《重慶市南開中學校2023-2024學年高二上學期9月測試數(shù)學 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重慶南開中學高2025屆高二（上）測試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將答案填寫在答題卡相應的位置上，1.直線經(jīng)過點，且傾斜角，則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用直線的點斜式方程求解.【詳解】因為直線的傾斜角，所以直線的斜率為1，又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，即，故選：C2.兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關系是（）A.垂直B.斜交C.平行D.重合【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系及直線的斜率關系判定直線位置關系即可.【詳解】不妨設兩直線的斜率分別為，則由題意有，所以兩直線互相垂直.故選：A3.直線與直線平行，則的值為（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】 【分析】求出已知二直線不相交時的a值，再驗證作答.【詳解】依題意，直線與直線平行或重合時，，解得或，當時，直線與直線重合，當時，直線與直線平行，所以的值為.故選：C4.已知直線過點，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】考慮截距是否為0，分兩種情況求解，求出直線斜率，即可求得答案.【詳解】由題意設直線與x軸交點為，則與y軸交點為，當時，直線過原點，斜率為，故方程為；當時，直線的斜率，故直線方程為，即，故選：D5.“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】轉化為點與連線的斜率，數(shù)形結合后由直線與圓的位置關系求解，【詳解】記，則為直線的斜率，故當直線與半圓相切時，得k最小，此時設，故，解得或（舍去），即．故選：C6.已知點為直線上的一點，分別為圓與圓上的點,則的最大值為A4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】求得關于直線的對稱點為，由對稱性可得，，結合圓的幾何性質(zhì)，可得，從而可得結果.【詳解】求得關于直線的對稱點為，解得，由對稱性可得，則，由于，， 的最大值為，故選C.【點睛】本題主要考查圓的方程與性質(zhì)、點關于直線對稱問題以及解析幾何求最值，屬于中檔題.解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法.7.公元前世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點和，且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關于直線對稱，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意計算得的軌跡方程為，根據(jù)對稱性可得圓心在直線方程上，即，從而利用乘“1”法即可得到最值.【詳解】設點的坐標為，因為，則，即，所以點的軌跡方程為，因為點的軌跡關于直線對稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：B.8.已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（） A.B.C.D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件設出直線l3的方程，求出點A，B坐標，用m表示出，再借助幾何意義即可計算得解.【詳解】因直線垂直于，，則設直線l3的方程為：，由得點，由得點，而，，于是得，而表示動點到定點與的距離的和，顯然，動點在直線上，點與在直線兩側，因此，，當且僅當點M是直線與線段EF：的交點，即原點時取“=”，此時m=0，從而得取最小值，所以，當直線l3方程為：時，取最小值.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.請將答案填寫在答題卡相應的位置上.9.下列選項正確的是（）．A.過點且和直線平行的直線方程是B.若直線l的斜率，則直線傾斜角的取值范圍是C.若直線與平行，則與的距離為D.圓和圓相交【答案】AD 【解析】【分析】對于A：根據(jù)題意可設直線方程是，代入點運算求解即可；對于B：根據(jù)斜率與傾斜角的關系結合圖象分析求解；對于C：根據(jù)平行關系求的方程，進而結合兩平行線間的距離公式運算求解；對于D：分別求圓心和半徑，進而可得，根據(jù)兩圓位置關系分析判斷.【詳解】對于選項A：設與直線平行的直線方程是，因為直線過點，則，解得，所以過點且和直線平行的直線方程是，故A正確；對于選項B：因為，如圖所示，若，所以，故B錯誤；對于選項C：若直線與平行，則，解得，可知，即，所以與的距離為，故C錯誤；對于選項D：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為，且，即，所以圓和圓相交，故D正確； 故選：AD.10.已知動直線：和：，是兩直線的交點，、是兩直線和分別過的定點，下列說法正確的是（）A.點的坐標為B.C.