《四川省瀘縣第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考文科數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

瀘縣四中2022-2023學(xué)年高二下期第一學(xué)月考試數(shù)學(xué)（文史類）試卷第I卷選擇題（60分）一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.用系統(tǒng)抽樣的方法從400名學(xué)生中抽取容量為16的樣本，將400名學(xué)生編號為1至400，按編號順序分組，若在第1組抽出的號碼為12，則在第2組抽出的號碼為（）A.26B.28C.33D.37【答案】D【解析】【分析】先求得組距，再根據(jù)第1組的號碼求解.【詳解】組距：，所以第2組抽出來的號碼應(yīng)該為12+25=37．故選：D2.某企業(yè)不斷自主創(chuàng)新提升技術(shù)水平，積極調(diào)整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，近年來取得了顯著效果.據(jù)悉該企業(yè)2022年5種系列產(chǎn)品年總收入是2020年的2倍，其中5種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例如圖所示.則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.2022年甲系列產(chǎn)品收入比2020年的多B.2022年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多C.2022年丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的D.2022年戊系列產(chǎn)品收入是2020年戊系列產(chǎn)品收入的2倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合與 產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例圖，分別計(jì)算各系列產(chǎn)品不同年份的年收入，對各選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】設(shè)該企業(yè)2020年5種系列產(chǎn)品年總收入為1，則該企業(yè)2022年5種系列產(chǎn)品年總收入為2.對于A，年甲系列產(chǎn)品收入為，年甲系列產(chǎn)品收入為，故A正確；對于B，年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和為，比2020年的企業(yè)年總收入還多，故B正確；對于C，年丁系列產(chǎn)品收入為，年丁系列產(chǎn)品收入為，所以2022年丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的，故C錯(cuò)誤；對于D，年戊系列產(chǎn)品收入是，年戊系列產(chǎn)品收入是，所以2022年戊系列產(chǎn)品收入是2020年戊系列產(chǎn)品收入2倍，故D正確.故選：C.3.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在不等式組，表示的區(qū)域內(nèi)的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先由畫出不等式表示的可行域，根據(jù)可行域的形狀求出其面積，再求出圓的面積，最后根據(jù)幾何概型公式求解即可.【詳解】根據(jù)不等式組，如圖做出點(diǎn)P的可行域:由圖可知：點(diǎn)P的可行域?yàn)榈妊切危?所以,圓的面積為，由幾何概型可知，圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的概率為：,故選：C【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，據(jù)此求解幾何概型即可.4.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則關(guān)于的方程至少有一個(gè)正根的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可以對一元二次方程根進(jìn)行分類討論得出的取值范圍，然后再利用幾何概型來進(jìn)行求解可得出結(jié)果.【詳解】由題意可將方程整理得，若有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則，代入后解得與題意正根不符舍去；若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，題目要求至少有一個(gè)正根，所以只可能一個(gè)根為正，一個(gè)根為負(fù)，即，，解得，由幾何概率可知關(guān)于方程至少有一個(gè)正根的概率，故選：D5.若m，n表示互不重合的直線，，表示不重合的平面，則的一個(gè)充分條件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對于A，，則當(dāng)時(shí)不能得到，因而不是充分條件，所以A錯(cuò)誤；對于B，，則當(dāng)時(shí)不能得到，因而不是充分條件，所以B錯(cuò)誤；對于C，，則當(dāng)時(shí)不能得到，因而不是充分條件，所以C錯(cuò)誤；對于D，，，，則，所以D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，對空間想象能力要求較高，屬于基礎(chǔ)題.6.在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出余弦值即可.【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以因?yàn)楫惷嬷本€夾角的范圍為，所以，異面直線與所成角的余弦值為故選：A 7.已知為拋物線：的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5的點(diǎn)在C上，，則（）A.2B.3C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，顯然有，所以.故選：D8.若經(jīng)過點(diǎn)P(2,8)作曲線的切線，則切線方程為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】因?yàn)镻點(diǎn)在曲線上，所以需要分兩種情況討論，P點(diǎn)為切點(diǎn)和P點(diǎn)不為切點(diǎn)，分別根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可.【詳解】①易知P點(diǎn)在曲線上，當(dāng)P點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，. ②當(dāng)P點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由定義可求得切線的斜率為.∵A曲線上，∴，∴，∴，∴，解得或(舍去)，∴，k=3，此時(shí)切線方程為y+1=3(x+1)，即.故經(jīng)過點(diǎn)P的曲線的切線有兩條，方程為或.故選：D【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．9.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的正根，即有兩個(gè)不同的正根， 即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖所示：由圖象得，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)滿足，且，則該橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)中線向量可得，平方后結(jié)合橢圓的定義可得，在焦點(diǎn)三角形中再利用余弦定理可得，從而可求離心率.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，所以，故，故，所以， 又，故，故.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問題，注意利用橢圓的定義來轉(zhuǎn)化，還要注意利用余弦定理和向量的有關(guān)方法來計(jì)算長度、角度等.11.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式，構(gòu)造函數(shù)并明確其單調(diào)性，進(jìn)而可得導(dǎo)數(shù)的不等式，利用參數(shù)分離整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，整理可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，.故選：D.12.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，進(jìn)而可以比較a，b，c的大小. 【詳解】令，，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，因?yàn)?，所?故選：D.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.將一顆質(zhì)地均勻正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個(gè).∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14.若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)等價(jià)于在上恒成立，再利用分離變量最值法求解即可. 【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，由函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即，即的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的求法，重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬中檔題.15.一邊長為2的正方形紙板，在紙板的四角截去四個(gè)邊長均為的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒.方盒的容積的最大值為_________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，無蓋的方盒的底面是正方形，且邊長為，高為，得到無蓋方盒的容積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)和最值，即可求解．