《重慶市楊家坪中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

楊家坪中學(xué)高2024屆高二下第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B2.已知函數(shù)，若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出，再利用導(dǎo)數(shù)的定義可得，進(jìn)而代入求解即可【詳解】因?yàn)?，則，所以，故，故，解得故選：B.3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）A.B.2C.1D.【答案】A【解析】【分析】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式確定參數(shù)的值. 【詳解】，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，得，所以A正確.故選：A4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B5.在數(shù)列中，，若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，求出數(shù)列的項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列的周期性求解.詳解】，，，，，，可以看出四個(gè)循環(huán)一次，故．故選：D6.已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，，且，若不等式 恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將恒成立轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)大于1在上恒成立，即，然后求最值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)楹愠闪ⅲ院瘮?shù)在上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，則的導(dǎo)函數(shù)大于1在上恒成立，所以，整理得，所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，所以.故選：A.7.借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計(jì)算，例如：求，我們先求得在處的切線方程為，再把代入切線方程，即得，類比上述方式，則（）．A.1.00025B.1.00005C.1.0025D.10005【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，求出切線，以直代曲計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，可得，， 曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，因?yàn)榕c之間的距離比較小，在切點(diǎn)附近用切線代替曲線進(jìn)行近似計(jì)算，，故選：A8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的大致圖象進(jìn)行求解判斷.【詳解】函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根．由，得或．因?yàn)?，所以，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可畫出的大致圖象： 由圖可知有2個(gè)不同的實(shí)根，則有3個(gè)不同的實(shí)根，故，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題9.下列正確的是（）A.B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C.數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是同一個(gè)數(shù)列D.若函數(shù)是偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)—定是奇函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式可判斷A；根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求解可判斷B；根據(jù)數(shù)列的定義可判斷C；根據(jù)奇偶函數(shù)的定義結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，解得或（舍去），即110是數(shù)列第10項(xiàng)，B正確；對(duì)于C，數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，中數(shù)字的排列順序不同，故不是同一個(gè)數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)偶函數(shù)，函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 則，故，即，故導(dǎo)函數(shù)—定是奇函數(shù)，D正確，故選：BD10.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，若，，則成立的是（）A.B.C.的最大值是D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再結(jié)合得到，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)和得到，的最大值為，即可判斷BC選項(xiàng)；根據(jù)和等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以，故A錯(cuò)；因?yàn)椋詳?shù)列為遞減數(shù)列，又，所以，，的最大值為，故BC正確；，故D錯(cuò).故選：BC.11.若函數(shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）.A.B.C.0D.1【答案】ABC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得為函數(shù)的極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn).根據(jù)題意可知函數(shù)的極小值點(diǎn)必在區(qū)間內(nèi)，即且，解不等式組即可.【詳解】令，解得，所以當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，為函數(shù)的極大值點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有最小值，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)必在區(qū)間內(nèi)，即實(shí)數(shù)a滿足，且.由，解得.不等，即，有，，所以，即.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：ABC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)只有兩個(gè)極值點(diǎn)B.方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為C.方程共有4個(gè)根D.若，，則的最大值為2【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值判斷；分析函數(shù)的性質(zhì)，借助圖象判斷；結(jié)合圖象和函數(shù)的零點(diǎn)判斷；由結(jié)合取最大值的x值區(qū)間判斷D作答.【詳解】對(duì)于，對(duì)求導(dǎo)得：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，故選項(xiàng)正確； 對(duì)于，由選項(xiàng)知，作出曲線及直線，如圖，要使方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，觀察圖象得當(dāng)時(shí)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由得：，解得，令，則，結(jié)合圖象方程有兩解，，，所以或，因?yàn)?，所以，所以方程有兩解；又因?yàn)?，結(jié)合圖象可知：也有兩解，綜上：方程共有4個(gè)根，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)?，而函?shù)在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，所以t的最大值為2，故選項(xiàng)正確.故選：CD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).三、填空題 13.已知等比數(shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于___________【答案】【解析】【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)可得，求得，得到，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和，即可求解，得到答案.【詳解】在等比數(shù)列中，滿足，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，又由，所以所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故答案為：.14.滑縣木版畫是河南安陽最傳統(tǒng)的手工藝品，創(chuàng)始于明朝初期，距今已有六百多年的歷史了，滑縣木版畫制作工藝考究，至今一直都是純手工制作，顏色精細(xì)淡雅，色彩和諧，人物造型夸張，線條剛勁有力，極具當(dāng)?shù)氐拿袼滋厣畯埲A的伯伯制作滑縣木版畫并出售，寒假期間張華通過調(diào)研得知伯伯制作的A系列木版畫的成本為30元/套，每月的銷售量（單位：套）與銷售價(jià)格x（單位：元/套）近似滿足關(guān)系式，其中，則當(dāng)A系列木版畫銷售價(jià)格定為__________元/套時(shí)，月利潤(rùn)最大．