《湖北省武漢市問津教育聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2025屆問津教育聯(lián)合體高二12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每小題5分，共40分）1.在等差數(shù)列中，若，則公差（）A.2B.4C.3D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式列出方程組求解即可.【詳解】因為，所以，.故選：B.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將題中拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得解.【詳解】因為拋物線可化為，所以其準(zhǔn)線方程為.故選：C.3.冰糖葫蘆是中國傳統(tǒng)小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖2所示，且山楂的半徑（圖2中圓的半徑）為2，竹簽所在的直線方程為，則與該串冰糖動蘆的山楂都相切的直線方程為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求直線方程為，結(jié)合兩平行直線間的距離公式，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】因為竹簽所在的直線方程為，設(shè)與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為，由兩平行直線間的距離公式，可得，解得，所以與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為.故選：D.4.三棱柱中，為棱的中點，若，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算法則與空間向量基本定理，求解即可.【詳解】故選：D.5.雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過，則該雙曲線離心率為（） A.B.2C.D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系求解.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，將代入漸近線方程得，所以，故選:B．6.已知點P，Q是圓O：上的兩個動點，點A在直線l：上，若的最大值為，則點A的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷直線與圓為相離，再由題設(shè)得為圓切線，根據(jù)已知確定，設(shè)應(yīng)用兩點距離公式求坐標(biāo).【詳解】由到的距離，故直線任意一點與圓上兩點所成角最大，則為圓的切線，要使的最大值為，即為邊長為的正方形，則，此時，令，有，， 所以，即.故選：A7.如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點，為的中點，則點到平面的距離為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】因為，為的中點，則，由圓錐的幾何性質(zhì)可知平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得， 又因為，所以，點到平面的距離為.故選：B.8.已知點為橢圓:的右焦點，點是橢圓上的動點，點是圓上的動點，則的最小值是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，利用橢圓的定義以及圓的幾何性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：在橢圓中，，則，圓的圓心，半徑，圓心為橢圓的左焦點，由橢圓定義可得，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以， 所以的最小值是.故選：C.二、多選題（每小題5分，共20分）9.若方程所表示的曲線為，則（）A.曲線可能是圓B.若，則橢圓C.若為橢圓，且焦點在軸上，則D.若為雙曲線，且焦點在軸上，則【答案】AC【解析】【分析】AB選項，計算出時，曲線表示圓，A正確，B錯誤；C選項，根據(jù)焦點在軸上的橢圓所滿足的條件得到不等式，求出答案；D選項，根據(jù)焦點在軸上的雙曲線所滿足的條件得到不等式，求出答案.【詳解】A選項，當(dāng)，即時，方程為，表示圓心為原點，半徑為的圓，故選項正確，選項錯誤；C選項，若為橢圓，且焦點在軸上，則，解得，故選項正確；D選項，若為雙曲線，且焦點在軸上，方程即，則，解得，故選項D錯誤.故選：AC.10.（多選）已知直線與曲線，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，直線與曲線有且僅有一個交點B.當(dāng)時，直線與曲線有且僅有一個交點C.當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點D.當(dāng)或時，直線與曲線沒有交點 【答案】BCD【解析】【詳解】[把化成為，因為，，所以曲線表示圓的下半部分，如圖，，，．當(dāng)過時，，直線與曲線有且僅有一個交點，當(dāng)過時，，這時直線與曲線有兩個交點，當(dāng)與曲線相切時，，解得（舍去）．∴當(dāng)或時，直線與曲線無交點；當(dāng)或時，直線與曲線有且僅有一個交點；當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點，故選BCD．]11.設(shè)拋物線的頂點為O，焦點為F.點M是拋物線上異于O的一動點，直線OM交拋物線的準(zhǔn)線于點N，下列結(jié)論正確的是（????）A.若，則B.