《重難點6-2 空間幾何體的交線與截面問題（8題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

熱點6-1空間幾何體的交線與截面問題空間幾何體的交線與截面問題既是高考數(shù)學(xué)的熱點，也是難點，往往在高考的選填壓軸題中出現(xiàn)，難度較大。此類題目綜合考察考生的空間想象能力和邏輯推理能力，處理這類問題的基本思路是借助空間點線面的位置關(guān)系和相應(yīng)的定理，將空間問題平面化?！绢}型1作出空間幾何體的截面】滿分技巧1、作截面應(yīng)遵循的三個原則：（1）在同一平面上的兩點可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫出它們的交點；（3）凡是相交的平面都要畫出它們的交線；2、作交線的方法有如下兩種：（1）利用基本事實3作直線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線?！纠?】（2024·全國·高三專題練習）如圖，正方體的棱長為8，，，分別是，，的中點．（1）畫出過點，，的平面與平面的交線；（2）設(shè)平面，求的長．【答案】（1）作圖見解析；（2）【解析】（1）如下圖所示，∵平面，與不平行，∴與必相交．設(shè)交點為，連接．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∵平面，平面，∴過點，，的平面與平面的交線為.（2）∵，∴，∴．∴.【變式1-1】（2024·甘肅·高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點.（1）請在正方體的表面完整作出過點的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）（2）求點到平面的距離.【答案】（1）截面，作圖過程見解析；（2）【解析】（1）連接并延長交延長線于點，連接并延長交于點，交延長線于點，連接交于點，則截面即為所求.（2）如圖，以為原點，棱所在直線分別為軸建立空間直角坐標系Dxyz.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因為正方體的棱長為2，所以..設(shè)平面的法向量為，則即，取，得平面的法向量為.設(shè)點到平面的距離為，則，故點到平面的距離為.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點．（1）請在直四棱柱中，畫出經(jīng)過三點的截面并寫出作法（無需證明）．（2）求截面的面積．【答案】（1）圖形見解析；（2）【解析】（1）取的中點，連接、、、，則四邊形即為過點、和的平面截直四棱柱所得截面；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 取的中點，連接、，因為為的中點，為直四棱柱，底面為正方形，所以且，且，所以且，所以為平行四邊形，所以，又且，所以為平行四邊形，所以，所以，即、、、四點共面.（2）在直四棱柱中，，、分別為、的中點，所以，所以四邊形為菱形，連接，，則，又，，所以.【變式1-3】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半徑為，且點分別為棱，的中點．（1）過點作三棱柱截面，求截面圖形的周長；（2）求平面與平面的所成角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正三棱柱中，，三棱柱外接球半徑為，設(shè)外接球的半徑為，底面正的外接圓的半徑為，可得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，因為，解得，又因為點分別為棱，的中點，可得，如圖所示，延長交于點，連接交于點，四邊形為所求截面，又由，所以，在中，由余弦定理得，所以可得,所以截面圖形的周長為.（2）以點為原點，以所在的直線分別為軸，以過點垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，可得，則設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，取的中點，因為為等邊三角形，可得，又因為平面，且平面，所以，因為且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一個法向量為，設(shè)兩個平面所成角為，則，所以平面與平面的所成角的余弦值．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型2判斷截面多邊形的形狀】滿分技巧判斷截面多邊形形狀時需要注意以下幾點：1、截面與幾何體表面相交，交線不會超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。2、不會與同一個表面有兩條交線。3、與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）4、截面截內(nèi)切球或者外接球時，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系【例2】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）（多選）在正方體中，用垂直于的平面截此正方體，則所得截面可能是（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【答案】AD【解析】如圖所示：在正方體中，又，平面，平面，則平面，又平面，則，同理，又，平面，平面，所以平面，同理平面，由直線與平面垂直的性質(zhì)得；與平面和平面平行的平面，都與垂直，由圖象知：在平面和平面之間的平面，與正方體所得截面的形狀為六邊形；在平面和平面之外的平面，與正方體所得截面的形狀為三角邊形，故選：AD【變式2-1】（2023·江西宜春·高三宜豐中學(xué)校考階段練習）在長方體中，、，、分別為棱、的中點，點在對角線上，且，過點、、作一個截面，該截面的形狀為（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【答案】C【解析】如圖所示，延長、，使，連接、，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∵、、，∴、，∵、分別為棱、的中點，∴，∴，∵，又、、三點共線，∴、、三點共線，∴在截面上，延長、，使，連接，使，∴在截面上，連接、，∵，且∴，∴且=，又為中點，、、三點共線，∴、、三點共線，∴截面為五邊形，故選：C．