《重慶市廣益中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

高2022級(jí)10月月考數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由直線方程求出直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以直線斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?，即，故選：C2.已知向量，那么（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量減法的法則及坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.3.圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的半徑即可得解.【詳解】依題意，圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D4.直線與直線平行，則的值為（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】求出已知二直線不相交時(shí)的a值，再驗(yàn)證作答.【詳解】依題意，直線與直線平行或重合時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，所以的值為.故選：C5.已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對(duì)空間任一點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共面向量的推論得到，解方程即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面，所以，解得 .故選：B.6.已知，則在方向上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知向量坐標(biāo)，求投影向量公式求解即可.【詳解】在方向上的投影向量為.故選：A.7.已知點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將問題化為求原點(diǎn)到線段上點(diǎn)距離的平方的范圍，進(jìn)而求目標(biāo)式的距離.【詳解】由的圖象如下，又是上圖線段上的一點(diǎn)，且為原點(diǎn)到該線段上點(diǎn)距離的平方，上述線段端點(diǎn)分別為，到原點(diǎn)距離的平方分別為，由圖知：原點(diǎn)到線段的距離，則，綜上，，故.故選：B 8.在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且總滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（）A.B.C.D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求得軌跡的長度．【詳解】設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，，，且，在正方體中，顯然，又，得，所以，即，所以，又平面，平面，所以，又，且平面，平面，所以平面，又，可知，所以點(diǎn)的軌跡是矩形，由題可得，，所以點(diǎn)的軌跡長度為．故選：A．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知方程，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓B.當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓 C.當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為D.當(dāng)時(shí)，表示的圓與軸相切【答案】BCD【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，可圓的圓心坐標(biāo)為，A中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑為，所以A錯(cuò)誤；B中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑大于，表示圓心為的圓，所以B正確；C中，當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為，所以C正確；D中，當(dāng)時(shí)，可得，方程表示的圓半徑為，又圓心坐標(biāo)為，所以圓心到軸的距離等于半徑，所以圓與軸相切，所以D正確．故選：BCD.10.對(duì)于直線和直線，以下說法正確的有（）A.直線一定過定點(diǎn)B.若，則C.的充要條件是D.點(diǎn)到直線的距離的最大值為5【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，求定點(diǎn)即可；對(duì)于B，線線垂直時(shí)；對(duì)于C，線線平行時(shí)；對(duì)于D，過定點(diǎn)，直線與點(diǎn)和的連線垂直時(shí)取最值.【詳解】直線，即直線為，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)，，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意； 當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意，故C錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€，即，過定點(diǎn)，當(dāng)直線與點(diǎn)和的連線垂直時(shí)，到直線的距離最大，最大值為，故D正確.故選：ABD11.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.B.存在點(diǎn)，使平面C.存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D.點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，所以，所以，A選項(xiàng)正確.點(diǎn)到平面與平面的距離和為為定值，D選項(xiàng)正確.，，設(shè)平面的法向量為， 則，故可設(shè)，要使平面，平面，則，解得，所以存在點(diǎn)，使平面，B選項(xiàng)正確.若直線與直線所成角為，則，，無解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD12.已知正方體棱長為，如圖，為上的動(dòng)點(diǎn)，平面.下面說法正確的是（）A.直線與平面所成角的正弦值范圍為B.點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大 C.點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，若平面經(jīng)過點(diǎn)，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D.已知為中點(diǎn)，當(dāng)?shù)暮妥钚r(shí)，為的中點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項(xiàng)的正誤；證明出平面，分別取棱、、、、、的中點(diǎn)、、、、、，比較和六邊形的周長和面積的大小，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點(diǎn)、，判斷四邊形的形狀可判斷C選項(xiàng)的正誤；將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，利用、、三點(diǎn)共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、設(shè)點(diǎn)，平面，則為平面的一個(gè)法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項(xiàng)正確； 對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，連接、、、，在正方體中，平面，平面，，四邊形是正方形，則，，平面，平面，，同理可證，，平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.設(shè)、、、、、分別為棱、、、、、的中點(diǎn)，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，點(diǎn)，， 平面，平面，，即，得，，所以，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則，，而，，且，由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，如下圖所示：若最短，則、、三點(diǎn)共線，，，，所以，點(diǎn)不是棱的中點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC. 【點(diǎn)睛】本題考查線面角正弦值的取值范圍，同時(shí)也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小值問題，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于難題.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.平行直線與之間的距離為_________．【答案】##0.3【解析】【分析】根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意得即則平行直線與之間的距離為，故答案為：14.