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2022學年第二學期高一開學測試數(shù)學試卷一?填空題（本大題共12題，滿分54分）只要求直接填寫結果，第1~6題每個空格填對得4分?第7~12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1.角是第二象限角，，則___________.【答案】##【解析】【分析】依題意，求出，利用正弦二倍角公式求解即可.【詳解】因為角是第二象限角，，所以，所以，故答案為：.2.經(jīng)過50分鐘，鐘表的分針轉過___________弧度的角.【答案】【解析】【分析】由角的定義和弧度制的定義即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，分針轉過的弧度為.故答案為：.3.已知，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，，利用誘導公式可求解.【詳解】依題意，. 故答案為：4.已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用圓心角和弧長求出半徑，根據(jù)扇形面積公式求解即可.【詳解】依題意，扇形的半徑，所以扇形的面積，故答案為：.5.化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.【答案】1【解析】【詳解】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.6.把化為，的形式：________【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式將轉化為即可.【詳解】因為，所以形式即為.故答案為：.【點睛】本題考查輔助角公式的簡單應用，難度較易.注意 .7.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，由正弦定理得到，再由，得到，然后由二倍角公式求解.【詳解】解：因為，所以由正弦定理得：，即，因為，所以，即，所以，故答案為：8.方程在內(nèi)的解集是___________.【答案】【解析】【分析】首先求的范圍，再解方程.【詳解】，，，得或，解得：或， 所以方程的解集是.故答案為：9.在銳角中，，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意有，進而展開并結合降冪公式和輔助角公式化簡，然后根據(jù)該三角形為銳角三角形確定出A的范圍，最后求得答案.【詳解】根據(jù)題意，而三角形ABC為銳角三角形，則，所以，于是.故答案為：.10.已知x，y均為正數(shù)，，且滿足，，則的值為______．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因為，所以而所以 由得，因此或∵x、y為正數(shù)，∴考點：同角三角函數(shù)關系，消參數(shù)11.在角、、、…、的終邊上分別有一點、、、…、，如果點的坐標為，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用誘導公式將點的坐標變?yōu)?，然后根?jù)三角函數(shù)定義可得，再利用誘導公式及兩角差的正弦即可得到結果.【詳解】，即由三角函數(shù)定義知=.故答案為：.【點睛】本題主要考查的是誘導公式，三角函數(shù)定義的理解和應用，兩角和的正弦公式，考查學生的分析問題和解決問題的能力，是中檔題.12.在中，已知a，b，c是角A，B，C的對應邊，則： ①若，則在R上是增函數(shù)；②若，則是直角三角形；③的最小值為；④若，則；⑤若，則，其中錯誤命題的序號是___________.【答案】③⑤【解析】【分析】①由正弦定理即可判斷；②由余弦定理可得，可得；③由輔助角公式可得，由C的范圍即可求其范圍和最值；④由可得sinA＝sinB，從而可得；⑤展開變形可得，可得，進而可得可求A＋B．【詳解】①由正弦定理知，等價于，，在R上是增函數(shù)，故①正確；②由余弦定理可得，∵，∴，即，故是直角三角形，故②正確；③，，，，，故沒有最小值，故③錯誤；④，.故④正確；⑤展開可得， 即，，∵A＋B＋C＝π，A、B、C，∴A＋B，，故⑤錯誤；故答案為：③⑤．二?選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上填選項，選對得5分，否則一律得零分.13.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角的范圍以及平方關系求出，再利用商數(shù)關系求出，最后由兩角差的正切公式可得答案.【詳解】因為，，所以，.故選：D.【點睛】本題主要考查平方關系、商數(shù)關系以及兩角差的正切公式，屬于基礎題.14.在ABC中，．則取值范圍是（）A.（0，]B.[，）C.（0，]D.[，）【答案】C 【解析】【詳解】試題分析：由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.考點：三角形中正余弦定理的運用.15.設，的范圍是D，則函數(shù)的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，，結合同角平方關系和兩角和的正弦公式得到：，由三角函數(shù)的值域即可得到范圍；利用換元法令得到，結合基本不等式得到最大值，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到其最小值.【詳解】令，，則得：，則.即，解得；所以取值范圍為，則，；令，則，；所以， 當且僅當即時等號成立，此時又因函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；所以，綜上，當時，取得最小值，故答案為：B.【點睛】本題對于，的處理平方相加，再結合平方關系和兩角和的正弦公式進行化簡；其次，在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．16.已知函數(shù)，給出下列命題：①存在實數(shù)a，使得函數(shù)為奇函數(shù)；②對任意實數(shù)a，均存在實數(shù)m，使得函數(shù)關于對稱；③若對任意非零實數(shù)a，都成立，則實數(shù)k的取值范圍為；④存在實數(shù)k，使得函數(shù)對任意非零實數(shù)a均存在6個零點.其中的正確的選項是（）A.②③B.②④C.①③D.①④【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法可判斷①；驗證，可判定②；利用基本不等式可判定③；當時，分析出函數(shù)在上現(xiàn)遞減再遞增，即，可得出，利用不恒成立，可判定④，同理可得，當時，命題④也不成立，從而得到④的真假.【詳解】由題意，令， 函數(shù)的定義域為，則，所以函數(shù)為偶函數(shù).