《strongart數(shù)學(xué)筆記：如何猜出緊支poincare引理中的同倫算子》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。

1、如何猜出緊支Poincare引理中的同倫算子最近在讀馬天的《流形拓?fù)鋵W(xué)——理論與概念的實(shí)質(zhì)》，其中有不少別具一格的觀點(diǎn)，但在處理關(guān)于緊支上同調(diào)的Poincarelemma時，卻只是照抄了Bott/Wu在DifferenitialFormsinAlgebraicTopology中的講法，而后者也沒有講清楚作為證明關(guān)鍵步驟的同倫鏈算子到底是如何得到的。緊支Poincarelemma是講H^q_c(M×R)≌H^(q-1)_c（M），其中q≥1的整數(shù)，c表示緊支性.這個同構(gòu)可以通過映射自然投影π誘導(dǎo)，而對R內(nèi)的緊支1-形式e=

2、e（t）dt，可構(gòu)造其逆e*（φ）=π^*(φ)∧e.接下來就是問題的關(guān)鍵，我們需要找出一個鏈同倫算子K：Ω^q_c(M×R)→Ω^(q-1)_c(M)，滿足方程：1-e*π*=(-1)^(q-1)(dK-Kd)（*）假若能夠找到這樣的K，那么我們很容易利用同調(diào)代數(shù)中的通用技巧，把它轉(zhuǎn)化為上同調(diào)層次的同構(gòu)。但遺憾的是，不管是Bott/Wu還是馬天的書，都沒提示如何找到這樣的同倫算子K，只是把這樣的K直接空降下來，而這個K的表達(dá)式實(shí)際上很復(fù)雜，一般是不能直接被猜出來的。在給出K的具體表達(dá)式之前，我們要先把M×R的緊支形式分

3、為兩類：Case1：π^*(φ)f(x,t);Case2:π^*(φ)f(x,t)dt,其中f是緊支函數(shù)，φ是（未必緊支）的微分形式基，它們在π*的作用下分別為0與φ∫(-∞，∞)f(x,t)dt.為了行為的簡練，記φf=π^*(φ)f(x,t).事實(shí)上，K在這兩類微分形式上的作用分別為：1）K（φf）=0；2）K（φfdt）=φ∫(-∞，t)f-φ∫(-∞，t)e∫(-∞，∞)f對于Case1的結(jié)論，猜測的比較容易的，K要求次數(shù)降1，既然我們找不到明確的降次方式，那就不妨把它直接零化。代數(shù)拓?fù)渲械慕?jīng)驗(yàn)告訴我們。鏈同倫往

4、往不是唯一的，因此似乎可以把它視為某種規(guī)范化條件。正如求解PDE總是伴隨著邊界條件一樣，在不要求得到“通解”的前提下，設(shè)定規(guī)范化條件往往是一個不錯的選擇。接著我們把Case1代入（*）式，化簡后可以得到φf=K（φ（Df/dt）dt）,由此我們可以猜出Case2中的第一項(xiàng)。假若只是普通的Poincarelemma，那么這就已經(jīng)完成了任務(wù)，但緊支的情況要更加復(fù)雜一下。我們還得繼續(xù)假設(shè)K（φfdt）=φ∫(-∞，t)f+φL，起初我假設(shè)的是K（φfdt）=φ∫(-∞，t)f+L，但最后得到的表達(dá)式非常復(fù)雜，后來發(fā)現(xiàn)φ似乎在每

5、一項(xiàng)中都應(yīng)該存在，因此可以考慮分離變量φ，再經(jīng)過一串應(yīng)該是不可避免的繁瑣運(yùn)算，最后消去φ得到一個關(guān)于待定算子L的“微分方程”：-∫(-∞，∞)f·e=dLfdt-L(Df/dt)dx∧dt仔細(xì)觀察上式，發(fā)現(xiàn)左邊的e只能出自dL，接下來把fdt自然的配成“系數(shù)”-∫(-∞，∞)f降次，便可得L=-∫(-∞，t)e∫(-∞，∞)f，這正是上面Case2的表達(dá)式。平心而論，這樣的猜測有點(diǎn)“事后諸葛亮”的意味，如果是回到發(fā)現(xiàn)此定理的時代，那就可能要自己區(qū)分Case1與Case2，（*）式也會以諸如1-e*π*=±(dK±Kd)的

6、原始形式出現(xiàn)，這就需要把創(chuàng)造者的激情投入進(jìn)去。但至少我們已經(jīng)找到一條鏈接著同倫算子K的線索，能夠做出類似的合理猜測，讓數(shù)學(xué)概念不至于直接空降下來，這可以說是研究數(shù)學(xué)的一條最基本的原則。--------------------------------------------------------------------------------本文作者Strongart是一位自學(xué)數(shù)學(xué)的牛人，現(xiàn)在他依然努力堅(jiān)持自學(xué)數(shù)學(xué)，似乎又有了新的突破，還錄了一些數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)視頻放在網(wǎng)上。然而，他卻一直沒有收到專業(yè)人士的邀請，至今只能依靠

7、網(wǎng)絡(luò)書店購買書籍，無法獲取海量的論文資料，也沒有機(jī)會和一流的學(xué)者們交流，最后只能走上娛樂拯救學(xué)術(shù)的道路，這不論對他自己還是對中國的數(shù)學(xué)事業(yè)都將是一個損失。這里我希望一些有識之士能夠用自己的實(shí)際行動支持一下！歡迎大家二次分享此文檔，請注明文檔作者Strongart，歡迎訪問Strongart的新浪博客。