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由題可知：所以故答案為：15.三棱錐的頂點(diǎn)都在球的表面上，是等邊三角形，底面是以為斜邊的直角三角形，平面平面，若，則球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，上點(diǎn)，使，由外接圓性質(zhì)可得球心，根據(jù)平面平面，得球的半徑，代入表面積公式即可得答案. 【詳解】取中點(diǎn)，底面是直角三角形，所以為底面外接圓圓心，取中點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)，使，是等邊三角形，所以為外接圓圓心.過點(diǎn)，分別作平面和平面的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)，即為球的球心.因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，所?因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，又底面是以為斜邊的直角三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面，所以，所以四邊形為矩形，所以，，所以，即球的半徑，球的表面積為.故答案為:.16.如圖所示，在的長方形區(qū)域（含邊界）中有兩點(diǎn)，對(duì)于該區(qū)域中的點(diǎn)，若其到的距離不超過到距離的一半，則稱處于的控制下，例如原點(diǎn)滿足，即有點(diǎn)處于的控制下.同理可定義處于的控制下. 給出下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)處于的控制下；②若點(diǎn)不處于的控制下，則其必處于的控制下；③若處于的控制下，則；④圖中所有處于的控制下的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)新定義，直接驗(yàn)證判斷①，取特殊點(diǎn)判斷②，根據(jù)定義求出點(diǎn)所在區(qū)域，判斷③，結(jié)合圖象求出面積判斷④.【詳解】由圖可知,設(shè)，則，,滿足，故①正確；點(diǎn)不處于的控制下則，即，得不到，例如取點(diǎn)，，，，即點(diǎn)不處于的控制下，也不處于B的控制下，故②錯(cuò)誤；若處于的控制下，則，設(shè)，則，化簡整理得，作出圖象如圖， 由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在矩形且在圓及圓內(nèi)部分滿足處于的控制下,由圖可知，當(dāng)處于時(shí)，有最大值，故③正確；由③知處于的控制下點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積，可以看作是圓與矩形的面積之和，如圖，故面積為，故④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題作為一道創(chuàng)新型試題，關(guān)鍵在于理解所給新定義，對(duì)于①②可以利用具體點(diǎn)去直接判斷結(jié)論正確與否，在這一特殊化的過程中進(jìn)一步理解新定義，對(duì)于③需要根據(jù)新定義求出點(diǎn)滿足的軌跡方程（邊界），需要對(duì)求平面軌跡方程的方法熟練，關(guān)鍵在于求出點(diǎn)所在區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合思想判斷③，對(duì)于④關(guān)鍵在于把區(qū)域分割為四分之一圓面與矩形，其中需要割補(bǔ)思想的應(yīng)用.四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知向量，（1）求與的夾角；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)t的值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】(1)結(jié)合向量數(shù)量積性質(zhì)夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解；(2)由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【小問1詳解】，，，，，令與的夾角為，則，則與的夾角為.【小問2詳解】，，又與垂直，，即，解得.18.已知直線與直線交于點(diǎn).（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程；（2）求過點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線方程即可；（2）討論直線在兩坐標(biāo)軸上的截距是否為0進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】 聯(lián)立，解得，即，由題意，設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，得，即，所以直線的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，直線的斜率為，則直線的方程為，即；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，得，即，所以直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.19.已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，記為線段的中點(diǎn)，求的軌跡方程；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求的垂直平分線方程為，與的交點(diǎn)即圓心，圓心到點(diǎn)的距離即為半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由為線段的中點(diǎn)得到坐標(biāo)與坐標(biāo)的關(guān)系，代入圓方程可得軌跡方程.【小問1詳解】，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為， 故線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立得，即圓的圓心為，半徑為，故圓的方程為【小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以，則，因點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，則，即的軌跡方程為.20.如圖，平面，四邊形是正方形，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立坐標(biāo)系，利用向量垂直得出直線和直線垂直，結(jié)合面面垂直的判定可證結(jié)論；（2）先求平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式可得答案.【小問1詳解】 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，,;,;因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】由（1）知，，；設(shè)是平面一個(gè)法向量，則,，令，則，即；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.21.已知在多面體中，，，，，且平面平面.（1）設(shè)點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，試證明平面； （2）若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由四邊形為平行四邊形.∴，再結(jié)合平面，即可證明平面；（2）由空間向量的應(yīng)用，建立以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交線為，平面，得平面.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，且.又，，∴，且.∴四邊形為平行四邊形.∴，∴平面.【小問2詳解】∵平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以三者兩兩互相垂直，∴以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，.∵平面，∴直線與平面所成的角為.∴.∴.可取平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，， 則，取，則，.∴，∴，∴二面角的余弦值為.22.如圖，在正方體中，分別為中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，為平面的中心，且正方體棱長為1.（1）證明：平面平面；（2）是否存在過直線且與正方體的12條棱的夾角均相等的平面？若存在，求出該平面與平面的夾角的余弦值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明詳見解析（2）存在，該平面與平面的夾角的余弦值為或【解析】 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面平面.（2）利用向量法進(jìn)行判斷，并利用向量法求得所求.【小問1詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于且平面與平面不重合，所以平面平面.【小問2詳解】存在，理由如下：，設(shè)該平面的法向量，則，即，所以. ，因?yàn)樵撈矫孢^直線，所以，故可設(shè)或，即存在符合題意的平面.設(shè)該平面與平面的夾角為，由（1）得平面法向量為.若，則；若，則.所以存在符合題意的平面，且該平面與平面的夾角的余弦值為或