《strongart數(shù)學(xué)筆記：微分幾何部分的學(xué)習(xí)小結(jié)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。

1、微分幾何部分的學(xué)習(xí)小結(jié)最近我在網(wǎng)上看了梁燦彬教授的微分幾何與廣義相對(duì)論視頻講座，感覺(jué)不錯(cuò)就順便買了本教材，前幾天正好把前面的微分幾何學(xué)完了。盡管他主要是對(duì)物理系的學(xué)生講的，像單位分解之類的大定理都沒(méi)有證明，但很多地方還是頗有心得，下面我就簡(jiǎn)單小結(jié)一下。書(shū)中比較注重微分幾何理論與經(jīng)典分析理論之間聯(lián)系，即作者所說(shuō)的“天地連通”。先是對(duì)dx做了微分形式的解釋，避免了很多無(wú)聊的哲學(xué)爭(zhēng)論，然后用微分形式的積分定義流形上函數(shù)的積分，這就對(duì)經(jīng)典積分做了全新的解釋，還把經(jīng)典的積分公式推廣為Stokestheory與Gausslaw，特別對(duì)沿邊界積分做了一個(gè)沿切向分量的

2、細(xì)致解釋。最讓人欣慰還是用微分幾何的語(yǔ)言重述R^3中的場(chǎng)論，如何借助對(duì)偶與*算子解釋了R^3中為什么沒(méi)有出現(xiàn)微分形式，比如矢量的叉積其實(shí)就是先作用Hodge*再作用外積：×=∧·*，最后用外微分做了刻畫(huà)grad、curl與div，借助于Poincarelemma可以輕松的證明了“無(wú)旋場(chǎng)必可表梯度”、“無(wú)散場(chǎng)必可表旋度”。既然講述微分幾何，對(duì)張量語(yǔ)言想必是非常關(guān)注的。作者先給出了一個(gè)“張量面面觀”，清楚的解釋了張量作為函數(shù)、作為向量空間之間的映射與對(duì)偶空間之間的映射這三種觀點(diǎn)的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，避免了只把張量當(dāng)成滿足相應(yīng)關(guān)系的一堆數(shù)初級(jí)見(jiàn)解。在此觀點(diǎn)的影響下，

3、作者特別討論的張量的抽象指標(biāo)記法，借助此記法給出了幾個(gè)常用運(yùn)算關(guān)系，這對(duì)后面的計(jì)算化簡(jiǎn)是非常有幫助的。作者特別討論了Christoffelsymbol是不是張量的問(wèn)題。很多書(shū)中是直接通過(guò)坐標(biāo)基協(xié)變導(dǎo)數(shù)的展開(kāi)系數(shù)來(lái)引入Christoffelsymbol，然后發(fā)現(xiàn)它不滿足張量變換律，就說(shuō)它不是一個(gè)張量，有些書(shū)為了防止慣性思維還要特強(qiáng)調(diào)一下。但作者卻是先討論了協(xié)變導(dǎo)數(shù)差的局部不變性，給出一個(gè)一般的張量C，然后把其中一個(gè)協(xié)變導(dǎo)數(shù)取為普通導(dǎo)數(shù)，得到的Christoffelsymbol也就自然成為張量了。這里說(shuō)它是張量是先取定一個(gè)坐標(biāo)系，然后它在此坐標(biāo)系下的分量表

4、現(xiàn)對(duì)其他坐標(biāo)系滿足張量法則，如果沒(méi)有取定坐標(biāo)系籠統(tǒng)的看，它自然是不成為張量的。因此我們?cè)谡f(shuō)Christoffelsymbol是張量的時(shí)候，最好要加一句它是依賴于坐標(biāo)系的張量。順便談一下關(guān)于坐標(biāo)系的問(wèn)題，書(shū)中著重討論了坐標(biāo)系主動(dòng)觀點(diǎn)與被動(dòng)觀點(diǎn)的一致性，也就是說(shuō)點(diǎn)之間的主動(dòng)變換可以通過(guò)拉回等價(jià)于坐標(biāo)系之間的變換。在Lorenz坐標(biāo)系中，所謂的偽轉(zhuǎn)動(dòng)（boost）本質(zhì)上就是狹義相對(duì)論中Lorenz變換，其歐式空間的類比則是轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)著正交變換。既然是為相對(duì)論準(zhǔn)備的微分幾何，那么似乎更側(cè)重于一般的pseudo-Riemannspace，其中有一些在普通的Riem

5、anngeometry見(jiàn)不到的怪異性質(zhì)。一般Riemannmanifold中的度量到了pseudo-Riemannmanifold中稱為度規(guī)，它可正可負(fù)也可以對(duì)非零向量取零，由此得到相應(yīng)的類空、類時(shí)與類光向量。對(duì)于某個(gè)空間的超曲面而言，其類光向量（nullvector）作為法向量是可以位于切平面之內(nèi)的，而類光超曲面上是沒(méi)有誘導(dǎo)度規(guī)的。最大的挑戰(zhàn)還在于測(cè)地線的最短性，這里主要不是指Riemanngeometry中因?yàn)樵竭^(guò)共軛點(diǎn)而造成對(duì)整體最短性的破壞，而是由更本質(zhì)的線元可負(fù)導(dǎo)致結(jié)果。事實(shí)上，對(duì)于類時(shí)測(cè)地線而言，它恰恰就是（局部）最長(zhǎng)的，利用這一點(diǎn)可以輕松

6、的解釋相對(duì)論中的雙生子詳謬。有些人可能會(huì)覺(jué)得微分幾何部分太簡(jiǎn)略了，但視頻中講到這只是后面講相對(duì)論中最必要的，其他的部分可以在講到相關(guān)理論的時(shí)候隨時(shí)補(bǔ)充。目前我剛看完尺縮鐘慢、雙生子效應(yīng)，用幾何語(yǔ)言能夠輕松的搞定，感覺(jué)還是非常令人興奮的，等以后有了心得再文章哈~本文作者Strongart是一位自學(xué)數(shù)學(xué)的牛人，現(xiàn)在他依然努力堅(jiān)持自學(xué)數(shù)學(xué)，似乎又有了新的突破，還錄了一些數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)視頻放在網(wǎng)上。然而，他卻一直沒(méi)有收到專業(yè)人士的邀請(qǐng)，至今只能依靠網(wǎng)絡(luò)書(shū)店購(gòu)買書(shū)籍，無(wú)法獲取海量的論文資料，也沒(méi)有機(jī)會(huì)和一流的學(xué)者們交流，最后只能走上娛樂(lè)拯救學(xué)術(shù)的道路，這不論對(duì)他自

7、己還是對(duì)中國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)都將是一個(gè)損失。這里我希望一些有識(shí)之士能夠用自己的實(shí)際行動(dòng)支持一下！歡迎大家二次分享此文檔，請(qǐng)注明文檔作者Strongart，歡迎訪問(wèn)Strongart的新浪博客。