【變式2-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，分別為棱的中點，過三點作該正方體的截面，則（）A．該截面是四邊形B．平面C．平面平面D．該截面與棱的交點是棱的一個三等分點【答案】D【解析】對A：如圖，將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于點，連接，分別與棱交于點，得到截面是五邊形，故A錯誤；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對B：因為面面，故；又，面，故面，又面，故；假設(shè)，又，面，故面，又面，顯然過一點作一個平面的垂直只能有一條，假設(shè)不成立，即與不垂直；又平面，所以與平面不垂直，故B錯誤；對C：面面，故，又，面，故面，又面，故，同理可得，又面，故平面，又與平面不垂直，所以平面與平面不平行，故C錯誤；對D：易知，所以，所以截面與棱的交點是棱的一個三等分點，故D正確．故選：D．【變式2-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知直三棱柱，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，則（）A．存在正實數(shù)，，，使得截面為等邊三角形B．存在正實數(shù)，，，使得截面為平行四邊形C．當，時，截面為五邊形D．當，，時，截面為梯形【答案】AC【解析】由題意，在直三棱柱中，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A項，當時，截面為等邊三角形，此時，且，A正確；B項，當時，點在三棱錐內(nèi)部，為三角形，當時，不為平行四邊形，當時，不為平行四邊形，當時，不為平行四邊形，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當有兩個大于時，不為平行四邊形,當有三個大于時，截面為,∴不存在正實數(shù)，，，使得截面為平行四邊形，B錯誤；C項，當，時，，解得：（舍）或，當時，，在三棱柱外，在三棱柱內(nèi)，截面為五邊形,故C錯誤；D項，當，，時，截面為四邊形,易知與相交，假設(shè)，因為平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以（矛盾），故四邊形不是梯形，故D錯誤.故選：AC.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型3求解截面多邊形的周長】滿分技巧求解截面多邊形的周長有兩個思路：（1）利用多面體展開圖進行求解；（2）在各個表面確定交線，分別利用解三角形進行求解?！纠?】（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)校考期末）如圖，已知正方體的棱長為為的中點，過點作與直線垂直的平面，則平面截正方體的截面的周長為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當點為的中點時，取的中點，連接，顯然≌，則，，即有，而平面，平面，則，又平面，于是平面，而平面，因此，同理，顯然平面，所以是平面截正方體所得截面，其周長為.故選：D.【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．9C．D．【答案】A【解析】如圖，取AB的中點G，連接GE，，．因為E為BC的中點，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長為．故選：A．【變式3-2】（2023·全國·高三對口高考）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動點，則過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為．【答案】【解析】由題意可知過三點的平面截該三棱柱所得截面的周長即的周長，因為直三棱柱，所以各側(cè)面均為矩形，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 直三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，則在矩形中，所以過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為.【變式3-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，點分別是，的中點，則過點的平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，延長交的延長線于點，交的延長線于點，連接并延長交于點，交的延長線于點，連接，分別交，于點，，連接，，則六邊形所在平面即為平面，六邊形即為過點的平面截正四棱柱所得的截面多邊形，由全等三角形可知，，，分別為，，的中點，因為，所以，所以六邊形的周長為．故選：D．【變式3-4】（2024·河北廊坊·高三文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖所示，過點作于點，因為，所以，則四棱臺的高為，則四棱臺的體積為，解得，所以側(cè)棱長為.如圖所示：過于點，于點，連接，由對稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點，使得，易得，所以截面多邊形的周長為.故選：D.