《浙江省溫州市溫州中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

浙江省溫州中學(xué)2023學(xué)年高二第一學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，解小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將你認(rèn)為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置.1.直線的傾斜角是AB.C.D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：直線的斜率，故其傾斜角為考點(diǎn)：直線的斜率與傾斜角的關(guān)系2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）A.4B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：A.3.已知直線上有兩點(diǎn)，平面的一個法向量為，若，則（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與平面平行等價于直線的方向向量與面的法向量垂直，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算求出的值.【詳解】因?yàn)橹本€上有兩點(diǎn)，所以直線的一個方向向量為 又因?yàn)?，平面的一個法向量為，所以，即，解得.故選：D.4.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)直接求解即可.【詳解】解：求導(dǎo)得，所以，解得故選:B5.已知雙曲線，焦距為，若成等比數(shù)列，則該雙曲線的離心率為（）A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，方程兩邊同時除以，再解關(guān)于離心率的方程即可解.【詳解】由雙曲線知：，又成等比數(shù)列，得，又，，方程兩邊同時除以，，，.故選：C.6.定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（） A.B.3C.D.6【答案】D【解析】【分析】先由等方差數(shù)列的定義得到是公差為2的等差數(shù)列并求出，進(jìn)而求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】依題意，，即是公差為2的等差數(shù)列，而，于是，即，則，所以數(shù)列的前24項(xiàng)和為：.故選：D7.動點(diǎn)在正方體從點(diǎn)開始沿表面運(yùn)動，且與平面的距離保持不變，則動直線與平面所成角正弦值的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系和余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求解.【詳解】連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形?所以，又平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，則由與平面的距離保持不變，得點(diǎn)的移動軌跡為三角形的三條邊，當(dāng)為中點(diǎn)時，直線與平面所成角正弦值最大，取的中點(diǎn)，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，所以，則為直角三角形，所以直線與平面所成角正弦值為，當(dāng)為C點(diǎn)時，直線與平面所成角的正弦值最小，此時，，，所以，則.直線與平面所成角正弦值取值范圍是，故選：C. 8.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解，可以構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性與正負(fù)判斷.【詳解】設(shè)，，則在上為增函數(shù)，故，即.又在上為增函數(shù)，且，則有，即，故.設(shè)，則，故為減函數(shù)，，即，故，即.綜合可得：．故選：A二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是B.點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是C.點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是D.點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)對稱性只需判斷對應(yīng)坐標(biāo)軸上是否需要變號，對選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.【詳解】對于A，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變號，橫坐標(biāo)不變，即為，故A正確； 對于B，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，只有豎坐標(biāo)變號，其余不變，即為，所以B錯誤；對于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)變號，豎坐標(biāo)不變，即為，即可知C錯誤；對于D，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都要變號，即為，即D正確；故選：AD10.已知，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.在處的切線方程為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BC【解析】【分析】對于AC，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可，對于BD，求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【詳解】對于AC，，由，得，所以切線的斜率，所以在處的切線方程為，所以A錯誤，C正確，對于BD，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由，得，解得，由，得，解得，所以在上遞增，在上遞減，所以B正確，D錯誤，故選：BC11.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A.數(shù)列為遞增數(shù)列B.和均為的最小值C.存在正整數(shù)，使得D.存在正整數(shù)，使得【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由得到，結(jié)合，得到 ，求出，A正確；由得到，從而求出，得到，，求出為的最小值，B錯誤；，解方程，求出，C正確；求出，，列出方程，求出，D正確.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)闀r，，即，故，因?yàn)椋?，即，因?yàn)楹愠闪?，所以，故等差?shù)列為遞增數(shù)列，A正確；則，即，故，由A選項(xiàng)知，故，，所以，故為的最小值，B錯誤；，因?yàn)?，故?dāng)時，， 所以存在正整數(shù)，使得，C正確；，，令，因?yàn)?，解得：存在正整?shù)，使得，D正確.故選：ACD12.已知橢圓：的左、右兩個焦點(diǎn)分別為，，短軸的上、下兩個端點(diǎn)分別為，，的面積為1，離心率為，點(diǎn)P是C上除長軸和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，的平分線交C的長軸于點(diǎn)M，則（）A.橢圓的焦距等于短軸長B.面積的最大值為C.D.的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出的值判斷A；列出面積的關(guān)系式，結(jié)合橢圓的范圍判斷B；利用角平分線的性質(zhì)得即可判斷C；結(jié)合橢圓的定義，得到，進(jìn)而求得的取值范圍可斷D.【詳解】對于A，令橢圓半焦距為c，由的面積為1，離心率為，得，又，解得，橢圓的方程為，A正確；對于B，設(shè)點(diǎn)，，面積無最大值，B錯誤； 對于C，由的平分線交長軸于點(diǎn)M，得，于是，由，，得，C正確；對于D，設(shè)，則，而且，即且，亦即，且，解得，且，因此，且，所以，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，最大值為.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卷相應(yīng)位置.13.直線被圓截得的弦長為__________.【答案】【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得直線截圓所得弦長.