若，則O為線段MN的中點C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，求得拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，結(jié)合選項，利用拋物線的定義，求得點和點的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線為，對于A中，設(shè)，若，根據(jù)拋物線的定義，可得， 解得，可得，可得，所以A正確；對于B中，由，則，不妨設(shè)，則直線的方程為，令，可得，即，所以為線段的中點，所以B正確；對于C中，設(shè)，若，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，則，可得，所以C不正確；對于D中，由，可得，不妨設(shè)，則直線的方程為，令，可得，即，則，所以，所以D正確.故選：ABD.12.如圖，在棱長為2的正方體中，Q為線段的中點，P為線段上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的有（???）A.為中點時，過三點的平面截正方體所得的截面的周長為B.不存在點，使得平面平面C.存在點P使得的值為 D.三棱錐外接球體積最大值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正方體的截面、空間向量法、空間距離、幾何體的外接球等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，為中點時，連接，由于分別是，所以，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，則過三點的平面截正方體所得的截面為梯形，其周長為，所以A選項錯誤.B選項，以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，，，，所以直線與平面不平行，所以不存在點，使得平面平面，B選項正確.C選項，將正方形、正方形展開成平面圖形如下圖所示，連接，交于，此時取得最小值為， 所以不存在點P使得的值為，C選項錯誤.D選項，對于三棱錐，其中兩兩相互垂直，其中為定值，，而三棱錐外接球的直徑，是將其補形為長方體時，長方體的體對角線，也即，所以外接球半徑的最大值為，其體積的最大值為，D選項正確.故選：BD【點睛】求解正方體截面有關(guān)問題，主要是通過擴展截面得到，擴展截面的方法主要是通過平行，也即共面來進行.求解幾何體外接球有關(guān)問題，當(dāng)幾何體可以補形成長方體時，長方體的體對角線也即外接球的直徑.三、填空題（每小題5分，共20分）13.設(shè)直線與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，則實數(shù)m的值是____________．【答案】【解析】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得半徑與圓心，由點線距離公式用表示弦心距，利用勾股定理表示半弦長，由弦長為建立方程，求解即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，由題意弦的長為，則，則，解得． 故答案為：.14.如圖，某高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為時，水面寬度為，當(dāng)水面再上升時，水面寬度為______________.【答案】6【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，讓拋物線的頂點與坐標(biāo)原點重合，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)點在拋物線上求出，再根據(jù)求出，則答案可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，讓拋物線的頂點與坐標(biāo)原點重合，則由題意可設(shè)拋物線的方程為，由題意可知點在拋物線上，則，所以，所以拋物線的方程為，當(dāng)水面再上升時，，此時有，解得，所以此時的水面寬度為.故答案為：6.15.已知正方體的所有棱長均為1，為線段上的動點，則到平面的最大距離為______．【答案】##【解析】 【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出平面的法向量，從而求出點到平面的距離，求出最大值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，故點到平面的距離為，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為. 故答案為：16.已知直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】聯(lián)立，得到線段的中點為，設(shè)與的交點分別為，，利用點差法能求出橢圓的離心率.【詳解】聯(lián)立得：，所以直線與直線的交點坐標(biāo)為，所以線段的中點為，設(shè)與的交點分別為，，所以，，則，，分別把，代入到橢圓得：，兩式相減得：， 因為直線為：，所以，且，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以.故答案為：四、解答題（共6題，共70分）17.已知數(shù)列an=n（n+2）.（1）寫出這個數(shù)列的第8項和第20項；（2）63是不是這個數(shù)列中的項？如果是，是第幾項？【答案】（1）（2）63是這個數(shù)列中的第7項【解析】【分析】（1）代入和求解即可；（2）令求解即可【小問1詳解】由題意，，【小問2詳解】令，則，因為，故，即63是這個數(shù)列中的第7項18.已知正三棱柱，底面邊長，，點、分別是邊、的中點．