《四川省瀘縣第四中學2022-2023學年高二下學期3月月考理科數(shù)學 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

瀘縣四中2022-2023學年高二下期第一學月考試數(shù)學（理工類）試卷第I卷選擇題（60分）一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若雙曲線的中心為坐標原點，焦點在軸上，其離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】易得，再結合可求得，最后由雙曲線的焦點在y軸上寫出漸近線方程即可.【詳解】由題得，，即，再由，得，即，所以，又因為雙曲線的焦點在y軸上，所以其漸近線方程為.故選：B.【點睛】易錯點睛：本題求解漸近線方程是易忽略焦點在y軸上這一條件，從而導致錯解.2.在圓內隨機取一點P，則點P落在不等式組，表示的區(qū)域內的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】首先由畫出不等式表示的可行域，根據(jù)可行域的形狀求出其面積，再求出圓的面積，最后根據(jù)幾何概型公式求解即可.【詳解】根據(jù)不等式組，如圖做出點P的可行域:由圖可知：點P的可行域為等腰三角形，所以,圓的面積為，由幾何概型可知，圓內隨機取一點P，則點P落在不等式組表示的區(qū)域內的概率為：,故選：C【點睛】數(shù)形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，據(jù)此求解幾何概型即可.3.某企業(yè)不斷自主創(chuàng)新提升技術水平，積極調整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5種系列產品的結構比例，近年來取得了顯著效果.據(jù)悉該企業(yè)2022年5種系列產品年總收入是2020年的2倍，其中5種系列產品的年收入構成比例如圖所示.則下列說法錯誤的是（） A.2022年甲系列產品收入比2020年的多B.2022年乙和丙系列產品收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多C.2022年丁系列產品收入是2020年丁系列產品收入的D.2022年戊系列產品收入是2020年戊系列產品收入的2倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結合與產品的年收入構成比例圖，分別計算各系列產品不同年份的年收入，對各選項逐一分析判斷即可.【詳解】設該企業(yè)2020年5種系列產品年總收入為1，則該企業(yè)2022年5種系列產品年總收入為2.對于A，年甲系列產品收入為，年甲系列產品收入為，故A正確；對于B，年乙和丙系列產品收入之和為，比2020年的企業(yè)年總收入還多，故B正確；對于C，年丁系列產品收入為，年丁系列產品收入為，所以2022年丁系列產品收入是2020年丁系列產品收入的，故C錯誤；對于D，年戊系列產品收入是，年戊系列產品收入是，所以2022年戊系列產品收入是2020年戊系列產品收入2倍，故D正確.故選：C.4.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則關于的方程至少有一個正根的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可以對一元二次方程根進行分類討論得出的取值范圍，然后再利用幾何概型來進行求解可得出結果.【詳解】由題意可將方程整理得，若有兩個相等實數(shù)根，則， 代入后解得與題意正根不符舍去；若有兩個不相等的實數(shù)根，因為，題目要求至少有一個正根，所以只可能一個根為正，一個根為負，即，，解得，由幾何概率可知關于方程至少有一個正根的概率，故選：D5.若m，n表示互不重合的直線，，表示不重合的平面，則的一個充分條件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關系即可判斷各選項.【詳解】對于A，，則當時不能得到，因而不是充分條件，所以A錯誤；對于B，，則當時不能得到，因而不是充分條件，所以B錯誤；對于C，，則當時不能得到，因而不是充分條件，所以C錯誤；對于D，，，，則，所以D正確；故選：D．【點睛】本題考查了空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，對空間想象能力要求較高，屬于基礎題.6.在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求出余弦值即可.【詳解】解：以點為坐標原點建立如下圖所示的空間直角坐標系，則 ，所以因為異面直線夾角的范圍為，所以，異面直線與所成角的余弦值為故選：A7.已知為拋物線：的焦點，縱坐標為5的點在C上，，則（）A.2B.3C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義列式計算作答.【詳解】依題意，拋物線：的焦點，準線方程為，顯然有，所以.故選：D8.已知函數(shù)，若過點可以作出三條直線與曲線相切，則 的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設切點坐標為，利用導數(shù)的幾何意義求得切線斜率，由直線過得關于的方程，此方程有3個不等的實根，方程轉化為，是三次方程，它有3個解，則其極大值與極小值異號，由此可得的范圍．【詳解】設切點坐標曲線在處的切線斜率為，又切線過點切線斜率為，，即，∵過點可作曲線的三條切線，方程有3個解．令，則圖象與軸有3個交點，的極大值與極小值異號，，令，得或2，或時，，時，，即在及上遞增，在上遞減，是極大值，是極小值，,即，解得，故選：D.9.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由在上有兩個不同的零點，轉化為函數(shù)與有兩個不同的交點，利用數(shù)形結合法求解.【詳解】， 因為在上有兩個不同的零點，即有兩個不同的正根，即有兩個不同的正根，即與有兩個不同的交點.因為，當時，，當時，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，當時，，且當時，，在同一坐標系中作出與的圖象，如圖所示：由圖象得，故選：B.【點睛】方法點睛：用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結合來解決．10.