《四川省遂寧市蓬溪縣蓬溪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期半期數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2023—2024學(xué)年高二上期半期考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共22個題目，滿分150分，考試用時120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字述筆或簽字筆將自己的姓名、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答卡上.2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案涂黑；如需改動，用橡皮擦于凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列四個事件：①明天上海的天氣有時有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．其中必然事件有（）A.0個B.1個C.2個D.3個【答案】B【解析】【分析】判斷選項中每個事件為隨機事件還是必然事件還是不可能事件，可得答案.【詳解】由題意可知，①明天上海的天氣有時有雨為隨機事件；②東邊日出西邊日落為必然事件；③雞蛋里挑骨頭為不可能事件；④守株待兔為隨機事件，故必然事件有1個，故選：B2.傾斜角為135°的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點，則y等于（）A.4B.5C.D.【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)直線經(jīng)過的點以及斜率寫出直線方程，即可代入求解.【詳解】由題意可知：直線的方程為，將點代入直線方程中得，故選：C3.已知向量，，且，則（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】因，，所以，解得.故選：C4.已知直線：，則點關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直斜率關(guān)系，以及中點在直線上即可列方程求解.【詳解】設(shè)點關(guān)于對稱的點為，則，解得，故選：B5.圓C：上一點P到直線：的距離的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的方程，求出圓心和半徑，由圓心到直線的距離大于半徑，所以圓C上一點P到直線的距離的最小值，求解即可.【詳解】圓C：的圓心為，半徑為， 直線：可化為，圓心到直線的距離為，所以圓C上一點P到直線的距離的最小值為.故選：A6.某次乒乓球單打比賽在甲、乙兩人之間進行.比賽采取三局兩勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽的勝利，比賽結(jié)束.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲勝出的概率都為，比賽不設(shè)平局，各局比賽的勝負互不影響.這次比賽甲獲勝的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】甲戰(zhàn)勝乙包含兩種情況：①甲連勝2局，②前兩局甲一勝一負，第三局甲勝，由此利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲戰(zhàn)勝乙的概率．【詳解】結(jié)合題意：甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊包含兩種情況：甲連勝2局，概率為，前兩局甲一勝一負，第三局甲勝，概率為，則甲戰(zhàn)勝乙的概率為．故選：D．7.已知圓M：，下列結(jié)論中，正確的有（）A.過點作圓M的切線，則切線方程為B.圓M與圓N：外切C.圓M被直線：截得的弦長為D.圓M上恰有三個點到直線的距離為1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的特征以及切線的定義即可求解A,根據(jù)兩圓位置關(guān)系的判定即可求解B，根據(jù)弦長公式即可求解C，根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合圓的半徑即可求解D. 【詳解】圓M：的圓心和半徑分別為，對于A，過點可以作出圓的兩條切線，分別為和，故A錯誤，對于B，由于圓N：的圓心和半徑為,所以，故兩圓相交，B錯誤，對于C，到直線：的距離為，所以弦長為，C正確，對于D，到直線的距離為由于，所以圓上可以找到四個點到到直線的距離為1，故D錯誤，故選：C8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面，底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點，，，若平面，則（） A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得結(jié)果．【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,0,,0,,,,,,，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，所以；由可得是的中點，，由可得， 所以，因為平面，所以，解得．故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數(shù)，設(shè)事件“記下的點數(shù)為3”，事件“記下的點數(shù)為偶數(shù)”，事件“記下的點數(shù)小于3”，事件“記下的點數(shù)大于2”，則（）A.事件與互斥B.事件與互斥C.事件與對立D.事件與對立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷即可.