《北京市豐臺區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（A卷） Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

豐臺區(qū)2022-2023學(xué)年度高二第二學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（A卷）考試時間：120分鐘第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.若，求（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再代值計算即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：A.2.已知數(shù)列的首項，且滿足，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，求得，即可求得的值.【詳解】由數(shù)列滿足，可得數(shù)列為等差數(shù)列，因為，可得，所以.故選：C.3.已知某高山滑雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的位移（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為.則當(dāng)時，該運動員的滑雪速度為（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對求導(dǎo)，再將代入求解即可.【詳解】因為，所以，故，所以該運動員的滑雪速度為.故選：B.4.已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為，若，，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，結(jié)合題設(shè)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求得，進而根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以，所以.故選：C.5.若函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域，可得，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B. 6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，”，由到時，等式左邊應(yīng)當(dāng)增加的項為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分別寫出和時，左邊的式子，兩式作差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，當(dāng)時，等式左邊等于，共項求和；當(dāng)時，等式左邊等于，共項求和；所以由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是.故選：B7.曲線在處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，得到切線方程的斜率，進而求出切線方程，求出與坐標軸圍成的三角形面積.【詳解】由，可得，又，，故在點處的切線方程為，即.令得，令得，所以切線與坐標軸所圍成的三角形面積為.故選：A.8.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖，則對于函數(shù)的描述錯誤的是（） A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.為極小值D.為極小值點【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象可得的符號，進而可判斷的單調(diào)性，結(jié)合的單調(diào)性逐項分析判斷.【詳解】由圖象可得：當(dāng)或時，；當(dāng)或時，；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故A，B正確；函數(shù)在處取得極小值，故C正確，1不是極值點，D錯誤；故選：D.9.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A.為遞減數(shù)列B.為遞增數(shù)列C.數(shù)列有最小項D.數(shù)列有最大項【答案】C【解析】【分析】由已知，分析等比數(shù)列的公比范圍，進而可以判斷的單調(diào)性，判斷A，B；由，分，進行討論，判斷C，D．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，又，所以即，又，所以，即，故等比數(shù)列首項，公比滿足或，當(dāng)時，等比數(shù)列為正負項交替的擺動數(shù)列，故不單調(diào)；當(dāng)時，，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故A，B不正確； 又，且所以當(dāng)時，由于，則，，此時數(shù)列的最小項為，最大項為；當(dāng)時，有，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，有最小項，無最大項，故C正確，D不正確.故選：C.10.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.如果對于正整數(shù)m，經(jīng)過n步變換，第一次到達1，就稱為n步“雹程”.如取，由上述運算法則得出：，共需經(jīng)過5個步驟變成1，得.則下列說法錯誤的是（）A.若，則B.若，則只能是4C.隨著的增大，不一定增大D.若，則的可能值有5個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”逐項推理，即可判斷作答.【詳解】對于A，當(dāng)時，，，A正確；對于B，若，逆推：按減1除以3或乘以2，得，因此只能是4，B正確；對于C，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，因此隨著的增大，不一定增大，C正確；對于D，若，逆推：按減1除以3或乘以2，得， 因此的取值集合是，的值只有4個，D錯誤.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)，則_____.【答案】【解析】【分析】利用簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式進行計算.【詳解】令，，則，故.故答案：12.如果成等比數(shù)列，那么________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比中項以及等比數(shù)列的性質(zhì)運算求解.【詳解】設(shè)該數(shù)列的公比為，則由題意可得，解得，即，所以.故答案為：．【點睛】考點：等比數(shù)列的通項公式．13.如圖，已知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，直線是曲線在點處的切線，則_____．