【答案】50【解析】【分析】根據(jù)題意可得月利潤(rùn)為，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求最值點(diǎn).【詳解】設(shè)A系列木版畫的月利潤(rùn)為，則，，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)取到極大值，也是最大值，即當(dāng)A系列木版畫銷售價(jià)格定為50元/套時(shí)，月利潤(rùn)最大．故答案為：50.15.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】借鑒積分思想，可設(shè)，結(jié)合，易證為過原點(diǎn)的奇函數(shù)和減函數(shù)，分別列出和，將整體代換，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】可設(shè)①，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，在上單減，②，聯(lián)立①②可得，，所以在上單減，為奇函數(shù).③，④，聯(lián)立③④可得，即，所以，顯然，當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，即，所以，解得，故；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，即，所以，解得，故， 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：16.若數(shù)列滿足，則稱該數(shù)列為“切線-零點(diǎn)數(shù)列”，已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)1、2，數(shù)列為“切線-零點(diǎn)數(shù)列”，設(shè)數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)可求得的值，求出，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求得.【詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)1、2，由韋達(dá)定理可得，解得，所以，，由題意可得，所以，又因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于由得到，再證明數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列. 四、解答題17.已知函數(shù)，且在點(diǎn)處的切線與平行．（1）求切線的方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．【答案】（1）（2）增區(qū)間，減區(qū)間，極小值點(diǎn)為2，無極大值點(diǎn)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，然后通過列方程求出的值，代入求出，利用點(diǎn)斜式可求出切線的方程；（2）令，求出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間可得極值點(diǎn).【小問1詳解】由已知，在點(diǎn)處的切線與平行，，解得，，切線的方程為，即；【小問2詳解】由（1）得，令，得，令，得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極小值點(diǎn)為2，無極大值點(diǎn).18.已知正項(xiàng)數(shù)列和為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足， （1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從條到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1），；（2）11302．【解析】【分析】（1）由，利用得出數(shù)列的遞推式，得數(shù)列是等差數(shù)列，求得后可得通項(xiàng)公式，再計(jì)算出；（2）先看數(shù)列中前100項(xiàng)內(nèi)有多少項(xiàng)是中的項(xiàng)，從而可以確定中前100項(xiàng)的最后一項(xiàng)是中的第幾項(xiàng)，其中含有中的多少項(xiàng)，從而求得．【詳解】（1）因?yàn)?，所以時(shí)，，兩式相減得，，因?yàn)椋?，又，，所以，所以，，；?），又，，因此，所以．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查由求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組求和法．在應(yīng)用公式求時(shí)要注意，即不包含，需另外計(jì)算，同樣如果求得的是遞推式，也要確認(rèn)遞推式是否是從開始的，否則需要要驗(yàn)證含有的項(xiàng)是否符合表達(dá)式．19.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，，，E為CD的中點(diǎn). （1）求證：平面平面PCD；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得，再根據(jù)等腰三角形三線合一得，最后利用面面垂直的判定即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC和平面PCD的法向量，根據(jù)二面角的空間向量求法即可得到答案.【小問1詳解】∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵四邊形ABCD為菱形，，∴是正三角形，∵E為CD的中點(diǎn)，∴，又，平面PCD，平面PCD，∴平面PCD，又平面PBE，∴平面平面PCD.【小問2詳解】取AB的中點(diǎn)F，連接DF，易知為正三角形，，，，∵平面ABCD，平面，則DF、DC、DP兩兩垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，DF、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，∴，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，，即，令，得，平面PCD的一個(gè)法向量為，∴，顯然二面角的平面角為銳角，∴二面角的余弦值為.20.在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）對(duì)變形，代入中化簡(jiǎn)，由等比數(shù)列的概念即可證明；（2）由（1）得出的通項(xiàng)公式，代入中，整體利用分組求和，分組后差比相乘部分利用錯(cuò)位相減，即可求得的前項(xiàng)和.【小問1詳解】證明：由，得，即， 又，所以，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，故，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.所以數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，，①，②由①-②得，所以，故數(shù)列的前項(xiàng)和.21.已知橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)．（1）求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)T到的最短距離；（2）直線AB與x軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)M作不垂直于坐標(biāo)軸且與AB不重合的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線AC，BD分別交直線于P，Q兩點(diǎn)．求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】 【分析】(1)根據(jù)題意求出橢圓方程，再利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)為函數(shù)最值問題求解；(2)首先利用直線AB的方程求出m=-2，再分別利用AC，BD的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組得出P，Q坐標(biāo)，即可化簡(jiǎn)得到.【小問1詳解】把、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，即，，即橢圓方程為：．設(shè)，則點(diǎn)T到的距離因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，d有最小值，且，所以動(dòng)點(diǎn)T到的最短距離為．【小問2詳解】如圖，因?yàn)?，所以直線AB的方程為：．取得，，顯然直線CD的斜率存在，設(shè)其方程為：，，，聯(lián)立方程組：得：， 所以，，記直線AC的方程為：，令得：．記直線BD的方程為：，令得：，故為定值，定值為1．22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，研究單調(diào)性，求出最大值；（2）利用極值點(diǎn)偏移直接求解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域是.當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，無最大值；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．【小問2詳解】，因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，不妨設(shè)．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又證明等價(jià)于證明，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，因此證明原不等式等價(jià)于證明，即要證明，即要證明，即恒成立．令，則，所以在上為減函數(shù)，所以，即在時(shí)恒成立，因此不等式恒成立，即．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值) 最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．