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為.故答案為：. 14.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，則此人第三天走的路程為___________.【答案】48【解析】【分析】設(shè)第一天走了x里，則由每天走的路程構(gòu)成以x為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列求解.【詳解】解：設(shè)第一天走了x里，由題意得，每天走路程構(gòu)成以x為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因?yàn)榇巳?天共走了378里路，所以，即，解得，所以此人第三天走的路程為，故答案為：4815.已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析得的性質(zhì)，結(jié)合與的關(guān)系，將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，從而得解.【詳解】令，則的定義域?yàn)?，又，則是偶函數(shù)；當(dāng)時，，， 當(dāng)時，顯然，當(dāng)時，，，所以，綜上，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以由，得，即，所以，即，解?故答案為：.16.已知點(diǎn)是拋物線：與橢圓：的公共焦點(diǎn)，是橢圓的另一焦點(diǎn)，P是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為_______.【答案】【解析】【詳解】分析：由題意可知與拋物線相切時，取得最小值，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出的值，即可求解其離心率．詳解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，過向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，則，所以,顯然當(dāng)直線與拋物線相切時，最小，即取得最小值，設(shè)直線的方程為，代入可得，令，可得， 不妨設(shè)在第一象限，則，所以，即，因?yàn)樵跈E圓上，且為橢圓的焦點(diǎn)，所以，解得或（舍去），所以，所以離心率為．點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及橢圓的離心率的求解，其中根據(jù)拋物線的定義與幾何性質(zhì)，得到關(guān)于的方程組是解答的關(guān)鍵．求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．四、解答題：木大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，利用基本量法即可求出，從而得出通項(xiàng)公式；（2）利用第（1）小問求出，再由錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和即可得出結(jié)論. 【小問1詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，聯(lián)立，解得或（舍去），所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，所以，兩式相減得，，所以，所以.18.如圖，直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，O為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)平面的法向量，再利用二面角的坐標(biāo)公式即可得解. 【小問1詳解】是正三角形，為的中點(diǎn)，，又是直三棱柱，平面，又平面，，又平面，平面.【小問2詳解】依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，是邊長為2的正三角形，則，則，，，，．，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故，設(shè)平面與平面夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為.19.已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，線段長度的最小值為. （1）求的方程；（2）過點(diǎn)作一條直線，交于，兩點(diǎn)，試問在準(zhǔn)線上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在符合題意的定點(diǎn)，的坐標(biāo)是或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得拋物線的方程.（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)“直線與的斜率之和等于直線斜率的平方”列方程，求得，也即求得點(diǎn)的坐標(biāo).小問1詳解】依題意，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，線段長度的最小值為，所以，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.設(shè)，由于直線與拋物線有兩個交點(diǎn)，所以直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得：，設(shè)，則，，，若“直線與的斜率之和等于直線斜率的平方”，則，， ，，，，，，解得或，所以存在符合題意的定點(diǎn)，的坐標(biāo)是或.20.已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)為，.（1）當(dāng)時，求的值；（2）若（為自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)代入，即可求出函數(shù)單調(diào)性可得，代入計算可求出；（2）利用韋達(dá)定理可得，代入化簡可得 ，構(gòu)造函數(shù)，求出其單調(diào)性即可求得其最大值.【小問1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時可得，，因此可知當(dāng)或時，；當(dāng)時，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；可得和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，又，所以；所以可得，即當(dāng)時，；【小問2詳解】易知，又，所以是方程的兩個實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，所以，設(shè)，由可得，令， 則，所以在上單調(diào)遞減，可得，故可知的最大值為.21.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求的方程；（2）過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線，依題意可得，解得即可；（2）設(shè)直線，，求得，聯(lián)立方程組，利用弦長公式，求得，，得到，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0， 設(shè)直線，，其中，雙曲線的漸近線為，因?yàn)?，均與的右支有兩個交點(diǎn)，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當(dāng)，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略： （1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，設(shè)，求證：函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，并判斷其范圍，進(jìn)而化簡的表達(dá)式，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；故當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】當(dāng)時，由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故；故當(dāng)時，，則，令，則，僅當(dāng)時等號成立，故在上單調(diào)遞增，且，即存在唯一，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；則當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)存在極大值點(diǎn)，即為；由，即，故，由于，故，且，即.