACD【解析】【分析】對函數(shù)求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值判斷；分析函數(shù)的性質，借助圖象判斷；結合圖象和函數(shù)的零點判斷；由結合取最大值的x值區(qū)間判斷D作答.【詳解】對于，對求導得：，當或時，，當時，，即函數(shù)在，上單調遞減，在上單調遞增，因此，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，故選項正確； 對于，由選項知，作出曲線及直線，如圖，要使方程有且只有兩個實根，觀察圖象得當時，直線與曲線有2個交點，所以方程有且只有兩個實根，則的取值范圍為，故選項錯誤；對于，由得：，解得，令，則，結合圖象方程有兩解，，，所以或，因為，所以，所以方程有兩解；又因為，結合圖象可知：也有兩解，綜上：方程共有4個根，故選項正確；對于，因為，而函數(shù)在上單調遞減，因此當時，，當且僅當，所以t的最大值為2，故選項正確.故選：CD【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).三、填空題 13.已知等比數(shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和等于___________【答案】【解析】【分析】由等比數(shù)列性質可得，求得，得到，再由等差數(shù)列的前項和，即可求解，得到答案.【詳解】在等比數(shù)列中，滿足，由等比數(shù)列的性質可得，即，所以，又由，所以所以數(shù)列的前項和，故答案為：.14.滑縣木版畫是河南安陽最傳統(tǒng)的手工藝品，創(chuàng)始于明朝初期，距今已有六百多年的歷史了，滑縣木版畫制作工藝考究，至今一直都是純手工制作，顏色精細淡雅，色彩和諧，人物造型夸張，線條剛勁有力，極具當?shù)氐拿袼滋厣畯埲A的伯伯制作滑縣木版畫并出售，寒假期間張華通過調研得知伯伯制作的A系列木版畫的成本為30元/套，每月的銷售量（單位：套）與銷售價格x（單位：元/套）近似滿足關系式，其中，則當A系列木版畫銷售價格定為__________元/套時，月利潤最大．【答案】50【解析】【分析】根據(jù)題意可得月利潤為，求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，進而可求最值點.【詳解】設A系列木版畫的月利潤為，則，，可得，令，則，當時，，當時，， 在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，利潤取到極大值，也是最大值，即當A系列木版畫銷售價格定為50元/套時，月利潤最大．故答案為：50.15.設函數(shù)在上存在導數(shù)，對于任意的實數(shù)，有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】借鑒積分思想，可設，結合，易證為過原點的奇函數(shù)和減函數(shù)，分別列出和，將整體代換，對參數(shù)進行分類討論即可求解.【詳解】可設①，則，因為當時，，即，在上單減，②，聯(lián)立①②可得，，所以在上單減，為奇函數(shù).③，④，聯(lián)立③④可得，即，所以，顯然，當時，原不等式等價于，即，所以，解得，故；當時，原不等式等價于，即，所以，解得，故， 綜上所述，實數(shù)的取值范圍是故答案為：16.若數(shù)列滿足，則稱該數(shù)列為“切線-零點數(shù)列”，已知函數(shù)有兩個零點1、2，數(shù)列為“切線-零點數(shù)列”，設數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前項和為，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的零點可求得的值，求出，推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，進而可求得.【詳解】因為有兩個零點1、2，由韋達定理可得，解得，所以，，由題意可得，所以，又因為，所以，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，故答案為：【點睛】本題的關鍵點在于由得到，再證明數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列. 四、解答題17.已知函數(shù)，且在點處的切線與平行．（1）求切線的方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值點．【答案】（1）（2）增區(qū)間，減區(qū)間，極小值點為2，無極大值點【解析】【分析】（1）求導，然后通過列方程求出的值，代入求出，利用點斜式可求出切線的方程；（2）令，求出單調區(qū)間，根據(jù)單調區(qū)間可得極值點.【小問1詳解】由已知，在點處的切線與平行，，解得，，切線的方程為，即；【小問2詳解】由（1）得，令，得，令，得，函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，極小值點為2，無極大值點.18.已知正項數(shù)列和為數(shù)列的前項和，且滿足， （1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項剔除后，按從條到大的順序構成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，求．