設為坐標原點，，是橢圓（）的左、右焦點，若在橢圓上存在點滿足，且，則該橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)中線向量可得，平方后結合橢圓的定義可得，在焦點三角形中再利用余弦定理可得，從而可求離心率.【詳解】因為為的中點，故， 所以，故，故，所以，又，故，故.故選：A.【點睛】方法點睛：與焦點三角形有關的計算問題，注意利用橢圓的定義來轉化，還要注意利用余弦定理和向量的有關方法來計算長度、角度等.11.已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式，構造函數(shù)并明確其單調性，進而可得導數(shù)的不等式，利用參數(shù)分離整理不等式，構造函數(shù)，利用導數(shù)求其最值，可得答案.【詳解】當時，不等式恒成立，則，即函數(shù)在上單調遞增，則，整理可得，令，則.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，.故選：D.12.已知且且且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】令，利用導數(shù)研究其單調性后可得的大小.【詳解】因為，故，同理，令，則，當時，，當時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因為，故，即，而，故，同理，，，因為，故，所以.故選：D．【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下的大小比較問題，應根據(jù)代數(shù)式的特征合理構建函數(shù)，再利用導數(shù)討論其單調性，此類問題，代數(shù)式變形很關鍵．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．13.將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個.點數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題． 14.若函數(shù)在上是單調減函數(shù)，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)在上是單調減函數(shù)等價于在上恒成立，再利用分離變量最值法求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，由函數(shù)在上是單調減函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，設，則，當時，，即，即的取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)導函數(shù)的求法，重點考查了利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，屬中檔題.15.已知偶函數(shù)，對任意的都有，且，則不等式的解集為_________． 【答案】，或，或【解析】【分析】由已知條件構造函數(shù)，求導后可判斷出在上單調遞增，在上單調遞減，由，可得，由為偶函數(shù)，可判斷出為偶函數(shù)，而不等式轉化為，偶函數(shù)的性質可得，從而可求出的范圍，再由可得，進而可求出不等式的解集【詳解】解：令，則，因為對任意的都有，所以當，，當，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因，所以，因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，所以由，所以，所以，解得或，因為，所以，綜上，，或，或，所以不等式的解集為，或，或.故答案為：，或，或16.是邊長為的等邊三角形，、分別在線段、上滑動，，沿把折起，使點翻折到點的位置，連接、，則四棱錐的體積的最大值為_______________.【答案】2【解析】【分析】依題意當平面平面時，體積才會取得最大值，設，設為的中點，根據(jù)面面垂直的性質得到平面，從而表示出四棱錐的體積 ，再利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解.【詳解】解：依題意當平面平面時，四棱錐的體積才會取得最大值，設，設為的中點，如圖：等邊中，點，分別為，上一點，且，，為的中點，，平面平面，平面平面，平面，，．四棱錐的體積，，（負值舍去），當時，單調遞增，當時，，單調遞減，，四棱錐的體積最大，．故答案為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為.（1）求曲線C的直角坐標方程.（2）已知直線l的參數(shù)方程為，點，并且直線l與曲線C交于A，B兩點，求.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）先求出，消去t可得；（2）求出直線l的參數(shù)方程標準形式，利用“t”的幾何意義求解.【小問1詳解】由可得：，且.由可得：，且，即.所以曲線C的直角坐標方程.【小問2詳解】由直線的參數(shù)方程得到的標準參數(shù)方程為代入圓的一般方程,得.設A,B對應的參數(shù)分別為,則.所以.18.已知函數(shù)在時有極值0．（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在時有極值0，則 ，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，檢驗所得a，b的值是否符合題意，從而得解析式；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因為在時有極值0，所以，即，解得或，當，時，，函數(shù)在R上單調遞增，不滿足在時有極值，故舍去，當，時滿足題意，所以常數(shù)a，b的值分別為，，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，，∴當或時，，當時，，∴的遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間為，當時，有極大值；當時，有極小值，要使函數(shù)有三個零點，則須滿足，解得．19.年年底，某城市地鐵交通建設項目已經(jīng)基本完成，為了解市民對該項目的滿意度，分別從不同地鐵站點隨機抽取若干市民對該項目進行評分(滿分分)，繪制如下頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級：滿意度評分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意 已知滿意度等級為基本滿意的有人．