《重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高2022-2023學(xué)年高二上期半期考試數(shù)學(xué)試題本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卷規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卷規(guī)定的位置上．4．考試結(jié)束后，將答題卷交回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求．1.圓心為，半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　?。〢.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，由題中條件，可直接得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，圓心為，半徑圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；故選：B．2.若方程表示橢圓，則k的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由題意可得，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得：且.故k的取值范圍為：.故選：D.3.已知兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A.或B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到斜率，再結(jié)合傾斜角和斜率的變化關(guān)系得到的范圍.【詳解】直線與線段相交，所以臨界情況為恰好經(jīng)過點(diǎn)或經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，，由圖可知，或.故選：A.4.若異面直線，的方向向量分別是，，則異面直線與的夾角的余弦值等于（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線與的夾角的余弦值，注意夾角范圍.【詳解】設(shè)，所成的角為，則.故選：D5.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，那么的最小值為（）A.5B.10C.D.【答案】A【解析】【分析】可以看作是與原點(diǎn)的距離的平方，接著利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出答案【詳解】解：可以看作直線上的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，又原點(diǎn)與該直線上的點(diǎn)的最短距離為原點(diǎn)到該直線的距離，則的最小值為，故選：A6.在平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為（）A.3B.C.D.5【答案】A【解析】【分析】將用表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.【詳解】解：，則 ，所以的長(zhǎng)為.故選：A.7.已知點(diǎn)在直線上，，，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，然后利用對(duì)稱性可得，從而即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，∴，又，∴.故選：C.8.已知橢圓上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足 ，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形為矩形，從而有，由，可得，再根據(jù)橢圓的定義計(jì)算即可得解.【詳解】解：如圖所示，設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形為矩形，則，所以，在中，由，得，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所?故選：B. 二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目的要求，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的不得分．9.如圖，直線，，的斜率分別為，，，則（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】直接由斜率的定義判斷即可.【詳解】由斜率的定義可知，.故選：ABC.10.下列說法正確的有（）A.每一條直線都有且僅有一個(gè)傾斜角與之對(duì)應(yīng)B.傾斜角為的直線的斜率為C.一條直線的傾斜角為，則其斜率為D.直線斜率的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系即可判斷.【詳解】對(duì)A，每一條直線都有且僅有一個(gè)傾斜角與之對(duì)應(yīng)，A正確；對(duì)B，，B錯(cuò)誤； 對(duì)C，傾斜角為時(shí)，斜率不存在，C錯(cuò)誤；對(duì)D，直線斜率，直線斜率的取值范圍是，D正確.故選：AD.11.(多選)下列說法中正確的是（）A.是共線的充要條件B.若，共線，則AB∥CDC.A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D.若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有(，不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)共線向量的定義、共面和共線的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】由，可得向量的方向相反，此時(shí)向量共線，反之，當(dāng)向量同向時(shí)，不能得到，所以A不正確；若，共線，則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，所以B不正確；由A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若，因?yàn)?，可得P，A，B，C四點(diǎn)共面，所以C正確；若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有(，不共線)，當(dāng)λ＋μ＝1時(shí)，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三點(diǎn)共線，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件，所以D正確.故選：CD12.設(shè)曲線的方程為，下列選項(xiàng)中正確的有（）A.由曲線圍成的封閉圖形的面積為B.滿足曲線的方程的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）有5個(gè)C.若，是曲線上的任意兩點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間的距離最大值為 D.若是曲線上的任意一點(diǎn)，直線l：，則點(diǎn)到直線的距離最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，作出曲線的圖象，再數(shù)形結(jié)合依次討論各選項(xiàng)求解即可．【詳解】對(duì)于曲線，當(dāng)，時(shí)，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分；當(dāng)，時(shí)，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第四象限的部分；當(dāng)，時(shí)，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第二象限的部分；當(dāng)，時(shí)，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第三象限的部分；當(dāng)時(shí)，曲線表示坐標(biāo)原點(diǎn)；即其圖象如圖所示，由圖可知，對(duì)于A，曲線圍成的圖形的面積為4個(gè)半圓與1個(gè)正方形的面積之和，其面積為，故A正確；對(duì)于B，曲線恰好經(jīng)過，，，，，，，，共 9個(gè)整點(diǎn)，故B不正確；對(duì)于C，曲線上兩點(diǎn)之間最大距離為，故C正確；對(duì)于D，由直線恒過定點(diǎn)，由知曲線上兩點(diǎn)之間最大距離為，故D正確．故選：ACD．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】或【解析】【分析】首先橢圓方程化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】橢圓方程為，焦點(diǎn)在軸，，，所以，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：或14.若直線和直線平行，則___________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行的充要條件即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€和直線平行，所以，解得，故答案為：3.15.