《數(shù)理統(tǒng)計(jì)05第五講 估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、第五講估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則（續(xù)）一、一致最小方差無偏估計(jì)（續(xù)）二、信息不等式三、相合估計(jì)一、一致最小方差無偏估計(jì)（續(xù)）定理4.3(Lehmann-Scheffe)設(shè)S(x)是完全充分統(tǒng)計(jì)量，?(x)是q(?)的無偏估計(jì)，則T(x)?E(?(x)

2、S(x))是q(?)的?UMVUE，進(jìn)一步，如果對(duì)所有???，Var(T(x))??,則T(x)是q(?)唯一的UMVUE。?注：Lehmann-Scheffe定理實(shí)際上給出了兩種尋找UMVUE的方法，但首先必須知道完全充分統(tǒng)計(jì)量T(x)。（1）若h(T(x))是q(?)無偏統(tǒng)計(jì)量，則h(T(

3、x))也是q(?)的UMVUE。即尋找完全充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)使之成為q(?)的無偏估計(jì)。（2）若能獲得q(?)的一個(gè)無偏估計(jì)量?(x)，則E(?(x)

4、T(x))就是q(?)的UMVUE。2例4.5設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(?,?)，2??(?,?)未知，x,x,?,x是來自總體的12n2樣本。求參數(shù)?和?的UMVUE。解首先求完全充分統(tǒng)計(jì)量。由于21?(x??)?p(x,?)?exp??2?2???2??2?1?2??12??e2?expx?x?22?2????2????1?由于w??,??的值域包含內(nèi)點(diǎn)，所以由22??2??定理4.

5、2可知完全充分統(tǒng)計(jì)量為nn2T(x)?(?xi,?xi).i?1i?11n而我們已經(jīng)知道x??x是?的無偏估計(jì)，ini?12且是完全充分統(tǒng)計(jì)量T(x)的函數(shù)，故當(dāng)?未知時(shí)，?的UMVUE為x。2注：無論?是已知或未知，x都是?的UMVUE。1n1n又S2??(x?x)2???x2?nx2??i?in?1i?1n?1?i?1?2是?的無偏估計(jì)，且是完全充分統(tǒng)計(jì)量T(x)的函數(shù)，2故當(dāng)?未知時(shí)，?的UMVUE為樣本2方差S。22注：當(dāng)?已知時(shí)，S不是?的UMVUE。例4.6設(shè)總體X在[0,?]上服從均勻分布，其中?是未知參數(shù),x1,x2

6、,?,xn是來自總體的樣本,試求參數(shù)?的UMVUE。解由于?1?,0?x?x??,p(x,x,?,x;)?n(1)(n)12n?????0,otherwise.1?II()x?n(xx()n???){0(1)}由因子分解定理可知x?max{x,x,?,x}(n)12n它是充分統(tǒng)計(jì)量。下證它也是完全的。??n由P{x?t}?P{x?t}可知x的密度函數(shù)為(n)1(n)?nn?1?n?t0?t??p(t;?)??,?0otherwise對(duì)任何函數(shù)g(t)及??0，由??nn?1E(g(x))?n?g(t)tdt?0?(n)?0?n?1可

7、得對(duì)所有的??0,有?g(t)tdt?0,這個(gè)只0有在g(t)?0時(shí)才能成立，因而x也是完全的。(n)n?nn?又因?yàn)镋(x)?tdt?,?(n)n?0?n?1所以?的無偏估計(jì)為(n?1)???x,(n)n且是完全充分統(tǒng)計(jì)量x的函數(shù)，故它就是?的(n)UMVUE。二、信息不等式在上一節(jié)，我們知道如果UMVUE存在，則它在無偏估計(jì)類中是最好的，且其方差不可能是零，因?yàn)閰?shù)q(?)的方差為零的平凡估計(jì)不是無偏估計(jì)。那么，現(xiàn)在的問題是：對(duì)q(?)的無偏估計(jì)類U，在一定的條件下，q（1）既然無偏估計(jì)的方差不是零，則必存在一個(gè)下界，這個(gè)下界到

8、底是多少？（2）若UMVUE存在，那么它的方差是否可以達(dá)到這個(gè)下界？問題（1）已由Cramer-Rao不等式（信息不等式）揭示；問題（2）不一定成立，我們舉例予以闡述。為了使問題簡(jiǎn)化，在這一小節(jié)中，我們僅討單參數(shù)和連續(xù)總體情況。對(duì)多參數(shù)及離散總體也有相應(yīng)結(jié)論，可參看《高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)》（茆詩(shī)松），或《線性統(tǒng)計(jì)推斷及應(yīng)用》（C.R.Rao）。設(shè)分布族為{P,???}，密度函數(shù)為p(x,?)，??為直線上的一個(gè)開區(qū)間。滿足下述條件的分布族{P,???}稱為Cramer-Rao正則族：?（1）支撐A?{x:p(x,?)?0}與?無關(guān)，且對(duì)任

9、?一x?A,???,偏導(dǎo)數(shù)lnp(x,?)存在。??（2）如果對(duì)所有???，T(x)是滿足E

10、T

11、???任一統(tǒng)計(jì)量，則對(duì)T(x)p(x,?)，積分和微分可交換次序，即??????T(x)p(x,?)dx?dx????????1n???????T(x)p(x,?)dx?dx????????1n當(dāng)僅有（1）成立時(shí)，我們可以定義所謂的Fisher信息量（FisherInformationNumber）2???I(?)?E?lnp(x,?)?(0?I(?)??)????例4.7設(shè)總體分布是Poisson分布族，即x???p(x,?)?e,x

12、?0,1,?.x!?x則lnp(x,?)??1,???x2x1因而I(?)?E(?1)?Var()?.???如果X,X,?,X是來自總體的樣本，可以證12n?2明I(?)?nI(?)，其中I(?)?E(lnp(X,?)).111??定