《泰勒公式和其應(yīng)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、泰勒公式及其應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)091班趙菲【摘要】泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓,在微積分學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。在現(xiàn)行教材對泰勒公式證明基礎(chǔ)上,介紹泰勒公式的一種新的更為簡單的證明方法,并歸納了其在求極限與導(dǎo)數(shù)、判定級(jí)數(shù)與廣義積分?jǐn)可⑿?、不等式證明、定積分證明,行列式計(jì)算與中值公式、導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)、界的估計(jì)等方面的應(yīng)用。1預(yù)備知識(shí)1.1帶有Peano型余項(xiàng)的泰勒公式函數(shù)在[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù),則x∈[a,b]有+其中即1.2帶有Lagrange型

2、余項(xiàng)的泰勒公式若函數(shù)在上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在，則在與之間，使得下式成立其中為Lagrange型余項(xiàng)。注：若中取這里（介于與0之間）稱之為Maclaurin型余項(xiàng)1.3常見的Maclaurin公式9（這里為任意實(shí)數(shù)）；2泰勒公式的證明兩種余項(xiàng)的泰勒公式所表達(dá)的根本思想就是怎樣用多項(xiàng)式來逼近函數(shù)。公式(1)非普通的等式,而是反映了極限性質(zhì)的漸進(jìn)等式,因此公式(1)在求極限時(shí)很有用處,對余項(xiàng)可以提供充分小量的估計(jì)。公式(2)的余項(xiàng)有確定表達(dá)式,當(dāng)然也有不確定因素,即有中值,但不妨礙定理的使用,為

3、近似計(jì)算的誤差估計(jì)提供了理論依據(jù)。證明：設(shè)現(xiàn)在只需要證有關(guān)系式（3）可知，并易知因?yàn)榇嬖?，所以在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)f存在介導(dǎo)函數(shù)，于是且時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則次，得到9注：滿足的條件是唯一的。4.泰勒公式的應(yīng)用4.1在求極限的問題中，可以利用泰勒公式及皮亞諾余項(xiàng)計(jì)算。例4.1求解由于等價(jià)無窮小可以知道，分母為只要把，展開到即可。故9注:因?yàn)閷τ诤瘮?shù)多項(xiàng)式或有理分式的極限問題的計(jì)算是十分簡單的,因此,對一些較復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來較復(fù)雜的函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式或有理分式的極限問題,因此

4、滿足下列情況時(shí)可考慮用泰勒公式來求極限:(ⅰ)用洛比達(dá)法則時(shí),次數(shù)較多,且求導(dǎo)及化簡過程較繁。(ⅱ)分子或分母中有無窮小的差,且此差不容易轉(zhuǎn)化為等價(jià)無窮小替代形式。(ⅲ)所遇到的函數(shù)展開為泰勒公式不難。當(dāng)確定了要用泰勒公式求極限時(shí),關(guān)鍵是確定展開的階數(shù)。如果分母(或分子)是n階,就將分子(或分母)展開為n階麥克勞林公式。如果分子,分母都需要展開,可分別展開到其同階無窮小的階數(shù),即合并后的首個(gè)非零項(xiàng)的冪次的次數(shù)4.2泰勒公式在微分方程方面的應(yīng)用。例4.2解微分方程。解顯然在的領(lǐng)域內(nèi)可展開成冪數(shù)，故方程

5、的解為，帶入原方程并整理得因?yàn)楦鞔蝺缦禂?shù)都等于零，所以帶入所設(shè)方程解中的原方程的通解為這里為任意常數(shù)。9注當(dāng)微分方程的解不用初等函數(shù)或其積分表達(dá)時(shí)，常常采用泰勒級(jí)數(shù)解決，如微分方程，當(dāng)在領(lǐng)域內(nèi)可以展開成的泰勒級(jí)數(shù)（或冪級(jí)數(shù)）時(shí)，方程在內(nèi)必有形如的解。4.3泰勒公式在近似值計(jì)算上的應(yīng)用例4.3計(jì)算的值使得誤差不超過；解由上面公式（1），當(dāng)x=1時(shí)有故當(dāng)n=9時(shí)便有從而略去而得e的近似值為4.4泰勒公式在判定級(jí)數(shù)斂散性方面的應(yīng)用。例4.4在級(jí)數(shù)斂散性理論中，要判斷一個(gè)正級(jí)數(shù)可有比較判別法來判定，那么在實(shí)

6、際應(yīng)用中較困難的問題是如何選取恰當(dāng)?shù)闹械闹?？考慮以下情況（i）若p=2,此時(shí)收斂，但是9（i）若p=1,此時(shí)收斂，但是，這里我們無法判定的斂散性，為了有效的選取中p的值，可以用泰勒公式研究的階，據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)膒的值，使得，并且保證，再有比較判別法就可以判定的斂散性。例4.4判定級(jí)數(shù)的斂散性。解利用泰勒公式展開有故有即時(shí)是階的，與同斂散性，所以收斂注：泰勒公式研究序列無窮小量的階，然后與恰當(dāng)?shù)娜ケ容^，有的放矢的求出P的值再求出極限值，則可順利解決問題。4.5泰勒公式在導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用。9例4.5設(shè)在處n

7、次可導(dǎo)，且證因?yàn)樵谔巒次可導(dǎo)，且故由泰勒局部公式的唯一性可知，即且知在點(diǎn)n-1次可導(dǎo)。在的某領(lǐng)域內(nèi)具有n-2階導(dǎo)數(shù)，故有泰勒局部公式，且將代入上式即得所以注1.本題用到泰勒局部公式的條件與唯一性等知識(shí)。2.由本題證明可見，雖然證明是由對直接應(yīng)用，泰勒局部公式并利用在點(diǎn)泰勒局部公式唯一性得到的結(jié)論，但效果上看，掐相當(dāng)于在的泰勒公式兩端關(guān)于x求導(dǎo)所得結(jié)果。4.6泰勒公式在無窮小中的應(yīng)用例4.6確定常數(shù)a,b，使得當(dāng)x=0時(shí)為x的3階無窮小。解因?yàn)?所以為了在時(shí)使為x的3階無窮小，應(yīng)選則常數(shù)，a,b.使得

8、{即{解得{既有注按照無窮小界的概念，這里應(yīng)在極限式的條件下確定a,b（k是指定階數(shù)），本題的解法雖沒有出現(xiàn)此極限式，但實(shí)際上正是從這一極限式中的要求下進(jìn)行的，及當(dāng)且僅當(dāng)?shù)奶├站植空故街械陀趉階的系數(shù)等于0，k階系數(shù)≠0時(shí)，有，為此，的佩亞諾余項(xiàng)應(yīng)為，這也是解決問題的一般方法1。4.6關(guān)于界的估計(jì)例4.6設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，時(shí)試證：當(dāng)時(shí)，。證所以4.8泰勒公式證明不等式例4.8證明：證明而9又故有證畢可見，用泰勒公式證明不等式是一種很好的方法。4.9泰勒公式證明中值公式