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型4求解截面多邊形的面積】滿分技巧求解截面多邊形的面積問題的步驟：（1）通過解三角形求得截面多邊形各邊的長度；（2）判斷多邊形的形狀是否規(guī)則，若為規(guī)則圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過切割法將多邊形分為多個三角形求解?！纠?】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，則平面截正方體所得的截面面積為（）A．B．C．9D．18【答案】B【解析】由題知連接，，，如圖所示因為分別是的中點，所以，在正方體中，所以，所以在同一平面內(nèi)，所以平面截該正方體所得的截面為平面，因為正方體的棱長為，所以，，，則到的距離為等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B正確.故選：B.【變式4-1】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考期中）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，D是棱CC1的中點，CC1=AC=4，，AB=3，，過點D作平面平面，則平面截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面積為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知：分別取中點，連接，如圖所示：所以：，因為：又因為：平面，不在平面上，所以：平面，平面，又因為：，平面，所以：平面平面，即：平面為平面與三棱柱的截面；因為，且，，平面平面，又因為平面，所以，，又因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為為中點，所以得為等邊三角形，則，，，所以，所以得四邊形為等腰梯形，所以，，，可求出截面面積為：故A項正確.故選：A.【變式4-2】（2023·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習）已知正三棱錐底面邊長為1，側(cè)棱長為2，過棱的中點作與該棱垂直的截面分別交，于點，，則截面的面積為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】由題易知面，面，則，，在中，由余弦定理得，，∵，∴，∴，，，，同理，，∴，∴，∴，∴．過作于點，則為的中點，∴，∴，故選：B．【變式4-3】（2023·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習）已知正方體的棱長為3，點分別在棱上，且滿足為底面的中心，過作截面，則所得截面的面積為.【答案】【解析】如圖，連接,在正方體中，易知，,即.四點共面，又在上，過作正方體截面為梯形，正方體的棱長為3，，,學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 梯形的高為，梯形的面積為.【變式4-4】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知棱長為4的正四面體，用所有與點A，B，C，D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】與點A，B，C，D距離均相等的平面可分為兩類，一類是平面的一側(cè)是1個點，另外一側(cè)有3個點（如圖1），此時截面過棱的中點，且與一個面平行，故截面三角形與平行的面（三角形）相似，相似比為，故其面積為，這樣的截面共有4個，故這類截面的面積和為，另外一類是平面的兩側(cè)各有2個頂點（如圖2），因為正四面體對棱垂直，易知四邊形PQMN是邊長為2的正方形，其面積為4，這樣的截面共有3個，故這類截面的面積和為12，故符合條件的截面的面積和為.故選：A．【題型5截面分割幾何體的體積問題】滿分技巧截面分割后的幾何體易出現(xiàn)不規(guī)則的幾何體，對此往往采用“切割法”或“補形法”進行體積的求解?！纠?】（2023·河北衡水·衡水中學(xué)?？家荒＃┮阎庵^底邊的平面與上底面交于線段，若截面將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】平面，平面平面，平面，；設(shè)的面積為，的面積為，三棱柱的高為，三棱臺的體積，又三棱柱的體積，，解得：（舍）或，∽，，即.故選：A.【變式5-1】（2024·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習）已知正方體，棱的中點分別為，平面截正方體得兩個幾何體，體積分別記為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨設(shè)正方體的棱長為，連接，因為正方體，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，因為的中點分別為，所以，則，所以平面即為平面，幾何體為一個三棱臺，則，又正方體的體積為，所以，則.故選：D.【變式5-2】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，底面的邊長為學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 為正三角形，點分別在上，且，若過點的截面交于點，則四棱錐的體積是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖：連接，交于點，連接，，相交于點，因為，，所以，所以，故為的重心，所以為中點.又因為為正三角形，所以.因為四棱錐是正四棱錐，所以，，，平面，且，所以平面.平面，所以，又，所以.，平面，，所以平面.因為，所以，，，,所以.故選：D【變式5-3】（2023·江蘇揚州·高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，是棱AB上一點，若平面把三棱柱分成體積比為的兩部分，則（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】如圖：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 延長與交于，連接交于，則平面與三棱錐的截面是，將三棱錐分成兩部分，三棱臺，多面體，設(shè)，，，，，設(shè)，則，，則，，解得：，由于，所以，故選：D.