《第8屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、第8屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答（1975年于德意志民主共和國(guó)的居斯特羅）【題1】一根桿以恒定的角速度ω繞豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿與軸的夾角為（900－α）。質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)可以沿桿滑動(dòng)，摩擦系數(shù)為μ。求轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)保持在同一高度的條件（如圖8.1）。解：我們發(fā)現(xiàn)，采用所謂“滑動(dòng)摩擦角”概念是有用的。如果滑動(dòng)摩擦系數(shù)等于某一角度的正切值，就稱這個(gè)角ε為“滑動(dòng)摩擦角”（如解圖8.1所示），即tanε＝μ我們必須求出把物體壓向平臺(tái)的合力。如果合力與平面法線之間的夾角在滑動(dòng)摩擦角之內(nèi)，則摩擦力大到足以阻止運(yùn)動(dòng)。極限情形是合力與摩擦角的一臂重合。對(duì)于本題，當(dāng)我們尋找

2、質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)桿上向上滑動(dòng)的極限情況　　　　　時(shí)，合力應(yīng)位于（α＋ε）角的雙臂內(nèi)（如解圖8.2所示）。圖8.11,3,5　　　　　　　　　　　　　解圖8.1　　　　　　　　　　　　　解圖8.2把質(zhì)點(diǎn)壓在桿上的力是重力mg與mω2r＝mω2Lcosα的合力。故質(zhì)點(diǎn)在向上滑動(dòng)的極限情形下，角（α＋ε）的正切為同理，質(zhì)點(diǎn)向下滑動(dòng)的極限情形可用角（α＋ε）的正切得到。于是，如果則質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)桿上處于平衡。從邊界條件可以看出，存在著一個(gè)較高位置（Lf）和一個(gè)較低位置（La），質(zhì)點(diǎn)在這兩位置之間的任何地方將處于隨遇解圖8.3平衡狀態(tài)。在這兩邊界之外，質(zhì)點(diǎn)無(wú)法平衡，質(zhì)點(diǎn)將向

3、上或向下滑動(dòng)。隨遇平衡位置Lf－La可由邊界條件導(dǎo)出：解圖8.3對(duì)不同的α角，畫出質(zhì)點(diǎn)在桿上哪些部分處于隨遇　　　　平衡，（取ω＝10s-1，μ＝0.268，ε＝150）。虛線表示無(wú)摩擦?xí)r質(zhì)點(diǎn)非穩(wěn)定平衡位置?！绢}2】求出厚透鏡對(duì)兩個(gè)不同波長(zhǎng)有同一焦距的條件，并就不同類型的透鏡討論可行性。第3頁(yè)共3頁(yè)解答：我們必須知道厚透鏡的性質(zhì)。厚透鏡由下述數(shù)據(jù)表征：球形表面的半徑r1和r2，厚度d和折射率n（如解圖8.4所示）。焦距f＝BF由下式給出焦距是從主點(diǎn)B算起的。B點(diǎn)離表面的距離為　　　　　　　解圖8.4　　上述公式對(duì)任意厚度的厚透鏡都成立，但只對(duì)近軸光線才給

4、出滿意的結(jié)果，因?yàn)槭窃谝欢ǖ慕葡碌玫降?。　　光被透鏡色散。透鏡對(duì)波長(zhǎng)λa的折射率是na，對(duì)波長(zhǎng)λb的折射率是nb。按折射率的冪次整理焦距公式，得f（r1＋r2－d）n2＋[2fd－f（r1＋r2）－r1r2]n－fd＝0這是一個(gè)二次方程。給定一個(gè)f值，應(yīng)有兩個(gè)n值，因此，我們的問(wèn)題可望解決?！　∠群笠詎a和nb代入方程，并令其相等：結(jié)果得出　　如果半徑r1、r2與厚度d滿足這一條件，則對(duì)兩個(gè)不同的波長(zhǎng)，即對(duì)兩個(gè)不同的折射率來(lái)說(shuō)，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘積na·nb在起作用，而不是色散（nb－na）。因?yàn)檎凵渎蚀笥冢?，于是括?hào)內(nèi)的數(shù)值小于１，說(shuō)明

5、半徑之和小于鏡厚。這意味著透鏡是相當(dāng)厚的。　　結(jié)果討論：首先透鏡不能是平凸或平凹的，因?yàn)檫@種透鏡有無(wú)限大的半徑。其次，r1和r2之一為負(fù)的發(fā)散透鏡是許可的，但不能是雙凹透鏡。　　如果要求的不是f而是（f－h(huán)）對(duì)兩個(gè)折射率有相同的值（注：即要求消除焦點(diǎn)色差），實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)也是可能的，但卻是一個(gè)復(fù)雜得多的問(wèn)題?！绢}3】質(zhì)量為m的一簇離子在P點(diǎn)以同一速度v向不同方向散開（如圖8.2）。垂直紙面的均勻磁場(chǎng)B將這些離子聚焦于R點(diǎn)，距離PR＝2a，離子的軌道應(yīng)是對(duì)稱的。試確定磁場(chǎng)區(qū)的邊界。解：在磁場(chǎng)B中，作用于電量為Q、速度為v的質(zhì)點(diǎn)上的洛侖茲力為QvB。結(jié)果使粒子在

6、半徑為r的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，即：　　　　　　質(zhì)量為m的所有粒子都在半徑為　　　　　　　　　　　　　　圖8.2第3頁(yè)共3頁(yè)的相同的圓軌道上運(yùn)動(dòng)。離開磁場(chǎng)后，它們將沿最后的切線方向直線飛行。磁場(chǎng)邊界應(yīng)按所有離子都打在同一點(diǎn)R的要求去尋找。要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題是，粒子應(yīng)從這些半徑為r的圓的何處離開，才能使它們的切線在R點(diǎn)相交。這些半徑為r的圓的圓心都位于y軸上（如解圖8.5所示）在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動(dòng)的粒子，在坐標(biāo)為（x，y）的A點(diǎn)離開磁場(chǎng)，沿切線飛向R。由相似三角形得到：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解圖8.5　　　　　　圓的方程為消去（y

7、－b），得到滿足條件的A點(diǎn)的集合，因此，表示磁場(chǎng)邊界的函數(shù)為：　　　　　　這是一個(gè)四次函數(shù)。只要在第一象限畫出這個(gè)函數(shù)的曲線，把它對(duì)y軸反演即可。表示磁場(chǎng)邊界的函數(shù)的形式取決于給定的距離a和半徑r的相對(duì)大?。ㄒ娊鈭D8.6（a），（b），（c））?！　∪绻霃絩小于a（小速度強(qiáng)磁場(chǎng)），則磁場(chǎng)邊界無(wú)限延伸，向任何方向出發(fā)的離子也都能聚焦①?！　∪绻霃絩等于a，所有的離子也都能聚焦②。磁場(chǎng)邊界在P和R點(diǎn)處垂直出發(fā)，處在有限的范圍內(nèi)?！　∪绻霃絩大于a，邊界更為平坦。那些出發(fā)方向比P點(diǎn)切線更陡的離子不能達(dá)到R點(diǎn)。　　　　　　　　　　　解圖8.6　?。ㄗⅲ孩僭?/p>

8、文“向任何方向出的離子都能聚焦”的結(jié)論不妥。在r＜a時(shí)，v與x軸夾角大于900的