《重慶市璧山來鳳中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

來鳳中學(xué)高2024屆高二（下）數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試數(shù)學(xué)試卷難度系數(shù)：0.38區(qū)分度：0.30一?單選題（每個(gè)小題5分，共40分）1.曲線在處切線方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)，則切線斜率，又，即得解【詳解】因?yàn)?，所以，所以．又，所以曲線在處的切線方程為．故答案為：D2.數(shù)列中的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由求出的通項(xiàng)，進(jìn)而可得的通項(xiàng)，再求和即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足上式，所以，設(shè)，則，所以

1，故選：D.3.甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.8，在目標(biāo)被擊中的條件下，甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,記甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,目標(biāo)被擊中為事件C,由相互獨(dú)立事件的概率公式,計(jì)算可得目標(biāo)被擊中的概率,進(jìn)而計(jì)算在目標(biāo)被擊中的情況下,甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率,可得答案.【詳解】根據(jù)題意,記甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,目標(biāo)被擊中為事件C,則；則在目標(biāo)被擊中的情況下,甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算,是基礎(chǔ)題,注意認(rèn)清事件之間的關(guān)系,結(jié)合條件概率的計(jì)算公式正確計(jì)算即可.屬于基礎(chǔ)題.4.數(shù)學(xué)上的“四色問題”，是指“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有公共邊界的國家著上不同的顏色”，現(xiàn)有五種顏色供選擇，涂色我國西部五省，要求每省涂一色，相鄰各省不同色，有（）涂色方法.A.120種B.180種C.380種D.420種【答案】D

2【解析】【分析】根據(jù)題意，分4步依次分析5個(gè)省的涂色方法的數(shù)目，進(jìn)而結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析5個(gè)省的涂色方法的數(shù)目：對(duì)于新疆有5種涂色的方法，對(duì)于青海有4種涂色方法，對(duì)于西藏有3種涂色方法，對(duì)于四川與甘肅：若西藏與甘肅顏色相同，則有3種涂色方法，若西藏與甘肅顏色不相同，則甘肅有2種涂色方法，四川有2種涂色方法，則西藏與甘肅的涂色方法有3+2×2=7種，則共有5×4×3×7=420種涂色方法；故選：D．5.有7名學(xué)生參加“學(xué)黨史知識(shí)競賽”，咨詢比賽成績，老師說：“甲的成績是最中間一名，乙不是7人中成績最好的，丙不是7人中成績最差的，而且7人的成績各不相同”.那么他們7人不同的可能位次共有（）A.120種B.480種C.504種D.624種【答案】C【解析】【分析】甲的位置固定，問題轉(zhuǎn)化為排頭排尾有限制的排列問題，利用間接法求解.【詳解】因?yàn)榧椎某煽兪侵虚g一名，所以只需安排其余6人位次，其中乙排第一名的排法有，丙排最后一名的排法有，乙排第一名且丙排最后一名的排法有，所以由間接法可得滿足條件的排法有,故選：C6.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】C

3【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，從而得在定義上單調(diào)遞減；又，從而有，利用的單調(diào)性即可求解．【詳解】令，，，在定義上單調(diào)遞減；①又為偶函數(shù)，，，，則不等式，即，由①得，故選：C．7.已知點(diǎn)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量運(yùn)算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，則由，得，即；在中，為的中位線，

4所以，所以；由雙曲線定義知，且，故，所以，解得：，故選：.【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.8.函數(shù)滿足，在上存在導(dǎo)函數(shù)，且在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題可知函數(shù)為奇函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由函數(shù)滿足，可知函數(shù)為奇函數(shù)，，即，構(gòu)造函數(shù)，由題意知：在上，，故在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，，即為奇函數(shù)，

5故在R上單調(diào)遞減，因此原不等式可化為：，即，解得.故選：D．二?多選題（每個(gè)小題全對(duì)5分，部分選對(duì)2分，共20分）9.關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的有（）A.若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列B.若數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，則仍為等比數(shù)列.D.數(shù)列是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，則仍為等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項(xiàng)，再由等比數(shù)列的定義即可判斷A；當(dāng)時(shí)，求出前三項(xiàng)驗(yàn)證可判斷B；取特例可判斷C；根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)可判斷D.【詳解】A中：若數(shù)列前項(xiàng)和，由可得，當(dāng)時(shí)，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，A正確；B中：若數(shù)列的前項(xiàng)和，可得，，當(dāng)時(shí)，顯然所以數(shù)列不是等差數(shù)列，所以B錯(cuò)誤；C中：數(shù)列是等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)時(shí)，均為，不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；