【答案】 【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，幾何意義和求導(dǎo)公式即可求解.【詳解】根據(jù)二次函數(shù)圖像可以設(shè)其解析式為：，所以，曲線在點處的切線斜率為，所以，所以，所以，所以，故答案為：.14.我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將，，，，填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)，，，，填入個方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，記此和為，這個正方形叫做階幻方．如圖三階幻方的．若，則_____.【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和公式計算出，從而得到.詳解】由等差數(shù)列求和公式可得，故每行，每列和每條對角線上的數(shù)字之和為， 故答案：15.函數(shù)（）的所有極值點從小到大排列成數(shù)列，設(shè)是的前n項和，給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列為等差數(shù)列；②；③為函數(shù)的極小值點；④.其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】②③④【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定極值點，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】解：，令可得或，，易得函數(shù)的極值點為或，，從小到大為，，不是等差數(shù)列，①錯誤；，②正確；因為，，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以為函數(shù)的極小值點，③正確；，， 則根據(jù)誘導(dǎo)公式得，④正確；故答案為：②③④．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)通項公式列方程解得，即可得解；（2）結(jié)合（1）得，再利用分組求和法求解即可．【小問1詳解】設(shè)的公差為，因為，，所以，；解得，，∴.【小問2詳解】因為，；所以 ．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合函數(shù)的最小值，即可確定的取值范圍.【小問1詳解】由題可知，令，即，解得或，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又有，，要使在區(qū)間上的最小值為，則.18.已知數(shù)列滿足，且．（1）設(shè)數(shù)列滿足，證明：是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，表示出與的關(guān)系式，計算得，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的通項，從而可得數(shù)列的通項公式.【小問1詳解】，，，，因為，故，．是首項，公比的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知，，又，所以，所以．故數(shù)列的通項公式為．19.已知函數(shù)，且在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）若方程有兩個解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，求的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)，再利用數(shù)形結(jié)合，求實數(shù)的范圍. 【小問1詳解】由題可知因為在處取得極值，所以，解得；經(jīng)檢驗，滿足題意.【小問2詳解】由（1）知，，令，解得或；當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：00增極大值減極小值增函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的極大值；的極小值.因為方程有兩個解，所以或.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）解法一：由題意得在區(qū)間上恒成立，設(shè)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，使其大于等于零，從而可求出實數(shù)的取值范圍；解法二：由題意得在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可,【小問1詳解】當(dāng)時，函數(shù)．令，得，即切點坐標為．，令，得，即切線斜率，故切線方程為，即．【小問2詳解】解法一：已知，可得，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，設(shè)，可得，令，；①當(dāng)時，，，，單調(diào)遞減，，不滿足題意；②當(dāng)時，，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，由，，，得；③當(dāng)時，，，，單調(diào)遞增， 由，得，所以；綜上，.經(jīng)檢驗，滿足題意.所以實數(shù)的取值范圍為.解法二：．由題意，在區(qū)間上恒成立，因為，所以，所以在區(qū)間上恒成立．令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為，所以．經(jīng)檢驗，滿足題意.所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.21.定義“三角形數(shù)”：對于給定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得，則稱是“三角形數(shù)”；否則，不是“三角形數(shù)”．已知數(shù)列滿足，且．（1）寫出的值；（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)是“三角形數(shù)”時，是正整數(shù)；（3）證明：數(shù)列的通項公式為，其中表示不超過的最大整數(shù)，如 ，，．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）分別代入計算即可；（2）根據(jù)三角形數(shù)界定范圍求解計算可得；（3）分類討論是否是三角形數(shù)分別證明即可.【小問1詳解】．【小問2詳解】若是“三角形數(shù)”，則存在，使得，故是正整數(shù)．若不是“三角形數(shù)”，則介于兩個相鄰“三角形數(shù)”之間，即存在，使得，由之前的計算可知，，即不是正整數(shù)．綜上，命題得證．【小問3詳解】只要做驗證性證明即可，即若通項公式可推導(dǎo)出遞推公式，則通項公式正確．當(dāng)時，，滿足初值條件．又．而 ．設(shè)，，其中．當(dāng)是“三角形數(shù)”時，，．當(dāng)不是“三角形數(shù)”時，由（2）知存在，使得，且，故．又，，故．因此，當(dāng)是“三角形數(shù)”時，；當(dāng)不是“三角形數(shù)”時，．綜上所述，數(shù)列的通項公式為．