【變式5-4】（2023·全國·高三專題練習）在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.（1）證明：平面；（2）過點作一平行于平面的截面，畫出該截面（不用說明理由），并求夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）截面為平面，體積為【解析】（1）在中，，，，，由余弦定理得：，，，又平面，平面，，，平面，平面.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）取的中點，的中點，連接，則平面即為所求.理由如下：，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面，平面平面；由（1）可知：平面，且平面，，，夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.【題型6截面最值的相關(guān)問題】滿分技巧截面最值問題的計算，主要由以下三種方法：1、極限法：通過假設(shè)動點運動至兩端，計算最值（需注意判斷是否單調(diào)）；2、坐標法：通過建系設(shè)坐標，構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)進行求解；3、化歸法：通過圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計算?！纠?】（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】連結(jié)，因為平面，平面，所以且，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，平面，所以平面；所以平面為平面或與其平行的平面，只能為三角形或六邊形.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當為三角形時，其面積的最大值為；當為六邊形時，此時的情況如圖所示，設(shè)，則，依次可以表示出六邊形的邊長，如圖所示：六邊形可由兩個等腰梯形構(gòu)成，其中，兩個等腰梯形的高分別為，，則當且僅當時，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時截面面積最大，最大值為.【變式6-1】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直三棱柱中，，過點的平面分別交棱AB，AC于點D，E，若直線與平面所成角為，則截面三角形面積的最小值為．【答案】【解析】因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，平面，所以，過點作交于點，連接，，，平面，所以平面，過點作交于點，因為平面，所以，平面，，所以平面，因為直線與平面所成角為，所以，在中，由，，可得，，設(shè)，在中，，由等面積法可知，因為平面，又由平面，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，因為，當且僅當時，等號成立，所以.【變式6-2】（2024·山東煙臺·高三統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，則該三棱柱外接球的表面積為；若點為線段的中點，點為線段上一動點，則平面截三棱柱所得截面面積的最大值為.【答案】；【解析】由題意，直三棱柱中，，，該直三棱柱可補充一個長方體，其中直三棱柱的外接球和補成的長方體的外接球是同一個球，又由長方體過同一頂點的三條棱長分別為，可得對角線長為，所以外接球的半徑為，則該三棱柱外接球的表面積為；如圖所示，連接，并延長交于點，取的中點，連接，則且，在過點作，可得，連接，則四邊形即為過點的截面，在中，因為，且為的中點，所以，又因為平面，平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以，所以四邊形為直角梯形，在中，由且，可得，所以，設(shè)，在直角中，可得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又由，可得，所以直角梯形的面積為，其中，設(shè)，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，又由，可得，所以當時，函數(shù)取得最大值，此時梯形的面積取得最大值.【變式6-3】（2024·廣西·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，點為棱上一點，過點作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當該截面面積取得最大值時，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點作，交于點；在平面內(nèi)，過點作，交于點；在平面內(nèi)，過點作，交于點，連接，如圖所示，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因為，則，設(shè)其相似比為，即，則；又因為，，，由余弦定理得，，則，即.又平面，，平面，所以，.又，則，.因為，則，則，因為，所以，即，同理可得，即，因為，，則，故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；又平面，平面，則，又，所以.故平行四邊形為矩形，則，所以當時，有最大值，則，在中，.故選：C.【變式6-4】（2023·廣西·高三統(tǒng)考階段練習）在棱長為2的正方體內(nèi)，放入一個以為鈾線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為．