《strongart數(shù)學(xué)筆記：算子kk理論簡(jiǎn)明小結(jié)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。

1、算子KK-理論簡(jiǎn)明小結(jié)最近學(xué)了一點(diǎn)算子KK-理論，發(fā)現(xiàn)這個(gè)東西技術(shù)細(xì)節(jié)還是比較麻煩的，下面我就來整理一個(gè)大致思路，對(duì)KK-理論的概貌做一個(gè)大致的刻畫，希望對(duì)能夠來到這里的數(shù)學(xué)天才有所幫助。對(duì)于KK-群有各種不同版本的定義，但最后的基本性質(zhì)卻是相似的，因此我們先來討論最一般意義上的KK（A，B）.讓我們先看基本約定，在KK（A，B）中，一般要求A與B是帶σ-單位的分次C*-代數(shù)，這一點(diǎn)可以保證它強(qiáng)同倫與同倫關(guān)系是一致的。此外，我們假設(shè)A是可分的，這主要是使得對(duì)應(yīng)Kasparov模的等價(jià)關(guān)系一致于同倫關(guān)系，還假設(shè)B是穩(wěn)定的，這

2、可以帶來KK-群的穩(wěn)定性，在KK-理論中緊算子代數(shù)是可以被忽略的。在這樣的約定下，我們來看KK-群的若干基本性質(zhì)。1）同倫不變性：同倫關(guān)系導(dǎo)出相同的KK-群2）穩(wěn)定性：與緊算子代數(shù)K或有限矩陣代數(shù)M_n的張量積保持KK-群不變3）Abel群性質(zhì)：它構(gòu)成Abel群。這里的加法是通過一個(gè)特殊的降階內(nèi)自同構(gòu)Θ來定義為[a]+[b]=Θdiag{a,b}，而Θ：Mn（B）→B，Θ：((b_ij))=Σw_ib_ijw_j*，其中w_i*w_j=0，若i≠j；Σw_iw_i*=1.(實(shí)際上這類似Cuntz代數(shù)的結(jié)構(gòu)，在KK-群的加法

3、定義中只用到n=2的情形）4）乘積性質(zhì)：即有雙線性映射：KK（A，B）×KK（B，C）→KK（A，C），它滿足下面性質(zhì)：4.1）單位律：1_A·x=x=x·1_B，對(duì)任何x∈KK（A，B）4.2）分配律：x·（y+z）=x·y+x·z，對(duì)任何x∈KK（A，B），y、z∈KK（B，C）4.3）結(jié)合律：(x·y)·z=x·（y·z），對(duì)任何x∈KK（A，B），y∈KK（B，C），z∈KK（C，D）5）函子性質(zhì)：5.1）若f：A1→A是態(tài)射，則f^*（x）·y=f^*（x·y），對(duì)任何x∈KK（A，B)，y∈KK（B，C)5.2

4、）若g：C→C1是態(tài)射，則x·g_*（y）=g_*（x·y），對(duì)任何x∈KK（A，B)，y∈KK（B，C)5.3）若h：B1→B2是態(tài)射，則h_*（x）·y=x·h^*（y），對(duì)任何x∈KK（A，B1)，y∈KK（B2，C)6）與K-群的聯(lián)系：KK(C，B）=K_0（B）在KK-群的基礎(chǔ)上還可以定義KK^1群為KK^1（A，B）=KK（A，B_(1))其中B_（1）是帶奇分次的B⊙B，這樣我們還有性質(zhì)：6’）KK^1(C，B）=K_1（B)7）擴(kuò)張性：若A，B平凡分次，則KK^1（A，B）=Ext（A，B）^(-1)；若A

5、還是核C*-代數(shù)，則KK^1（A，B）=Ext（A，B）.8）Bott周期：KK（A，B）=KK（SA，SB）=KK^1（SA，B）=KK^1（A，SB).9）六項(xiàng)正合列（見[2]19.5.7）10）P-V正合列（見[2]19.6.1）下面簡(jiǎn)述KK-群的幾種不同定義，一般我們都是先從Kasparov模來引入KK-群的。設(shè)A與B是分次C*-代數(shù)，先定義KasparovA-B模為滿足若干條件的三元組（E，Φ，F(xiàn)），其中E是可數(shù)生成的分次HilbertB-模，Φ：A→B（E）是*同態(tài)（可視為A在E上的作用）且F∈B（E）是一次元

6、素，滿足條件：對(duì)任何a∈Ai)Φ·β_A=β_E·Φ（β表示對(duì)應(yīng)C*-代數(shù)的分次）ii）[F，Φ（a）]∈K（E）iii）(F^2-1)Φ（a）∈K（E）iv）（F*-F）Φ（a）∈K（E）這樣的KasparovA-B模的集合記為E（A，B）；然后再定義退化的Kasparov模為滿足條件：[F，Φ（a）]=(F^2-1)Φ（a）=（F*-F）Φ（a）=0，其集合記為D（A，B），那么在Kasparov意義上的KK群就定義為對(duì)應(yīng)的商：KK（A，B）=E（A，B）/D（A，B）此外，在Kasparov模上還可以定義同倫關(guān)系，做

7、商之后就可以得到另一個(gè)意義上的KK-群，而第一項(xiàng)A可分時(shí)，而兩個(gè)KK-群是一致的。利用Kasparov模來定義KK-群，可以方便我們對(duì)KK-群進(jìn)行操作，因?yàn)槲覀兛梢栽贙asparov模上定義拉回推出、內(nèi)外張量積等常規(guī)概念，然后再推廣到KK-群上。特別是這個(gè)KK-群的乘積，可以先在Kasparov模上直接構(gòu)造對(duì)應(yīng)的Kasparov積，然后再傳遞到其他KK-群上。這樣的過程盡管有點(diǎn)繁瑣，但至少還是有跡可循的，大概正是這樣的原因，當(dāng)代的文獻(xiàn)中對(duì)KK-理論的介紹一般都是從Kasparov模開始的。對(duì)于一般的（非分次）C*-代數(shù)A與

8、B，我們可以定義KK_h（A，B）-環(huán)為同態(tài)二元組（Φ+，Φ-），Φ+、Φ-∈Hom（A，M（K⊙B）），滿足對(duì)任何a∈A，有Φ+（a）-Φ-（a）∈K⊙B.在KK_h（A，B）-環(huán)的集合F（A，B）上可以定義同倫關(guān)系～，定義對(duì)應(yīng)的KK_h群為對(duì)應(yīng)的商：KK_h（A，B）=F（A，B）/～可以證明，這樣