(1)求頻率分布于直方圖中的值，及評分等級不滿意的人數(shù)；(2)在等級為不滿意市民中，老年人占，中青年占，現(xiàn)從該等級市民中按年齡分層抽取人了解不滿意的原因，并從中選取人擔任整改督導員，求至少有一位老年督導員的概率；(3)相關部門對項目進行驗收，驗收的硬性指標是：市民對該項目的滿意指數(shù)不低于，否則該項目需進行整改，根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，判斷該項目能否通過驗收，并說明理由.【答案】（1）；評分等級不滿意人數(shù)為120；（2）；（3）滿意指數(shù)為80.7，故判斷該項目能通過驗收.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算即可（2）按年齡分層抽取人，則老年人抽取2人，中青年抽取4人，從6人中選取人擔任整改督導員的所有可能情況為種，至少有一位老年督導員的對立事件是抽取的都是中青年，共有種，根據(jù)對立事件即可求出（3）根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本平均值，估計市民滿意程度平均值，計算滿意指數(shù)，即可得出結論.詳解】（1）由頻率分布直方圖知，由解得，設總共調查了個人，則基本滿意的為，解得人.不滿意頻率為，所以共有人，即不滿意的人數(shù)為120人.（2）改等級120個市民中按年齡分層抽取人，則老年人抽取2人，中青年抽取4人，從6人中選取人擔任整改督導員的所有可能情況為種,抽不到老年人的情況為種， 所以至少有一位老年督導員的概率.（3）所選樣本滿意程度的平均得分為：，估計市民滿意程度的平均得分為，所以市民滿意指數(shù)為，故該項目能通過驗收.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，分層抽樣，古典概型，對立事件，屬于中檔題.20.現(xiàn)有兩個全等的等腰直角三角板，直角邊長為2，將它們的一直角邊重合，若將其中一個三角板沿直角邊折起形成三棱錐，如圖所示，其中，點E，F(xiàn)，G分別是的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得，平面，再由，即可證明.（2）如圖，以H為原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，進而可得結果.【詳解】（1）證明：根據(jù)已知得，又G為的中點，所以，因為，G為的中點，所以，又，所以平面． 又因為，所以平面．（2）因為，所以平面，取中點H，連接，則平面，又，所以以H為原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以．設平面的法向量為，則即令，得．設平面的法向量為，則即令，得．所以，所以二面角的余弦值為．21.雙曲線的左、右焦點分別為，，焦距等于8，點M在雙曲線C 上，且，的面積為12.（1）求雙曲線C的方程；（2）雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過的斜率不為的直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，連接AQ，BP，求證：直線AQ與BP的交點恒在一條定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積公式以及雙曲線的定義求出可得雙曲線的標準方程；（2）設直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得關于的一元二次方程，利用韋達定理得到和，用點斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點，然后結合根與系數(shù)的關系求得交點的橫坐標為定值即可得解.【小問1詳解】依題意，由雙曲線的對稱性不妨設，，因為，所以有,則，，所以，得，所以，所以雙曲線C的方程為.【小問2詳解】由題意得，，，易知直線l的斜率不等于.設直線l的方程為，，，則. 由消去x整理得，則，則，.（用點斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點，然后結合根與系數(shù)的關系求得交點的橫坐標）直線AQ的方程：，直線BP的方程：，令，得.因為，，所以，展開整理得，即，即,即，即，所以.所以直線AQ與BP的交點恒在定直線上.【點睛】關鍵點點睛：用點斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點，然后結合根與系數(shù)的關系求得交點的橫坐標是解題關鍵.22.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求證：.【答案】（1）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】 【分析】（1）根據(jù)題意，求導得，然后即可得到其單調區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得，得，則直線與函數(shù)的圖像在上有兩個不同的交點，然后求導得到，得到其極值從而得到；方法一:設，將不等式轉化為，然后換元，構造即可證明；方法二:由換元法十構造差函數(shù)，令，則，即證.【小問1詳解】當時，.則.當時，解得，又，所以；當時，解得，或，又，所以.所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.【小問2詳解】函數(shù)，令，得.令，則直線與函數(shù)的圖像在上有兩個不同的交點.因為，由，得；由，得.所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.所以.又，且當時，且，由于是方程的兩實根，所以.方法一：不妨設，由， 得，兩式相減得：，兩式相加得：.欲證：，只需證：，即證：，即證.設，則，代入上式得：.故只需證：.設，則，所以在上單調遞增，所以，所以故，得證.方法二（換元法十構造差函數(shù)）：不妨設，令，則，即證.設，則.因為，所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，易得；當時，要證，即證，即證.因為，所以.構造函數(shù)，易得.則，所以.又，所以，即. 所以在上單調遞增，.所以，即.故，得證.