的最大值為10D.的軌跡方程為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線方程求出定點的坐標，判斷A，證明直線垂直，判斷B，再結合判斷C，D.【詳解】直線的方程可化為，所以直線過定點，直線的方程可化為，所以直線過定點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以A錯誤，由已知，所以直線與直線垂直，即，B正確，因為，所以，故，所以，當且僅當時等號成立，C正確；因為，故，設點的坐標為，則，化簡可得， 又點不是直線的交點，點在圓上，故點的軌跡為圓除去點，D錯誤；故選：BC.11.已知圓，直線，點在直線上運動，直線分別于圓切于點．則下列說法正確的是（）A.四邊形的面積最小值為B.最短時，弦長為C.最短時，弦直線方程為D.直線過定點為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意可得當取最小值時，的面積最小，四邊形的面積取最小值，此時最短，弦長為，弦的直線方程為，即可得AB正確，C錯誤；易知在以為直徑的圓上，設，以為直徑的圓的方程可表示為，可得直線方程為，過定點為，D錯誤.【詳解】如下圖所示： 由直線分別于圓切于點可得，，又，是公共邊，所以，即四邊形的面積，對于A，當面積最小時，四邊形的面積取最小值，，所以當取最小值時，即為圓心到直線的距離時面積最小，即，四邊形的面積的最小值為，即A正確；對于B，由A可知，當取最小值時，最短，此時，所以B正確；對于C，易知在以為直徑的圓上，又，當最短時不妨設，則，且，解得，即，所以，且的中點為，即以為直徑的圓的方程為，與圓相減即可得公共弦的直線方程為，即C錯誤；對于D，設，由C可知，在以為直徑的圓上，所以圓心坐標為，半徑為， 即以為直徑的圓的方程可表示為，與圓相減整理得，直線方程為，此時直線過定點為，即D錯誤.故選：AB12.已知的頂點在圓上，頂點在圓上.若，則（）A.的面積的最大值為B.直線被圓截得的弦長的最小值為C.有且僅有一個點，使得為等邊三角形D.有且僅有一個點，使得直線，都是圓的切線【答案】ACD【解析】【分析】設點到直線的距離為，由求得的最大值判斷A，利用直線和圓的位置關系判斷B，利用為等邊三角形，則需，判斷C，利用射影定理可得進而判斷D.【詳解】設線段的中點為，因為圓的半徑為2，，所以，且，對于A選項，設點到直線的距離為，則， 所以當且僅當四點共線時，點到直線距離的最大值為15，所以的面積的最大值為，故A正確；對于B選項，點到直線的距離小于等于，當時，等號成立，又的最大值為7，所以點到直線的距離的最大值為7，這時直線被圓截得的弦長的最小值為，故B錯誤；對于C選項，若為等邊三角形，則需，，因為，所以點的軌跡是以為圓心的單位圓，所以，又的最小值為4，所以，當且僅當四點共線時成立，因此有且僅有一個點，使得為等邊三角形，故C正確；對于D選項，若直線，都是圓的切線，則，由射影定理，可得，同上，當且僅當三點共線時，，因此有且僅有一個點，使得直線，都是圓的切線，故D正確；故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填寫在答題卡相應位置上.13.平行直線與之間的距離為_________．【答案】##0.3【解析】【分析】根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意得即則平行直線與之間的距離為，故答案為：14.已知圓，直線，當圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為__________. 【答案】【解析】【分析】直線過的定點，當直線垂直于時，圓被直線截得的弦長最短，可求直線的方程.【詳解】由題意，直線的方程化為，由得∴直線過定點，顯然點在圓內(nèi)，要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心的連線垂直于直線，，解得，代入到直線的方程并化簡得.故答案為：.15.已知，若的平分線方程為，則所在的直線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先求得直線與直線的交點，然后利用角平分線定理求得點坐標，進而求得直線的方程.【詳解】，直線的方程為，由解得，設，依題意，的平分線為直線，由正弦定理得，由于，由此整理得, 則，設，則，整理得，解得或（舍去），則，，直線的方程為.故答案為：16.在中，，點是邊上的一點，且，當?shù)拿娣e最大時，則____________.【答案】##0.5【解析】【分析】建立平面直角坐標系，求出點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，數(shù)形結合，得到當在處時，的面積最大，從而求出.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系.則.令.由，即.所以，即點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓. 所以當在處時，的面積最大.所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將答案填寫在答題卡相應的位置上.17.圓C：內(nèi)有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.