【答案】【解析】如圖，連接，，，，因為平面，平面，則，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，平面，平面，,平面，故，同理可得，平面，平面，，平面，設(shè)圓柱的一個底面所在平面截正方體所得的截面為，則為正三角形，由圓柱可知軸線平面，又平面，所以平面平面，設(shè)（），則，所以內(nèi)切圓的半徑，點到平面的距離．因為，所以圓柱的高，圓柱的體積，，則在上單調(diào)遞增，所以．【題型7球的截面問題】滿分技巧求解球的截面問題的要點：（1）確定球心與半徑；（2）尋找作出并計算截面與球心的距離；（3）充分利用“球心做弦的垂線，垂足是弦中點”這個性質(zhì)；（4）強調(diào)弦的中點，不一定是幾何體線段的中點。【例7】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）球的兩個平行截面面積分別為和，球心到這兩個截面的距離之差等于1，則球的直徑為（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】令球心到較近的截面距離為，則到另一個截面距離為，且球的半徑為，易知較近的截面圓面積為，另一個截面圓面積為，所以較近的截面圓半徑為，另一個截面圓半徑為，由截面圓半徑與球體半徑、球心與截面距離關(guān)系知：，所以，故，則球的直徑為6.故選：D學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式7-1】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點，且，過點作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因為，所以.由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時過點作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當且僅當與所求截面垂直時，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C【變式7-2】（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】因為平面，、平面，所以，，因為，，、平面，所以平面，如圖所示，設(shè)為球與平面的交線，則，，所以，所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓，因為且，所以，所以弧的長為．故選：B.【變式7-3】（2023·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習）三棱錐的四個頂點都在表面積為的球O上，點A在平面的射影是線段的中點，，則平面被球O截得的截面面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)中點為，點在平面的射影是線段的中點，平面，，，又，是等邊三角形．取中點為，連接交于，則是外心．連接，在上取，使得，則為外心．過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐外接球球心，則四邊形是矩形，．連接，，設(shè)外接圓半徑，設(shè)球半徑為．球的表面積為，．在中，，平面被球截得的截面面積．故選：C【變式7-4】（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱的所有棱長均為4，，以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】【解析】如圖：取的中點,連接，結(jié)合題意：易得為等邊三角形，因為為的中點，所以因為在直四棱柱中有面,且面，所以,又因為,且面所以面，結(jié)合球的性質(zhì)可知為該截面圓的圓心，因為直四棱柱的所有棱長均為4，，所以,,,,故以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為：以為圓心,為半徑的圓所成的圓弧.所以.【題型8圓錐的截面問題】【例8】（2023·全國·模擬預(yù)測）某圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當截面面積最大時，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）A．4B．2C．D．【答案】D【解析】設(shè)該圓錐的頂點為S，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，連接SO，由圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形可知圓錐的高，底面圓半徑為，設(shè)C為圓錐底面圓周上一點，連接BC，OC，則，所以當?shù)拿娣e最大時，即最大時，即的夾角為90°時，的面積最大，此時的面積為8，且，取中點，連接，則，在直角中，可得，所以的面積為，設(shè)圓錐底面圓的圓心O到截面SBC的距離為h，則由可得，即，解得，所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為．故選：D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式8-1】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則.【答案】【解析】令球半徑為，則，解得，由平面與直線成角，得平面截球所得小圓半徑，因此，由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點為弦中點，如圖，依題意，，，，顯然，于是，所以.