《湖南省名校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年秋季高二年級(jí)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是A.B.1C.D.2.等差數(shù)列中，，則的前2023項(xiàng)和為A.1011B.2022C.4046D.80923.設(shè)；，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是A.B.C.D.4.下列說(shuō)法正確的是A.過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為B.過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為C.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為D.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是85.溶液酸堿度是通過(guò)pH計(jì)量的，pH的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.已知某品牌蘇打水中氫離子的濃度為摩爾/升，計(jì)算這種蘇打水的pH值為（精確到0.001）（參考數(shù)據(jù)：）A.6.602B.7.699C.8.301D.8.6996.已知實(shí)數(shù)，且滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為A.9B.12C.16D.257.已知函數(shù)（），則A.存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)沒有零點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有成立C.當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根D.當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根8.已知雙曲線（，）的上下焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的值可能為A.B.C.2D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某學(xué)校對(duì)高一學(xué)生選科情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則A.該校高一學(xué)生總數(shù)為800B該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為96C.該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多80D.用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取20人，則生史地組合抽取6人10.圓和圓的交點(diǎn)為，，則A.公共弦所在直線的方程為B.線段中垂線方程為C.公共弦的長(zhǎng)為D.為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為11.已知，，為同一平面內(nèi)的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則 A.與的夾角為B.C.D.12.如圖，已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的底面內(nèi)（包含邊界）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是A.過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形為三角形或四邊形B.當(dāng)點(diǎn)到、、三點(diǎn)的距離相等時(shí)，三棱錐的外接球的面積為C.若點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到的距離相等，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分D.若點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到的距離的兩倍，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為選擇題答題卡題號(hào)123456789101112得分答案三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)為奇函數(shù)，若，則___________.15.已知?jiǎng)又本€與圓相交于點(diǎn)、，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的射影，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.（本小題滿分10分）等差數(shù)列滿足，，前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值.18.（本小題滿分12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為中點(diǎn)，設(shè).（1）求；（2）若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分12分）某高校承辦了杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求，的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的65%分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）； （3）在第四，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自同一組的概率.21.（本小題滿分12分）函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解不等式；（3）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與橢圓交于點(diǎn)，（在軸上方），且.設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為，三角形的面積為1（如圖1）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)平行于的直線與橢圓相交，其弦的中點(diǎn)為.①求證：直線的斜率為定值；②設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，（在軸上方），點(diǎn)為橢圓上異于，，，一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖2，求證：為定值.名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年秋季高二年級(jí)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案BCADCDCAACABADABC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.B【解析】，所以的虛部為1. 2.C【解析】數(shù)列是等差數(shù)列，故，故3.A【解析】若是的充分不必要條件，且等號(hào)不同時(shí)成立，解得.4.D【解析】對(duì)于A，當(dāng)或時(shí)，不存在選項(xiàng)中的兩點(diǎn)式直線方程，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線在軸上的截距為4，在軸上的截距為，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故D正確.5.C【解析】由題意得蘇打水的.6.D【解析】即求的最小值.，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.因不等式恒成立，只需，因此，故實(shí)數(shù)的最大值為25.7.C【解析】對(duì)于A：作出函數(shù)和的圖象（如圖所示），當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)，都有成立時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞增，而時(shí)，函數(shù)先增后減再增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是增函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：時(shí)，令得，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，所以方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，方程的根為的根，令，作出，的圖象，可得函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，其中包括，即方程有三個(gè)根.8.A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為， 設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解?二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.AC【解析】對(duì)于A，根據(jù)條形圖可知：政史地人數(shù)為200，由扇形圖知：這個(gè)組合所占比例為25%，所以該校高一學(xué)生總數(shù)為，A正確；對(duì)于B，根據(jù)條形圖可知：生史地人數(shù)為160，所以它所占比例為，所以物化地和物化政組合占比均為，所以該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，該校高一學(xué)生中，選考?xì)v史的人數(shù)為，選考物理的人數(shù)為，，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)樯返亟M合的人數(shù)占比為，所以用分層隨機(jī)抽樣方法從該校高一學(xué)生中抽取20人，則生史地組合抽取人，D錯(cuò)誤.10.AB【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閳A，，兩式作差可得公共弦所在直線的方程為，即，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，圓的圓心為，，則線段中垂線的斜率為，即線段中垂線方程為，整理可得，故B正確； 對(duì)于選項(xiàng)C，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以到直線距離的最大值為，故D錯(cuò)誤.11.AD【解析】由題意可設(shè)，，，因?yàn)?，為單位向量，所以解得?又因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，所以，因?yàn)椋耘c的夾角為，所以A選項(xiàng)正確；因?yàn)椋訠選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以D選項(xiàng)正確.12.ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若點(diǎn)為點(diǎn)（或點(diǎn)），則截面為三角形，若為其它點(diǎn)則為四邊形，故A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，滿足條件的點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，外接球球心為，半徑為，可知，，三點(diǎn)共線（如右圖）， ∴，得，，故B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，等價(jià)于點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，故C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由，滿足阿氏圓，故軌跡為一段圓弧，其半徑為，圓心角為，圓弧長(zhǎng)，故D錯(cuò).三、填空題：本題共4小題，每小題5分﹐共20分.13.【解析】.14.【解析】已知函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，又，則.又，，故.15.2【解析】容易知道圓心到動(dòng)直線距離為定值，所以設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，，當(dāng)直線時(shí)，，.16.8【解析】由題可知直線斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程：整理得：，，，.，得或（舍）.故直線，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為； 當(dāng)時(shí)，直線，又直線，消去整理得：，即此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，（或者利用直線過(guò)定點(diǎn)結(jié)合，得出點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓），點(diǎn)到直線距離的最大值為，綜合可知點(diǎn)到直線的距離的最大值為8.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.【解析】（1）等差數(shù)列滿足，，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則，解得所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為，又，所以.18.【解析】（1）因?yàn)?由正弦定理與誘導(dǎo)公式可得.顯然，所以，所以，∵，所以，∴.（2）依題意，即，∴.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).又由余弦定理得，∴.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的周長(zhǎng)最小值為.19.【解析】（1）由為矩形可知：，又因?yàn)?，，，平面，所以平面，又，所以面，又面，?（2）由（1）可知，，，所以，在中，，所以； 又，，，面，所以面；故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.則，，，，，又在中，，則，，，.設(shè)面法向量，則即故，設(shè)直線與面所成角為，則.20.【解析】（1）因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；（2）前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以第65百分位數(shù)在第三組，且為；（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，，，，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有，，，，，，，，，共有10種情況，其中選出的兩人來(lái)自同一組的有，，，，，，共6種情況，故選出的兩人來(lái)自同一組的概率為.21.【解析】（1）設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為， 則即.∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，即，故.（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無(wú)解.當(dāng)時(shí)，，解得.因此，原不等式的解集為.（3），①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，∴.②當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸的方程為.ⅰ）當(dāng)時(shí)，，解得.ⅱ）當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，.22.【解析】（1）由題意，可設(shè)，可得，所以，故，即；又橢圓經(jīng)過(guò)，即，解得；故所求橢圓的方程為：.（2）證明：設(shè)平行于的直線的方程為，且，①聯(lián)立得到，所以，； 故，直線的斜率為（定值）.②由題意可知，，，聯(lián)立方程組得，.設(shè)，先考慮直線斜率都存在的情形：直線，聯(lián)立方程組：得，直線，聯(lián)立方程組：得，則，，所以.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)結(jié)果仍然成立.為定值.