【詳解】由于在邊長為2的正方形紙板的四個(gè)角截去四個(gè)邊長為的小正方形，做成一個(gè)無蓋的方盒，所以無蓋的方盒的底面是正方形，且邊長為，高為，則無蓋方盒的容積為：，整理得，， 則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，最大值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，其中解答中認(rèn)真審題，列出無蓋方盒的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知偶函數(shù)，對任意的都有，且，則不等式的解集為_________．【答案】，或，或【解析】【分析】由已知條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可判斷出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，可得，由為偶函數(shù)，可判斷出為偶函數(shù)，而不等式轉(zhuǎn)化為，偶函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求出的范圍，再由可得，進(jìn)而可求出不等式的解集【詳解】解：令，則，因?yàn)閷θ我獾亩加?，所以?dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，所以由，所以，所以，解得或，因?yàn)椋裕?綜上，，或，或，所以不等式的解集為，或，或.故答案為：，或，或三．解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程.（2）已知直線l的參數(shù)方程為，點(diǎn)，并且直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，消去t可得；（2）求出直線l的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式，利用“t”的幾何意義求解.【小問1詳解】由可得：，且.由可得：，且，即.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程.【小問2詳解】 由直線的參數(shù)方程得到的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為代入圓的一般方程,得.設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為,則.所以.18.已知函數(shù)在時(shí)有極值0．（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0，則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，檢驗(yàn)所得a，b的值是否符合題意，從而得解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因?yàn)樵跁r(shí)有極值0，所以，即，解得或，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時(shí)有極值，故舍去，當(dāng)，時(shí)滿足題意，所以常數(shù)a，b的值分別為，，所以．【小問2詳解】 由（1）可知，，令，解得，，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則須滿足，解得．19.如圖，在三棱柱中，，，.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，，證明與底面垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得證結(jié)論；（2）由棱柱、棱錐體積得，計(jì)算三棱錐體積可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連，， 因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，所以，在中，由，滿足，所以，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面.（2）由（1）可知平面，，所以四棱錐的體積.20.研究表明，溫度的突然變化會(huì)引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化．某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員欲研究晝夜溫差大小與該校高三學(xué)生患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，并到校醫(yī)務(wù)室查閱了這六天中每天高三學(xué)生新增患感冒而就診的人數(shù)，得到資料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（℃）47891412新增就診人數(shù)y（位）參考數(shù)據(jù)：，．（1）已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有7 位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學(xué)生中隨機(jī)抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為，求的值；（2）已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15℃時(shí)，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．參考公式：，．【答案】（1）（2）33人【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由求解；（2）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)，求得，再利用公式求得即可.【小問1詳解】解：∵，∴，∴，∴．【小問2詳解】∵，∴，∴．∵， ∴，∴．又∵，解得．∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴可以估計(jì)，晝夜溫差為15℃時(shí)，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)為33人．21.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距等于8，點(diǎn)M在雙曲線C上，且，的面積為12.（1）求雙曲線C的方程；（2）雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過的斜率不為的直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，連接AQ，BP，求證：直線AQ與BP的交點(diǎn)恒在一條定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積公式以及雙曲線的定義求出可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到和，用點(diǎn)斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點(diǎn)，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可得解.【小問1詳解】依題意，由雙曲線的對稱性不妨設(shè)，， 因?yàn)椋杂?則，，所以，得，所以，所以雙曲線C的方程為.【小問2詳解】由題意得，，，易知直線l的斜率不等于.設(shè)直線l的方程為，，，則.由消去x整理得，則，則，.（用點(diǎn)斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點(diǎn)，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）直線AQ的方程：，直線BP的方程：，令，得.因?yàn)?，，所以，展開整理得，即，即, 即，即，所以.所以直線AQ與BP的交點(diǎn)恒在定直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用點(diǎn)斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點(diǎn)，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.22.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后即可得到其單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得，得，則直線與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，然后求導(dǎo)得到，得到其極值從而得到；方法一:設(shè)，將不等式轉(zhuǎn)化為，然后換元，構(gòu)造即可證明；方法二:由換元法十構(gòu)造差函數(shù)，令，則，即證.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，.則.當(dāng)時(shí)，解得，又，所以；當(dāng)時(shí)，解得，或，又，所以.所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 【小問2詳解】函數(shù)，令，得.令，則直線與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)椋?，得；由，?所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.又，且當(dāng)時(shí)，且，由于是方程的兩實(shí)根，所以.方法一：不妨設(shè)，由，得，兩式相減得：，兩式相加得：.欲證：，只需證：，即證：，即證.設(shè)，則，代入上式得：.故只需證：.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.故，得證. 方法二（換元法十構(gòu)造差函數(shù)）：不妨設(shè)，令，則，即證.設(shè)，則.因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，易得；當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證.因?yàn)?，所?構(gòu)造函數(shù)，易得.則，所以.又，所以，即.所以在上單調(diào)遞增，.所以，即.故，得證.