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． （1）求三棱柱的側(cè)棱長；（2）求與夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，可知即可求三棱柱的側(cè)棱長.（2）用求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則、、、、、，∴，，∵，則，解得，故正三棱柱的側(cè)棱長為．【小問2詳解】由（1）可知，，，則，故與夾角的余弦值為．19.已知圓，兩點、. （1）若，直線過點且被圓所截的弦長為，求直線的方程；（2）若圓上存在點，使得，求圓半徑的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）計算出圓心到直線的距離為，對直線的斜率是否存在進行分類討論，設(shè)出直線的方程，利用點到直線的距離公式可求出直線的方程；（2）設(shè)點，利用平面內(nèi)兩點間的距離公式結(jié)合可得知點在圓，可知圓與圓有公共點，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，即可解得的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，因為直線過點且被圓所截的弦長為，則圓心到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，所以，直線的方程為或.【小問2詳解】解：設(shè)點，則，整理可得，因為點在圓上，則圓與圓有公共點，且圓的圓心為，半徑為，則，且，故， 因為，解得，故的取值范圍是.20.如圖，A地在B地東偏北45°方向相距處，且B與相距4km.已知曲線形公路上任意一點到B地的距離等于到高鐵線（近似看成直線）的距離，現(xiàn)要在公路旁建造一個變電房M（變電房與公路之間的距離忽略不計）（1）試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求環(huán)形公路所在曲線的軌跡方程；（2）問變電房M應(yīng)建在相對A地的什么位置（方位和距離），才能使得架設(shè)電路所用電線長度最短？并求出最短長度.【答案】（1）（2），位于A地正南方且與A地相距，所用電線最短長度為6km.【解析】【分析】（1）取經(jīng)過點B且垂直的直線為y軸，垂足為K，并使原點與線段的中點重合，建立直角坐標(biāo)系，由題意可知環(huán)形公路所在曲線的軌跡是拋物線，直接利用拋物線的定義得到其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用拋物線的定義，把所要求的最小值轉(zhuǎn)化為在拋物線上取一點，使該點到A點的距離和到高鐵線的距離最小.【小問1詳解】如圖，取經(jīng)過點B且垂直的直線為y軸，垂足為K，并使原點與線段的中點重合，建立直角坐標(biāo)系，則，，因為環(huán)形公路上任意一點到B地的距離等于到直線的距離， 所以所在的曲線是以為焦點以l為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)拋物線方程為，則.∴環(huán)形公路所在曲線的軌跡方程為.【小問2詳解】要使架設(shè)電線長度最短，即最小，過M作，垂足為H，∴，當(dāng)A、M、H三點共線時，即取得最小值，此時，位于A地正南方且與A地相距，所用電線最短長度為6km.21.如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）若為上的一點，點到平面的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由、可證得平面，由面面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）以中點為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用點到平面距離的向量求法可求得的值，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：在梯形中，取中點，連接， ，，四邊形為平行四邊形，，，；，，平面，平面，平面，平面平面.【小問2詳解】解：分別取中點，連接，，為中點，，又平面平面，平面平面，平面，平面，分別為中點，，平面，則以為坐標(biāo)原點，正方向為軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，， ；點到平面的距離，解得：，；平面軸，平面的一個法向量，，所以，平面與平面夾角的余弦值為.22.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點，，若點，是曲線上兩點，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）利用橢圓離心率的定義與待定系數(shù)法求得，從而得解；（2）利用橢圓的對稱性，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為的面積，再利用弦長公式與點線距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】因為，所以，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為點在上，所以，解得，從而，， 所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點，連接，延長交橢圓于點，連接，，，由橢圓對稱性可知：，又，所以為平行四邊形，又，所以，，則，且，，三點共線，所以四邊形的面積為，由題意知直線斜率不為0，設(shè)直線：，，，聯(lián)立，消去，得，易知，則，，所以，又，所以點到直線的距離即為點到直線的距離，而點到直線的距離為，所以，令，則，，所以， 又，則，所以當(dāng)時，即時，四邊形面積取得最大值，最大值為3.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；