（1）當弦AB最長時，求直線l的方程；（2）當直線l被圓C截得的弦長為時，求l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）弦AB最長時，直線l過點和圓心,可求方程；（2）根據(jù)弦長，求得圓心到直線距離，利用點到距離公式可求直線方程【小問1詳解】圓C：化為標準方程為，則圓C的圓心為.又弦AB最長時，直線l過點和，所以直線l的方程為，即.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線的方程為，即， 弦長為時，由圓的半徑為3，由垂徑定理和勾股定理得，圓心到直線距離為，即，解得，此時直線l的方程為，經(jīng)檢驗k不存在時的直線也符合條件.所以直線l的方程為或.18.已知為圓C：上任意一點，且點．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【答案】【小問1】最大值為，最小值為【小問2】最大值為，最小值為【小問3】最大值為9，最小值為1【解析】【分析】（1）利用圖形及點與圓的關系即可得結果；（2）利用圖形將問題轉化為斜率最值即可；（3）利用圖形將問題轉化為直線與圓的位置關系；【詳解】（1）圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點，當M與A重合時取得最小值，即，與B重合時取得最大值即，故最大值，最小值為；（2）易知，由圖形知當與圓C相切時取得最值，如圖所示. 可設，則C到其距離為，解得，故最大值為，最小值為（3）設，如圖所示，即過點M的直線的截距，如圖所示，當該直線與圓相切時截距取得最值.圓心C到該直線的距離為，所以或9，故最大值為9，最小值為1.19.在三棱柱中，平面平面，側面為菱形，，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）點在線段上（異于點，），與平面所成角為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作交于點，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，可得 ，再由線面垂直的判定定理得平面，從而得到，再由線面垂直的判定定理可得答案；（2）以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，可得，求出平面的一個法向量，由線面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】因為側面為菱形，，，所以為邊長為的等邊三角形，作交于點，則點為的中點，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因為平面，所以，因為側面為菱形，所以，，平面，所以平面；【小問2詳解】由（1）知，平面，，取做的中點，連接，則，所以平面，以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，設，可得，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，可得， 可得，解得舍去，或，所以.20.已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，，且，（1）求；（2）若為的外接圓，若、分別切于點、，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題目條件可證得,可得為直角三角形，可求出.（2）用分別表示出，結合均值不等式即可求出答案.【小問1詳解】因為，則，所以，則，所以為直角三角形，所以.【小問2詳解】的外接圓的半徑為，，又，其中，所以， 而，，當且僅當取等.所以的最小值為.21.在平面直角坐標系中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過點，且被軸截得的弦長為.經(jīng)過坐標原點的直線與圓交于，兩點.（1）求圓的方程；（2）若點，直線與圓的另一個交點為，直線與圓的另一個交點為，分別記直線、直線的斜率為，，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設圓的標準方程，把點的坐標代入，結合弦長公式求解即可；（2）設，由解方程組的方法用的坐標表示的坐標，然后直接計算斜率即可得定值.【小問1詳解】由已知圓的圓心在軸上，設圓，又圓經(jīng)過點，且被軸截得的弦長為，所以，解得，所以圓.【小問2詳解】設， 則直線的方程為，其中，與聯(lián)立得：，由韋達定理知，所以，，所以，同理，所以，所以，所以定值.22.已知在平面直角坐標系中，平面內(nèi)動點P滿足．（1）求點P的軌跡方程；（2）點P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與軸的交點，E為直線上的動點，直線CE，DE與曲線的另一個交點分別為M，N，直線MN與x軸交點為Q，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意用兩點間距離公式求解即可；(2)利用韋達定理求出M，N的坐標，進而求得 的直線方程，即可利用基本不等式求出的最小值.【小問1詳解】設，則，化簡得．【小問2詳解】由題意得，設，則直線CE的方程為，直線DE的方程為，聯(lián)立得，則，即，則，聯(lián)立得，則，即，,，①當時，直線MN的斜率，則直線MN的方程為，即，，②當時，直線MN垂直于x軸，方程為，也過定點． 綜上，直線MN恒過定點．又，所以，所以，當且僅當時取等，所以的最小值為.