6D中：數(shù)列是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，則即為，可得（常數(shù)），仍為等差數(shù)列，所以D正確；故選：BC10.以下關(guān)于圓錐曲線的說法，不正確的是（）A.設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線B.過點(diǎn)作直線，使它與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條C.若曲線為雙曲線，則或D.過定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷A；結(jié)合圖象可判斷B；根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征列不等式求解可判斷C；利用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)P的軌跡，可判斷D.【詳解】由雙曲線定義可知，只有當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，A錯(cuò)誤；由圖可知，直線與拋物線都只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，代入得由解得，故與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，B正確；若曲線雙曲線，則，解得或，C正確；設(shè)圓O的方程為，點(diǎn)，

7因?yàn)椋?，變形得，代入得：，即，所以點(diǎn)的軌跡為圓，D錯(cuò)誤.故選：AD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）AB.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法可判斷AC選項(xiàng)的正誤，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可判斷B選項(xiàng)的正誤，求導(dǎo)后再利用賦值法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】令.對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，可得，則有，，的展開式通項(xiàng)為，所以，的展開式通項(xiàng)為，由，解得，所以，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，因此，，故C正確；

8對(duì)于D選項(xiàng)，，因此，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，若.（1）；（2）展開式各項(xiàng)系數(shù)和為；（3）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為；（4）偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為.12.已知函數(shù)對(duì)于任意，均滿足.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，下列結(jié)論正確的為（）A.若，則恰有兩個(gè)零點(diǎn)B.若，則有三個(gè)零點(diǎn)C.若，則恰有四個(gè)零點(diǎn)D.不存在使得恰有四個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，求出直線與曲線相切以及直線過點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.令，即，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

9令，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)、的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)的圖象過點(diǎn)時(shí)，有，解得.過點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，切線過點(diǎn)，所以，，解得，則切線斜率為，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切.若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖可得或，A選項(xiàng)正確；若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，B選項(xiàng)正確；若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

10（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.三?填空題（每個(gè)小題5分，共20分）13.二項(xiàng)式展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是__________．【答案】【解析】【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)，再令，求出，再代入計(jì)算即可得解.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù).故答案為：．14.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=(0<<2)，則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為____.【答案】【解析】【分析】先證明A1B1∥平面D1EF，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A1到平面D1EF的距離，然后建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF，A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，則點(diǎn)G到平面D1EF的距離等于點(diǎn)A1到平面D1EF的距離.

11以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(xiàn)(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.設(shè)平面D1EF的法向量為，則，令x=1，則y=0，z=2，所以平面D1EF的一個(gè)法向量.點(diǎn)A1到平面D1EF的距離==，即點(diǎn)G到平面D1EF的距離為.故答案為：.15.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，且，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性和極值，作出其草圖；分析當(dāng)時(shí)，最多存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，不合題意，應(yīng)舍去.當(dāng)時(shí)，作出的圖像，根據(jù)題意，建立不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以.

12因?yàn)?，所?令，解得：.令，解得：，所以在上單增；令，解得：，所以在上單減；所以①當(dāng)時(shí)，.而當(dāng)時(shí)，，所以最多存在兩個(gè)點(diǎn)，使得.不合題意，應(yīng)舍去.②當(dāng)時(shí)，作出的圖像，要使存在實(shí)數(shù)，，且，滿足，只需.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)

13數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．16.已知，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】利用算術(shù)根的幾何意義，把所求轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖形上點(diǎn)的距離最小值即可作答.【詳解】可看成點(diǎn)到點(diǎn)的距離，而點(diǎn)的軌跡是直線，點(diǎn)的軌跡是曲線，則所求最小值可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值，而曲線在直線上方，平移直線使其與曲線相切，則切點(diǎn)到直線距離即為所求，設(shè)切點(diǎn)，，由得，切點(diǎn)為則到直線距離.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及多變量的算術(shù)根問題，利用算術(shù)根的幾何意義轉(zhuǎn)化為兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離是解題的關(guān)鍵.四?解答題（寫出必要的解題過程?文字說明，共70分）17.設(shè)函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）見解析(2).【解析】【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求和的解，即可求出的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)根據(jù)(1)中結(jié)論即可求解.【詳解】(1)由題意可得，，當(dāng)時(shí)，或；

14當(dāng)時(shí)，；所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為，在處取得極大值，的極大值為；在處取得極小值，的極小值為.(2)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合(1)中的單調(diào)性以及極值點(diǎn)可知，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由可得，等式兩邊同時(shí)加1，即可證明結(jié)論；（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即，再利用累加法求出，然后利用分組求法求出【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知．因?yàn)?/p>

15，所以．所以，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查了數(shù)列遞推關(guān)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查計(jì)算能力，第（2）問解題的關(guān)鍵是由（1）得，再利用累加法求出通項(xiàng)公式，然后利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式可求出，屬于中檔題19.如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面，中，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成的角的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證得；（2）由已知結(jié)合線面平行的判定定理知平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量求線面角即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)镃是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，，又平面平面，且平面平面，平面，平面.

