《優(yōu)良性準(zhǔn)則、區(qū)間估計(jì)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十八講從前面兩節(jié)的討論中可以看到:●同一參數(shù)可以有幾種不同的估計(jì)，這時(shí)就需要判斷哪一種估計(jì)好.●另一方面，對于同一個(gè)參數(shù)，用矩法和極大似然法即使得到的是同一個(gè)估計(jì),也存在衡量這個(gè)估計(jì)優(yōu)劣的問題.估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則就是：評價(jià)一個(gè)估計(jì)量“好”與“壞”的標(biāo)準(zhǔn).§7.3估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則定義1設(shè)總體的參數(shù)為?，7.3.1無偏性對一切可能的?成立,對于樣本X1,X2,?,Xn的不同取值,取不同的值.若是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是隨機(jī)變量.注意：稱為?的無偏估計(jì).參數(shù)?，有時(shí)可能估計(jì)偏高，有時(shí)可能偏低，但是平均來說它等于?.“一切可能的?”是指：在參數(shù)估計(jì)問題中

2、，參數(shù)?一切可能的取值.我們之所以要求對一切可能的?都成立，是因?yàn)樵趨?shù)估計(jì)問題中,我們并不知道參數(shù)?的真實(shí)取值.自然要求它在參數(shù)?的一切可能取值的范圍內(nèi)都成立說明無偏性的意義是：用估計(jì)量估計(jì)例1設(shè)X1,X2,…,Xn為來自均值為?的總體的樣本，考慮?的如下幾個(gè)估計(jì)量的無偏性：例如若?指的是正態(tài)總體N(?,?2)的均值?,則其一切可能取值范圍是(-∞,+∞).若?指的是方差?2，則其一切可能取值范圍是(0,+∞).解定理1設(shè)總體X的均值為?,方差為?2,X1,X2,…,Xn為來自總體X的隨機(jī)樣本，記與分別為樣本均值與樣本方差，即即樣本均值和樣本方差分別是總

3、體均值和總體方差的無偏估計(jì).證明因?yàn)閄1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布，所以這樣前面兩節(jié)中，我們曾用矩法和極大似然法分別求得了正態(tài)總體N(μ,σ2)中參數(shù)σ2的估計(jì),均為很顯然，它不是σ2的無偏估計(jì).這正是我們?yōu)槭裁匆獙⑵浞帜感拚秊閚-1，獲得樣本方差S2來估計(jì)σ2的理由.例2求證：樣本標(biāo)準(zhǔn)差S不是總體標(biāo)準(zhǔn)差?的無偏估計(jì).證明因E(S2)=?2，所以，D(S)+(E(S))2=?2，由D(S)＞0，知(E(S))2=?2-D(S)＜?2.所以，E(S)＜?.故，S不是?的無偏估計(jì).用S來估計(jì)?，平均來說偏低.用估計(jì)量估計(jì)?，估計(jì)誤差7.3.2均方誤差準(zhǔn)則是隨機(jī)

4、變量，通常用其均值衡量估計(jì)誤差的大小.要注意:為了防止求均值時(shí)正、負(fù)誤差相互抵消，我們先將其平方后再求均值，并稱其為均方誤差，記成，即哪個(gè)估計(jì)的均方誤差小，就稱哪個(gè)估計(jì)比較優(yōu)，這種判定估計(jì)優(yōu)劣的準(zhǔn)則為“均方誤差準(zhǔn)則”.注意：均方誤差可分解成兩部分:證明上式表明，均方誤差由兩部分構(gòu)成：第一部分是估計(jì)量的方差，第二部分是估計(jì)量的偏差的平方和.注意：如果一個(gè)估計(jì)量是無偏的，則第二部分是零，則有:如果兩個(gè)估計(jì)都是無偏估計(jì)，這時(shí)哪個(gè)估計(jì)的方差小，哪個(gè)估計(jì)就較優(yōu).這種判定估計(jì)量優(yōu)劣的準(zhǔn)則稱為方差準(zhǔn)則.定義例3設(shè)X1,X2,…,Xn為來自均值為?的總體的樣本,考慮?的如

5、下兩個(gè)估計(jì)的優(yōu)劣：故這兩個(gè)估計(jì)都是?的無偏估計(jì).表明：當(dāng)用樣本均值去估計(jì)總體均值時(shí)，使用全樣本總比不使用全樣本要好.點(diǎn)估計(jì)就是利用樣本計(jì)算出的值(即實(shí)軸上的點(diǎn))來估計(jì)未知參數(shù).§7.4正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)(一)優(yōu)點(diǎn)是：告訴人們“未知參數(shù)大致是多少”；缺點(diǎn)是：并未反映估計(jì)的誤差范圍(精度).例如：在估計(jì)正態(tài)總體均值μ的問題中,若根據(jù)一組實(shí)際樣本，得到μ的極大似然估計(jì)為10.12.一個(gè)可以想到的估計(jì)辦法是：給出一個(gè)區(qū)間，并告訴人們該區(qū)間包含未知參數(shù)μ的概率(可靠度、置信度、置信水平(系數(shù))).實(shí)際上，μ的真值可能大于10.12，也可能小于10.12.如：估計(jì)某人

6、的身高(cm).甲估計(jì)：人的身高為[170,180];乙估計(jì)：人的身高為[150,190];但由于甲估計(jì)的區(qū)間短，包含該人真正身高的可能性（概率或置信度）??；乙估計(jì)的區(qū)間長，精度差，但置信度比甲的大.甲估計(jì)的區(qū)間較乙估計(jì)的短，故精度較高.實(shí)際中，在保證置信度的條件下，盡可能提高精度，（用區(qū)間的長度來度量）與置信度（用估計(jì)的區(qū)間包含未知量的概率來度量）是矛盾的.精度即區(qū)間的長度盡可能短.7.4.1置信區(qū)間的定義定義1實(shí)際應(yīng)用上，一般取α=0.05或0.01.7.4.2正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)或故也可簡記為例1某廠生產(chǎn)的零件長度X服從N(?,0.04),現(xiàn)從該廠

7、生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取6個(gè)，長度測量值如下(單位:毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求μ的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間.解代入置信區(qū)間當(dāng)方差未知時(shí)，取也可簡記為例2為估計(jì)一物體的重量μ，將其稱量10次,得到重量的測量值(單位:千克)如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.設(shè)它們服從正態(tài)分布N(?,?2).求?的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間.解代入置信區(qū)間7.4.3正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)例3(續(xù)例2)求?2的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間.代入解小結(jié)本講首先介紹了估計(jì)量的

8、評優(yōu)準(zhǔn)則，包括：無偏性和均方誤差準(zhǔn)則；然后介紹了區(qū)間估計(jì)的基本概念