【詳解】依題意骰子面朝上的點數(shù)可能為、、、、、共個基本事件，則事件“記下的點數(shù)為偶數(shù)”包含、、共個基本事件，事件“記下的點數(shù)小于3”包含、共個基本事件，事件“記下的點數(shù)大于2”包含、、、共個基本事件，所以事件與互斥，故A正確；事件與互斥，故B正確；事件與不互斥也不對立，故C錯誤；事件與互斥且對立，故D正確；故選：ABD10.已知向量，，，則下列命題中，真命題的有（）A.，可能為共線向量，，不可能為共線向量B.，，可能構(gòu)成空間的一組基底C.平移這三個向量至起點相同，以它們?yōu)猷忂厴?gòu)造一個平行六面體，則該六面體可能是一個直棱柱D.若，則，之間的夾角為鈍角【答案】AB【解析】 【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可判斷A；根據(jù)，，是否共面結(jié)合基底的定義即可判斷B；根據(jù)，，三個向量種是否有一個向量垂直于另兩個向量即可判斷C；由，之間的夾角為鈍角，可得且不共線，即可判斷D.【詳解】對于A，若，為共線向量，則，解得，若，為共線向量，則，無解，所以，可能為共線向量，，不可能為共線向量，故A正確；對于B，若，，共面，則存在唯一實數(shù)對，使得，即，所以，解得，所以當(dāng)時，，，共面，當(dāng)時，，，不共面，則當(dāng)時，，，可以構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對于C，因為，所以不垂直，則要使六面體是一個直棱柱，則，故，無解，所以該六面體不可能是一個直棱柱，故C錯誤；對于D，若，之間的夾角為鈍角，則且不共線，由，得，解得， 由不共線，結(jié)合A選項可得，所以當(dāng)且時，，之間的夾角為鈍角，故D錯誤.故選：AB.11.下列說法中，不正確的有（）A.若，則兩條平行直線：和：之間的距離小于1B.若直線與連接，的線段沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為C.已知點，，若直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為D.若集合，滿足，則【答案】ABD【解析】【分析】利用特殊值判斷A，求出直線過定點，再求出，，即可求出的范圍，從而判斷B，利用斜率公式判斷C，首先求出集合、的表示的幾何意義，再分兩直線平行和直線過點兩種情況討論，即可判斷D.【詳解】對于A：直線：，即，因為，所以，即，則與距離，因為，所以當(dāng)時，故A錯誤；對于B：直線，即，所以直線恒過點，又，，因為直線與連接，的線段沒有公共點，所以，解得，故B錯誤； 對于C：因為點，，且直線的傾斜角為銳角，所以，解得，故C正確；對于D：由，得，所以集合表示斜率為的直線上的點（除去點），由，得，令，解得，所以集合表示過點且斜率為的直線，若，即，此時兩直線平行，滿足；若直線過點，則，解得，此時，且，符合題意；所以或，故D錯誤.故選：ABD12.如圖，在棱長為的正方體中，，，分別為，，的中點，則下列結(jié)論正確的是（） A.點到直線的距離為B.直線到平面的距離為C.直線與平面所成角的余弦值為D.直線與直線所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】由正方體可知為正三角形，進而判斷A選項，利用坐標(biāo)法分別求直線到平面的距離、線面夾角及異面直線夾角，即可判斷BCD選項.【詳解】A選項，如圖所示，由正方體可知，即為正三角形，所以點到直線的距離，A選項正確；B選項：由，分別為，的中點，得且，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面， 則直線到平面的距離即為點到平面的距離，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，，所以，B選項正確；C選項：，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，余弦值為，C選項錯誤；D選項：，，則， 所以異面直線與所成角的余弦值為，D選項正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲、乙兩人獨立破譯一份機密文件，已知他們破譯失敗的概率分別為，，則兩人都能成功破譯這份機密文件的概率是____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得.【詳解】因為他們破譯失敗的概率分別為，，所以他們破譯成功的概率分別為，，則兩人都能成功破譯這份機密文件的概率.故答案為：14.在長方體中，和相交于O，，，，則____________.（用向量，，表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】由于,所以四邊形是平行四邊形，故O是的中點，，故答案為： 15.已知直線：，：，：，若直線，，不能圍成三角形，則_________________.【答案】或或，【解析】【分析】由題意，可得其中有2條直線平行（或重合），或者三線經(jīng)過同一個點．再根據(jù)兩條直線平行（或重合）的性質(zhì)，三直線共點問題，求出的值即可．【詳解】直線：，：，：，不能圍成三角形，則其中有2條直線平行（或重合），或者三線經(jīng)過同一個點，若（或重合）或者（或重合）時，則或，解得或．若三線經(jīng)過同一個點，則直線：，：，的交點在上，所以，解得．故或或，故答案為：或或，16.已知圓的圓心在直線上，且與直線和軸都相切，則圓的方程為___________.【答案】或【解析】【分析】由已知可設(shè)圓心為，半徑，再根據(jù)直線與圓相切，可得解.【詳解】由已知圓的圓心在直線上，則設(shè)，又圓與軸相切， 所以半徑，圓的方程為因為圓與直線相切，所以，化簡得，解得或，所以圓的方程為或，故答案為：或.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.袋子中有5個大小相同的小球，其中3個白球，2個黑球.