對于①，若，則，則，此時函數(shù)不是奇函數(shù)；若，則函數(shù)的定義域為且，，，顯然，綜上所述，對任意的，函數(shù)都不是奇函數(shù)，故①錯誤；對于②，，所以，函數(shù)關于直線對稱，因此，對任意實數(shù)，均存在實數(shù)，使得函數(shù)關于對稱，所以②正確；對于③，，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以，因為，當時，，當時，，兩個等號可以同時成立，所以.因此，實數(shù)的取值范圍是，③正確；對于④，假設存在實數(shù)，使得直線與函數(shù)的圖象有6個交點，若，當時，， 此時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，；當時，任取，且，即，則，因為，隨著的增大而增大，當且時，，當且時，，所以，使得當時，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當時，.若存在實數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實數(shù)均存在6個零點，即直線與函數(shù)的圖象有6個交點， 由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，則直線與函數(shù)在直線右側的圖象有3個交點，所以，.由于為定值，當且當逐漸增大時，也在逐漸增大，所以不可能恒成立，所以當時，不存在實數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實數(shù)均存在6個零點；同理可知，當時，不存在實數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實數(shù)均存在6個零點，故命題④錯誤.故選：A.三?解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（1）已知，，，求.（2）化簡：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，進而得到，然后求出，最后根據(jù)求出答案；（2）將分子化簡為，然后結合二倍角公式和誘導公式即可化簡.【詳解】（1）由題意，，而，則，而，解得：. 又因為，則，而，所以，故.所以.（2）原式.18.已知函數(shù)，.（1）設集合，求集合A；（2）當時，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）由可得，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解指數(shù)不等式即可求得集合；（2）把變形，再由的范圍求得的范圍，結合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）由，得，即，則，求得． ，；（2）．，，，當時，，當時，．故的最大值為，最小值為．【點睛】關鍵點點睛：解答（1）的關鍵是求出，解答（2）的關鍵是先求出，再利用配方法求解.19.某個公園有個池塘，其形狀為直角三角形，，米，米.（1）現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在上取點D?E?F，并且，，（如圖1），游客要在內(nèi)喂魚，希望面積越大越好.設（米），用x表示面積S，并求出S的最大值；（2）現(xiàn)在準備新建造一個走廊，方便游客通行，分別在上取點D?E?F，建造正走廊（不考慮寬度）（如圖2），游客希望周長越小越好.設，用表示的周長L，并求出L的最小值.【答案】（1），平方米； （2）（其中是滿足的銳角），米.【解析】【分析】（1）因為，則可求CE，BE，DE，求得，利用基本不等式可求的面積的最大值；（2）設等邊三角形邊長為，在中，由正弦定理可得（其中是滿足的銳角），即可求得的周長及其最小值．【小問1詳解】在中，，米，米，所以，，因為，，所以，在中，因為，則，故，所以在中，，所以，由基本不等式得，，當且僅當，即時，等號成立，的面積有最大值平方米；【小問2詳解】設正的邊長為，因為，則，，在中，，，因為為平角，所以，所以， 所以在中，，整理得（其中是滿足的銳角），所以的周長，當時，的周長有最小值米.20.在平面直角坐標系中，，是位于不同象限的任意角，它們的終邊交單位圓（圓心在坐標原點O）于A，B兩點（1）已知點A，將繞原點順時針旋轉到，求點B的坐標；（2）若角為銳角，且終邊繞原點逆時針轉過后，終邊交單位圓于，求值；（3）若A，B兩點的縱坐標分別為正數(shù)a，b，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）設點在角的終邊上，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可得再根據(jù)題意可知點在角的終邊上，且，根據(jù)誘導公式即可求出點的坐標；（2）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得和的值，再利用兩角和差的三角公式，求得要求式子的值；（3）由題意，角和角一個在第一象限，另一個在第二象限，再利用任意角的三角函數(shù)的定義、兩角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式，即可求出結果．【詳解】（1）設點在角的終邊上，又，則， 所以點在角的終邊上，且，所以點的橫坐標為，縱坐標為，即點坐標為.（2）∵頂點在原點的銳角繞原點逆時針轉過后，終邊交單位圓于，∴，且，求得，則，，則．（3）角和角一個在第一象限，另一個在第二象限，不妨假設在第一象限，則在第二象限，根據(jù)題意可得，且，∴，，∴，即，平方可得，，當且僅當時，取等號．∴，當且僅當時，取等號，故當時，取得最大值為．21.已知函數(shù)，其中.（1）當函數(shù)為偶函數(shù)時，求m的值；（2）若，函數(shù)，，是否存在實數(shù)k，使得的最小值為0？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由； （3）設函數(shù)，，若對每一個不小于3的實數(shù)，都有小于3的實數(shù)，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由可得m的值；（2）當時，，令，則，分類討論求出的最小值，列方程即可求解；（3）將題目的條件轉化為：對于任意一條直線，如果與圖象中滿足的部分圖象有交點，則必然與的圖象中滿足的部分圖象也有交點，分四種情況討論即可得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）當函數(shù)為偶函數(shù)時，，所以，解得：，經(jīng)檢驗，符合，故；（2）當時，，令，則，當即時，上單調(diào)遞增，所以，解得：，符合；當即時，無解； 當即時，上單調(diào)遞減，所以，解得：，應舍去；綜上，；（3），將題目的條件轉化為：對于任意一條直線，如果與圖象中滿足的部分圖象有交點，則必然與的圖象中滿足的部分圖象也有交點.當時，是單調(diào)遞增的，所以當時，是單調(diào)函數(shù)，分四種情況討論：①當時，在上符號是負，而在上符號是正的，所以不滿足題目的條件；②當時，當時，，而當時，，所以也不符合條件；③當時，要滿足條件只需即，所以；④當時，要滿足條件只需即，即，令，因為在上單調(diào)遞增，且，所以解得，所以，