【答案】（1），；（2）11302．【解析】【分析】（1）由，利用得出數(shù)列的遞推式，得數(shù)列是等差數(shù)列，求得后可得通項公式，再計算出；（2）先看數(shù)列中前100項內有多少項是中的項，從而可以確定中前100項的最后一項是中的第幾項，其中含有中的多少項，從而求得．【詳解】（1）因為，所以時，，兩式相減得，，因為，所以，又，，所以，所以，，；（2），又，，因此，所以．【點睛】易錯點睛：本題考查由求數(shù)列的通項公式，考查分組求和法．在應用公式求時要注意，即不包含，需另外計算，同樣如果求得的是遞推式，也要確認遞推式是否是從開始的，否則需要要驗證含有的項是否符合表達式．19.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，，，E為CD的中點. （1）求證：平面平面PCD；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質定理得，再根據(jù)等腰三角形三線合一得，最后利用面面垂直的判定即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標系，求出平面PBC和平面PCD的法向量，根據(jù)二面角的空間向量求法即可得到答案.【小問1詳解】∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵四邊形ABCD為菱形，，∴是正三角形，∵E為CD的中點，∴，又，平面PCD，平面PCD，∴平面PCD，又平面PBE，∴平面平面PCD.【小問2詳解】取AB的中點F，連接DF，易知為正三角形，，，，∵平面ABCD，平面，則DF、DC、DP兩兩垂直，如圖，以D為原點，DF、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系， 則，，，，∴，，設平面PBC的一個法向量為，則，，即，令，得，平面PCD的一個法向量為，∴，顯然二面角的平面角為銳角，∴二面角的余弦值為.20.在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）對變形，代入中化簡，由等比數(shù)列的概念即可證明；（2）由（1）得出的通項公式，代入中，整體利用分組求和，分組后差比相乘部分利用錯位相減，即可求得的前項和.【小問1詳解】證明：由，得，即， 又，所以，所以數(shù)列是以3為首項，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，故，設數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.所以數(shù)列的前項和，所以，，①，②由①-②得，所以，故數(shù)列的前項和.21.已知橢圓經過，兩點．（1）求橢圓上的動點T到的最短距離；（2）直線AB與x軸交于點，過點M作不垂直于坐標軸且與AB不重合的直線l與橢圓交于C，D兩點，直線AC，BD分別交直線于P，Q兩點．求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】 【分析】(1)根據(jù)題意求出橢圓方程，再利用兩點間的距離公式化簡為函數(shù)最值問題求解；(2)首先利用直線AB的方程求出m=-2，再分別利用AC，BD的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組得出P，Q坐標，即可化簡得到.【小問1詳解】把、兩點坐標代入得：，即，，即橢圓方程為：．設，則點T到的距離因為，所以當時，d有最小值，且，所以動點T到的最短距離為．【小問2詳解】如圖，因為，所以直線AB的方程為：．取得，，顯然直線CD的斜率存在，設其方程為：，，，聯(lián)立方程組：得：， 所以，，記直線AC的方程為：，令得：．記直線BD的方程為：，令得：，故為定值，定值為1．22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間和最大值；（2）設函數(shù)有兩個零點，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論，研究單調性，求出最大值；（2）利用極值點偏移直接求解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域是.當時，恒成立，故在上單調遞增，無最大值；當時，令，得；令，得， 所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，．【小問2詳解】，因為為的兩個零點，所以，不妨設．因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以．又證明等價于證明，又因為在上單調遞增，因此證明原不等式等價于證明，即要證明，即要證明，即恒成立．令，則，所以在上為減函數(shù)，所以，即在時恒成立，因此不等式恒成立，即．【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值) 最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導數(shù)證明不等式．