16（2）由E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，∴可設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，又，則.∴直線與平面所成角的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查線面垂直，及線面角的求法，利用空間向量求立體幾何?？疾榈膴A角：設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩直線所成的角為(),；②直線與平面所成的角為(),；③二面角的大小為(),20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

17【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）問題變形為，令，由題意得出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可．【詳解】（1），定義域?yàn)榍?①當(dāng)時(shí)，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得，得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）變形為，令，定義域?yàn)?，且?①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，此時(shí)，，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，此時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).此時(shí)，，合乎題意；

18（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，又，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．21.發(fā)展“會(huì)員”、提供優(yōu)惠，成為不少實(shí)體店在網(wǎng)購沖擊下吸引客流的重要方式．某連鎖店為了吸引會(huì)員，在2019年春節(jié)期間推出一系列優(yōu)惠促銷活動(dòng)．抽獎(jiǎng)返現(xiàn)便是針對(duì)“白金卡會(huì)員”、“金卡會(huì)員”、“銀卡會(huì)員”、“基本會(huì)員”不同級(jí)別的會(huì)員享受不同的優(yōu)惠的一項(xiàng)活動(dòng)：“白金卡會(huì)員”、“金卡會(huì)員”、“銀卡會(huì)員”、“基本會(huì)員”分別有4次、3次、2次、1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．抽獎(jiǎng)機(jī)如圖：抽獎(jiǎng)?wù)叩谝淮伟聪鲁楠?jiǎng)鍵，在正四面體的頂點(diǎn)出現(xiàn)一個(gè)小球，再次按下抽獎(jiǎng)鍵，小球以相等的可能移向鄰近的頂點(diǎn)之一，再次按下抽獎(jiǎng)鍵，小球又以相等的可能移向鄰近的頂點(diǎn)之一……每一個(gè)頂點(diǎn)上均有一個(gè)發(fā)光器，小球在某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)等可能發(fā)紅光或藍(lán)光，若出現(xiàn)紅光則獲得2個(gè)單位現(xiàn)金，若出現(xiàn)藍(lán)光則獲得3個(gè)單位現(xiàn)金．（1）求“銀卡會(huì)員”獲得獎(jiǎng)金的分布列；（2）表示第次按下抽獎(jiǎng)鍵，小球出現(xiàn)在點(diǎn)處的概率．①求，，，的值；②寫出與關(guān)系式，并說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）①，，，；②，理由詳見解析.【解析】

19【分析】（1）設(shè)“銀卡會(huì)員”獲得獎(jiǎng)金為個(gè)單位現(xiàn)金，得出的取值以及相應(yīng)的概率，最后列出分布列；（2）①第一次按下抽獎(jiǎng)鍵小球一定出現(xiàn)在正四面體的頂點(diǎn)，得出，第二次按下時(shí)，小球移向其它相鄰點(diǎn)，則，第三次按下時(shí)，由于小球不在點(diǎn)，則，第四次按下時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行討論，得出；②分兩種情況進(jìn)行討論，第一種：第次按下抽獎(jiǎng)鍵小球出現(xiàn)在點(diǎn)處，第二種：第按下抽獎(jiǎng)鍵小球不在點(diǎn)處，根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)，即可得出與關(guān)系式.【詳解】（1）設(shè)“銀卡會(huì)員”獲得獎(jiǎng)金為個(gè)單位現(xiàn)金，則可取4，5，6；；的分布列:456（2）①第一次按下抽獎(jiǎng)鍵小球一定出現(xiàn)在正四面體的頂點(diǎn)，得出第二次按下時(shí)，小球移向其它相鄰點(diǎn)，則第三次按下時(shí)，由于小球不在點(diǎn)，則第四次按下抽獎(jiǎng)鍵時(shí)若第三次結(jié)束小球在點(diǎn)，則第四次按下抽獎(jiǎng)鍵時(shí)小球出現(xiàn)在點(diǎn)的概率為0若第三次結(jié)束小球不在點(diǎn)，則第四次按下抽獎(jiǎng)鍵時(shí)小球出現(xiàn)在點(diǎn)的概率為．②由題意知：若第次按下抽獎(jiǎng)鍵小球出現(xiàn)在點(diǎn)處，則第次小球出現(xiàn)在點(diǎn)處的概率為0；若第按下抽獎(jiǎng)鍵小球不在點(diǎn)處，則第次小球出現(xiàn)在點(diǎn)處的概率為．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求離散型隨機(jī)變量的分布列以及獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

2022.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值；（2）令，若既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)的范圍；（3）求證:當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）1；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值得解；（2）等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解不等式組即得解；（3）由題可得，再利用放縮法證明不等式.【詳解】證明:，在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，.既有極大值，又有極小值，等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

21即解得，所以實(shí)數(shù)的范圍.由得，當(dāng)，即，可得，于是，，于是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式常用的方法有：（1）比較法；（2）綜合法；（3）分析法；（4）放縮法；（5）數(shù)學(xué)歸納法；（6）反證法.本題不等式的證明用到了綜合法和放縮法.

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