有放回摸球兩次，每次從袋子中隨機摸出1個球（1）第一次摸到白球的概率；（2）兩次都摸到白球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解所有取法，然后求解所求事件的個數(shù)，即可由古典概型概率公式求解.【小問1詳解】由于是有放回摸球兩次的摸球，所以每次摸球都有5種選擇，故摸球兩次，所有可能的取法有種，第一次摸到白球的取法有種，所以第一次摸到白球的概率為【小問2詳解】兩次都摸到白球的所有可能取法有，所以兩次都摸到白球的概率為18.的三個頂點分別是，，.邊上的高所在直線記為，過且與 平行的直線記為，直線與的交點為.（1）求和的方程；（2）求到直線的距離.【答案】（1）的方程為，的方程為（2）【解析】【分析】（1）首先求出，即可求出，再由點斜式求出的方程，再求出，即可求出直線的方程；（2）聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式計算可得.【小問1詳解】因為，，，所以，所以，則直線的方程為，即，又，所以，則直線的方程為，即.即的方程為，的方程為.【小問2詳解】由，所以直線方程為，即，由，解得，所以， 所以點到直線的距離.19.如圖，四面體的每條棱長都相等，M，N，P分別是，，的中點（1）求證：，，為共面向量；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量基本定理表達出，得到，，為共面向量；（2）證明出線面垂直，得到平面的法向量為，求出，并求出，，利用線面角的正弦求解公式求出答案.【小問1詳解】因為M，N，P分別是，，的中點，故，所以，，為共面向量；【小問2詳解】四面體的每條棱長都相等，設(shè)為2，連接，因為均為等邊三角形，又N是的中點，所以⊥，⊥，因為，平面， 故⊥平面，所以平面的法向量為，其中，，故，又，故，，故，設(shè)與平面所成角的大小為，則20.甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種螺釘，現(xiàn)隨機抽取這兩臺機床生產(chǎn)的螺釘各100顆進行重量檢測（單位：克），檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：重量區(qū)間甲機床71245324乙機床31845286等次四等品三等品一等品二等品四等品品質(zhì)不合格合格不合格（1）試分別估計甲機床、乙機床生產(chǎn)的螺釘為不合格的概率； （2）從兩臺機床生產(chǎn)的品質(zhì)為合格的螺釘中，按等次采用分層抽樣的方法抽取6個螺釘，從這6個中任意抽取3顆，求這3顆中至少有兩顆是一等品的概率.【答案】（1）甲的概率為，乙的概率為，（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)表格計算即可；（2）先根據(jù)分層抽樣求出抽出一等品和非一等品的個數(shù)，再根據(jù)古典概型計算即可.【小問1詳解】由表可知，甲機床生產(chǎn)的螺釘為不合格的概率，乙機床生產(chǎn)的螺釘為不合格的概率；【小問2詳解】由題意，抽取的一等品有顆，設(shè)為，則非一等品有顆，設(shè)為，從這6個中任意抽取3顆，有，，，共種，其中至少有兩顆是一等品有種，所以3顆中至少有兩顆是一等品的概率為.21.在正四棱柱中，，，在線段上，且，在線段上. （1）求證：平面.（2）若平面和平面的夾角為，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證明平面；（2）由（1）中的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法先求出平面和平面的夾角為時的位置，從而求解.【小問1詳解】證明：由題知，可以點為原定，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則：，，，，，，得：，，， 因為：，所以：，即：，因為：，所以：，即：，又因為：，平面，所以：平面.【小問2詳解】設(shè)，，連接，，如（1）圖所示，由（1）可得：，，，設(shè)平面的一個法向量為，則：，令：，得：，由（1）知是平面的一個法向量，因為平面和平面夾角為，所以：，整理得：，又因為：，得：，所以：.22.已知點，圓Q：（Q為圓心）.經(jīng)過點P，Q的圓的圓心為M，且圓M與圓Q相交于A，B兩點.（1）當(dāng)點M在y軸上時，求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；并說明此時直線PA，PB都不是圓Q的切線；（2）求線段AB長度的取值范圍.【答案】（1）①，②證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心M的坐標(biāo)，根據(jù)點P,Q在圓M上，建立方程求出圓心M 的坐標(biāo)，從而求出圓的方程；若圓M是以線段PQ為直徑的圓，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可以得出PA,PB為圓Q的切線，但此時可以驗證圓心M不在PQ上，從而得證；（2）因圓M過點P,Q，所以圓心在線段PQ的垂直平分線上，設(shè)出圓心M的坐標(biāo)，寫出圓M的方程，聯(lián)立圓Q的方程求出直線AB的方程，求出點Q到直線AB的距離，從而求出弦長的表達式，運用二次函數(shù)圖像及不等式性質(zhì)求出弦長的范圍.【小問1詳解】因點M在y軸上，設(shè)，又P,Q在圓M上,所以，即，解得，即，半徑,所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為；又圓M與圓Q相交于A,B,若圓M是以PQ為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角有,但此時可以驗證圓心M不在PQ上，所以直線PA,PB都不是圓Q的切線.【小問2詳解】因圓M過點P,Q，所以圓心在PQ的垂直平分線上，設(shè)，半徑，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又圓M與圓Q相交于A,B,聯(lián)立，得直線AB的方程為，所以點Q到直線AB的距離為，所以，設(shè)，由不等式性質(zhì)可得， 所以線段AB的取值范圍為.