《strongart數(shù)學(xué)筆記：代數(shù)k理論的代數(shù)基礎(chǔ)小結(jié)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。

1、代數(shù)K理論的代數(shù)基礎(chǔ)小結(jié)最近我在讀一點(diǎn)代數(shù)K理論，盡管這是個比較年輕的分支，但是卻在代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)?、算子代?shù)等理論中都有著廣泛的應(yīng)用，可以說是代數(shù)學(xué)中的“泛函分析”。代數(shù)K理論自然是建立抽象代數(shù)的基礎(chǔ)之上，特別需要交換與非交換環(huán)的內(nèi)容，下面我就結(jié)合環(huán)上K0、K1群，對所需的代數(shù)基礎(chǔ)作一點(diǎn)簡單的小結(jié)。所謂環(huán)R的K0群，就是R上的f.g.（有限生成）投射模在同構(gòu)下的等價類的半群完備化，也就是相應(yīng)等價類的Grothendieck群。這里考慮f.g.條件，是因?yàn)樵跓o限生成的條件下，會出現(xiàn)類似HilbertHotel的情

2、況，使得K=2K→K=0.這樣一來，環(huán)上的f.g.投射模就比一般的投射模更受關(guān)注，最常見的問題就是問它們什么時候是自由的。一個答案是需要環(huán)是PID，因?yàn)镻ID上f.g.模有類似Abel群的結(jié)構(gòu)定理；另一個答案則是局部環(huán)（未必交換），這可以通過推廣Nakayamalemma來證明。順便說一下，即使不要求f.g.條件，在局部環(huán)上的投射模也都是自由的，只是證明起來要麻煩一些?。τ贙0.K1群而言，比較重要的一類環(huán)就是Dedekinddomain（DD），它是交換的遺傳環(huán)，有著各種等價的描述：1）從環(huán)的結(jié)構(gòu)上看，DD就是一維的No

3、ether的整閉整環(huán)。這里的整閉條件常常用來說明某個環(huán)不是DD，比如Z[√-5]就是PID但不是DD的典型例子。2）從局部化構(gòu)造來看，DD是Noether的局部DVR.這就使得對任意素理想p，都可以做p-adic賦值。3）從理想的角度來看：DD的分式理想構(gòu)成群。此等價于其任意（分式）理想均可逆。4）從模的角度來看：DD的f.g.投射模是理想的直和。注意比較一下遺傳條件，其理想實(shí)際上就是投射模。此外，DD還有一些重要的性質(zhì)：a）1+1/2的Noether性：理想由兩個元素生成，并且其中一個元素可以事先給定。b）理想的因子分解性

4、：可以分解為素理想（=極大理想）的乘積。因此，相應(yīng)的理想運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為素理想因子指數(shù)的運(yùn)算，特別其準(zhǔn)素理想是素理想的冪。c）DD必為半局部環(huán)或半單環(huán)，前者即為PID.特別有DD∩UFD→PID.d）DD的環(huán)穩(wěn)定度為2：就是說其矩陣環(huán)的能夠生成整個環(huán)R的行的最小數(shù)是2，這樣就可以用二階矩陣群來刻畫K1群，導(dǎo)出所謂的Mennickesymbol.所謂環(huán)R的K1群，是由其特殊線性群GL(R)對初等群E(R)取模得到，也就是說可以它在初等變換下不變。這樣一來，線性代數(shù)中的行與列的初等變換就成了需要關(guān)注的焦點(diǎn)，如果能夠通過這樣的初等變

5、換得到一個形如diag[a,1,…,1]的對角陣，那么就可以得到一個通往K1(R)的滿射。然而，這里的初等變換是在一般環(huán)上建立的，如何做除法消元就成了一個重要的問題。對于除環(huán)而言，逆的存在是天然的，因此完全可以滿足消元的要求。接著我們來看局部環(huán)，關(guān)鍵在于其不在極大理想內(nèi)的元素必可逆，也就可以得到相應(yīng)矩陣環(huán)的任一行都必有一個單位元素。對此我要稍微詳細(xì)的解釋一下，有人也許會想假若其矩陣環(huán)A某一行都在極大理想m內(nèi)，那么其行列式det（A）也應(yīng)在m內(nèi)，假若有AB=I，則有det（A）det（B）=1，這使得det（A）變成了單位！遺

6、憾的是，這樣的解釋是錯誤的，因?yàn)榉墙粨Q環(huán)不能像交換環(huán)那樣隨便寫行列式。比如在最簡單的四元數(shù)代數(shù)中，有對角矩陣的乘法diag[i,i]diag[j,j]=diag[k,k],但相應(yīng)的行列式卻是(-1)(-1)=(-1)(!)恰當(dāng)?shù)慕忉寫?yīng)該回到矩陣的乘法上，假若A的第i行在m內(nèi)，則AB的第i行也在m內(nèi)，這與AB的（i,i）元素是1矛盾！此外，還有一種可能的情況就是歐式環(huán)，它可以通過范數(shù)最小元的方法來達(dá)到整除消元的目的。然而，不討論行列式只能給出到K1群的滿射，這自然是不能令人滿意的。因此，我們還得探索非交換環(huán)上的行列式需要另外探

7、索，基本思想是先找出行列式的典型性質(zhì)，然后看看有沒有什么類似的構(gòu)造也滿足此性質(zhì)，可惜其中的技術(shù)略顯復(fù)雜，我也就不再這里羅嗦了，有興趣的讀者可以去參閱代數(shù)K理論的相關(guān)書籍。本文作者Strongart是一位自學(xué)數(shù)學(xué)的牛人，現(xiàn)在他依然努力堅(jiān)持自學(xué)數(shù)學(xué)，似乎又有了新的突破，還錄了一些數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)視頻放在網(wǎng)上。然而，他卻一直沒有收到專業(yè)人士的邀請，至今只能依靠網(wǎng)絡(luò)書店購買書籍，無法獲取海量的論文資料，也沒有機(jī)會和一流的學(xué)者們交流，最后只能走上娛樂拯救學(xué)術(shù)的道路，這不論對他自己還是對中國的數(shù)學(xué)事業(yè)都將是一個損失。這里我希望一些有識之士能

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