《strongart數(shù)學筆記：通向組合交換代數(shù)stanley_reisner理論》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在學術論文-天天文庫。

1、通向組合交換代數(shù)Stanley-Reisner理論(2014-10-1513:53:18)Stanley-Reisner環(huán)（又稱為面環(huán)（facering））把代數(shù)拓撲中單純復形與多項式的單項商環(huán)聯(lián)系起來，可以說是一張通向組合交換代數(shù)的入場券，下面就來介紹一下關于它的基本內(nèi)容。先看Stanley-Reisner環(huán)的定義，設k是作為系數(shù)的交換環(huán)，給定任何一個頂點集為{v_1，…，v_n}的單純復形Δ，Δ關于k的Stanley-Reisner環(huán)是指齊次k-代數(shù)：k[Δ]=k[x_1，…，x_n]/I_Δ其中I_Δ是由所有使得不屬于Δ的單形（

2、v_iv_j…v_k）所對應的單項式x_ix_j…x_k生成的理想，也稱為Stanley-Reisner理想。即I_Δ={m；m?Δ}這個定義的要點就是各頂點v_i對應原子單項式x_i，若干頂點構成的單形（v_iv_j…v_k）對應原子單項式的積x_ix_j…x_k.請注意，這里各原子單項式的下標都是不同的。換句話說，生成Stanley-Reisner理想的各單項式都是平方自由的，即不含任何平方項因子。反之，給定平方自由的單項理想I，我們也可以得到它的Stanley-Reisner環(huán)復形Δ_I={m；m?I}可以證明它們滿足這樣的自反

3、關系：I_(Δ_I)=I，Δ_(I_Δ)=Δ對于平方自由的單項理想m，n，有m整除niff對應的單純復形m∈n，由此說明它們的自然序關系是一致的。對于Stanley-Reisner理想I_Δ，我們有如下公式：I_Δ=∩B_F其中F取遍Δ的所有極大面（facet），B_F是指由各不屬于F的v_i對應的X_i生成的理想。這個結(jié)論實際上就是Stanley-Reisner理想的準素分解，對于平方自由的情形而言，被分解項可以取為極小素理想，后者正好是與各極大面相對應的。由此我們的可以得到Stanley-Reisner環(huán)的維數(shù)計算公式：dimk[

4、Δ]=dimΔ+1此外，我們還有Stanley-Reisner環(huán)的深度計算公式：depthk[Δ]=max{r；Δ的r維骨架是Cohen-Macaulay的}+1這個公式涉及下文中的Cohen-Macaulay復形，并不適合直接用來計算。對于深度的一個簡單結(jié)論是：若Δ是不連通的單純復形，那么depthk[Δ]=1.Stanley-Reisner理論的關鍵是單純復形的幾何性質(zhì)與對應Stanley-Reisner環(huán)的代數(shù)性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)換。先看一個簡單的數(shù)量關系，（d-1）維單純復形的f-向量就是它的各維面的個數(shù)f=（f_0，f_1，…，f_

5、（d-1）），f_0就是其頂點數(shù)，f_1就是邊的個數(shù)，…，f_d就是其極大面的個數(shù)。Δ的Euler數(shù)定義為e（Δ）=f_0-f_1+f_2-…+（-1）^(d-1)f_(d-1)由此可以計算k[Δ]的（Z^n分次的）Hilbert多項式，有H_k[Δ]（t）=Σ（F∈Δ）Σ（a∈N^n,supp（a）=F）t^a=Σ（F∈Δ）Π（v_i∈F）t_i/（1-t_i）=Σ（i=-1，…，d-1）f_it^（i+1）/（1-t）^（i+1）對于Stanley-Reisner環(huán)，我們有所謂的h-向量，它是通過其Hilbert多項式定義如下：H

6、_k[Δ]（t）=h_0+h_1t+…/（1-t）^d比較上述兩式，可以得到f-向量與h-向量之間的關系：Σh_it^i=Σ（i=0，…，d）f_(i-1)t^i（1-t）^(d-i)得到h_j=Σ（i=0，…，j）（-1）^(j-i)（d-i，j-i）f_(i-1)且f_(j-1)=Σ（i=0，…，j）（d-i，j-i）h_i其中（m，n）表示m個元素中取n個元素的組合數(shù)。特別，我們可以得到幾個容易計算的公式：h_0=1，h_1=f_0-d，h_d=（-1）^(d-1)E（Δ）且Σ（i=0，…,d）h_i=f_(d-1)其中E（Δ）

7、=e（Δ）-1是Δ的約化Euler數(shù)，也可以視為Δ的約化上同調(diào)的交錯和。我們還需要Stanley-Reisner環(huán)的局部上同調(diào)，先引入一些幾何概念。設Δ是單純復形，F(xiàn)是其頂點子集，F(xiàn)的星（star）定義為：st_Δ（F）={G∈Δ；F∪G∈Δ}而F的連接（link）定義為：lk_Δ（F）={G∈Δ；F∪G∈Δ，F(xiàn)∩G=?}一般作為整個單純復形的下標Δ是可以省略的。設Δ是單純復形，k是域，則局部上同調(diào)模H^i(k[Δ])的a分量是：H^i(k[Δ])_a=H~_(i-

8、G_a

9、-1)（lk_(H_a)（G_a；k））進而其（Z^n分次的

10、）Hilbert多項式為：H_H^i(k[Δ])（f）=Σ(F∈Δ)dimH~_(i-

11、F

12、-1)（lkF；k）∏(v_j∈F)（t_j）^（-1）/（1-（t_j）^（-1））上述公式就是關于Stanley-Reisn