已知圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】由題知直線的方程為，進(jìn)而根據(jù)幾何法得弦，再在 中，利用余弦定理并結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A與圓相交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的方程為：，即，所以圓心到弦的距離為，所以弦，所以在中，，由余弦定理得，所以故答案為：16.已知直線：，：，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)P到直線和的距離分別為，，則的最大值為______．【答案】2【解析】【分析】判斷直線過定點(diǎn)以及互相垂直，結(jié)合圓的方程作出示意圖，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，為，為，兩直線垂直；當(dāng)時(shí)，直線：即，則直線過定點(diǎn)，斜率為-m，：即， 則直線過定點(diǎn)，斜率為，故；圓即，圓心設(shè)為，半徑為2，即直線過圓心，過點(diǎn)P作，垂足為，則,而，因?yàn)?，四邊形為矩形，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為2，故答案為：2四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．17.根據(jù)下列條件，求直線的一般方程．（1）過點(diǎn)，且與直線平行；（2）與直線垂直，且與，軸的正半軸圍成的三角形的面積等于4．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩條平行線的關(guān)系設(shè)出直線方程，然后代入點(diǎn)求解即可；（2）根據(jù)兩條線垂直的關(guān)系設(shè)出直線方程，再求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)列出等式解出來即可.【小問1詳解】與直線平行的直線，可設(shè)為，將代入得，解得， 所以直線為：.【小問2詳解】與直線垂直的直線可設(shè)為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榕c，軸的正半軸圍成的三角形的面積等于4，所以，解得，所以直線為：.18.已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】（1）x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）y＝2或4x﹣3y+6＝0．【解析】【分析】（1）由圓心在直線上，設(shè)圓心為（1，t），再由經(jīng)過，兩點(diǎn)可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圓心和半徑即可得解；（2）根據(jù)題意切線的斜率存在可設(shè)直線方程為y＝kx+2，再利用直線和圓相切可得d＝＝2，求得即可得解.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（1，t），則有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，解可得t＝0，即圓心的坐標(biāo)為（1，0），圓的半徑r＝＝2，則圓的方程為（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；【小問2詳解】根據(jù)題意，圓的方程為（x﹣1）2+y2＝4， 過點(diǎn)P（0，2）作圓的切線，斜率必定存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線的方程為y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；則有d＝＝2，解可得k＝0或；故切線的方程為y＝2或4x﹣3y+6＝0．19.設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，的離心率為點(diǎn)是上一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）傾斜角為且過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由橢圓離心率、過定點(diǎn)，結(jié)合求、，寫出橢圓方程.（2）由題意知直線為，聯(lián)立橢圓方程得，結(jié)合點(diǎn)線距、弦長(zhǎng)公式求線段長(zhǎng)，進(jìn)而求的面積.【詳解】（1）由題意知：，又由知：，∴橢圓；（2）由題意知：，則直線為，∴到直線的距離為，聯(lián)立方程，整理得，即有，而，∴的面積為. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由離心率、過定點(diǎn)并結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、弦長(zhǎng)公式求得三角形對(duì)應(yīng)的底和高，由面積公式求三角形面積.20.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．（1）求證：面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可知平面，那么要證平面只要證平面平面即可：（2）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算直線AC的方向向量與平面的法向量，在計(jì)算向量的余弦值即可求出直線AC與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接，可得，，因平面，平面，所以平面，平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面【小?詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系 則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量分別為：，則：，令，則，設(shè)直線與平面所成的角的大小為，則：，∴直線與平面所成的角的正弦值為．21.如圖甲，在矩形中，，E為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，O點(diǎn)為AE的中點(diǎn)，連接DO、OC，如圖乙．（1）求證：；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置．【答案】（1）證明見解析（2）存在，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)【解析】 【分析】（1）取線段的中點(diǎn)可得，由余弦定理求出，根據(jù)勾股定理可得答案；（2）以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)為，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得．【小問1詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，在Rt中，，，中，，由余弦定理可得：，，在中，，；小問2詳解】因?yàn)?，，，平面，，所以平面，過作平行線，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ，平面的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，，則，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，由已知，解之得：或9（舍去），所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．22.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到，的兩點(diǎn)的距離之和為．（1）試判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程．（2）已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，與曲線交于、兩點(diǎn)，其中、在第一象限，為原點(diǎn)到直線的距離，是否存在實(shí)數(shù)，使得取得最大值，若存在，求出和最大值；若不存在，說明理由．【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，（2）時(shí)取得最大值【解析】【分析】（1）由題意知，，根據(jù)橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，進(jìn)而由橢圓的定義可知，，，，進(jìn)而可得答案．（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得， ，再由弦長(zhǎng)公式可得，的直徑，根據(jù)題意可得，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，最后計(jì)算，由基本不等式，即可得出答案．小問1詳解】解：由題意知，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，又因?yàn)椋?，所以的軌跡方程為．【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，解得，又圓的半徑，所以在橢圓外，在橢圓內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，在外，在直線上的四點(diǎn)滿足：，，由，消去整理得，因?yàn)橹本€經(jīng)過橢圓內(nèi)的右焦點(diǎn)，所以該方程的判別式恒成立，設(shè)，，所以，，，又因?yàn)榈闹睆剑?所以，化為，因?yàn)闉辄c(diǎn)到直線的距離，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，