【變式8-2】（2024·廣東中山·中山紀念中學(xué)校考二模）已知球的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點的平面截球和圓錐所得的截面面積分別為，若，則【答案】【解析】設(shè)球O半徑為R，由，得，平面截球O所得截面小圓半徑，由，得，因此，球心O到平面的距離，而球心O在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因圓錐的高為1，則球心O到圓錐底面圓的距離為，于是得圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點C為弦中點，如圖，由題意，，則，，，所以.【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）（多選）圖，在圓錐中，已知高.底面圓的半徑為2，為母線的中點，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列三個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線，則下面四個命題中正確的有（）A．圓錐的體積為B．圓的面積為C．橢圓的長軸長為D．雙曲線兩漸近線的夾角【答案】BCD【解析】對于A，圓錐底面圓面積，圓錐體積，A錯誤；對于B，圓錐中截面圓的半徑為底面圓半徑的一半，該圓面積為，B正確；對于C，過作于，于是，，因此橢圓的長軸長，C正確；對于D，在與平面垂直且過點的平面內(nèi)，建立平面直角坐標系，坐標原點與點P到底面距離相等，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 于是雙曲線頂點，雙曲線與圓錐底面圓周的交點，設(shè)雙曲線方程為，則，解得，因此該雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即雙曲線兩漸近線的夾角，D正確.故選：BCD【變式8-4】（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，用一垂直于某條母線的平面截一頂角正弦值為的圓錐，截口曲線是橢圓，頂點A到平面的距離為3.（1）求橢圓的離心率；（2）已知P在橢圓上運動且不與長軸兩端點重合，橢圓的兩焦點為，，證明：二面角的大小小于.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）以橢圓的中心以及短軸的頂點作平行于圓錐底面的截面（截面為圓），如圖為圓錐的軸截面，由題意可得：，則橢圓的長軸長，即，設(shè)圓錐的頂角為，由題意可知∵，則，解得或（舍去），∴，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在中，可得，則，在中，則，可得，故，在中，可得，即截面圓的半徑為，則橢圓的短軸，故橢圓的短軸長，即，則，∴橢圓的離心率.（2）如圖，以橢圓的中心為坐標原點建立空間直角坐標系，則，設(shè)，平面的法向量為，∵，則，令，則，即，同理可得：平面的法向量為，則令，則，當時，則，∴，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 構(gòu)建，則，當時，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；當時，令，則，令，則當時恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，∴在上單調(diào)遞減，則；綜上所述：當時恒成立，∴，設(shè)二面角的平面角為，由題意可得，∴，即二面角的大小小于.（建議用時：60分鐘）1．（2024·全國·高三專題練習）已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直O(jiān)A的平面截球得到圓M，若圓M的面積為，則球O的表面積為（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】設(shè)圓的半徑為，因為圓M的面積為，可得，解得，設(shè)球O的半徑為，由截面圓的性質(zhì)，可得，即，解得，所以球的表面積為．故選：C．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，正方體的外接球球心在其中心點處，設(shè)該正方體的棱長為，則外接球的半徑，要使過直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點，連接OE，OF，OP，則，，所以，此時截面圓的半徑．顯然當截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑；所以．故選：D．3．（2023·四川宜賓·高二四川省興文第二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點D，與BC交于點E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】C【解析】因為三棱柱，所以，面面，又因為面面，面面，所以，顯然為三棱臺，設(shè)，（），三棱柱的高為，則，所以三棱柱體積為，三棱臺的體積為，①三棱臺的體積占，則，得，得或，均不符合題意；②三棱臺的體積占，則，得，得或，因為，所以.故選：C4．（2024·四川·校聯(lián)考一模）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（）．A．M必為三角形B．M可以是四邊形C．M的周長沒有最大值D．M的面積存在最大值【答案】D【解析】對于選項A、B，易知平面為平面或與其平行的平面，故多邊形M只能為三角形或六邊形，選項A和B均錯誤；對于選項C，當M為正三角形時，顯然截面多邊形M為時周長取得最大值為；當截面多邊形M為六邊形時，設(shè)，則，，，易得：，，此時截面多邊形M的周長為定值：，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 綜合兩種情況，M的周長的最大值為，選項C錯誤；對于選項D，當M為正三角形時，僅當截面多邊形M為時的面積為；當截面多邊形M為六邊形時，設(shè)，該六邊形可由兩個等腰梯形和構(gòu)成，其中，，，，兩個等腰梯形和的高分別為和，則，，當且僅當時，六邊形面積最大值為，即截面多邊形是正六邊形時截面面積最大．綜上，當時，截面多邊形為正六邊形時面積取得最大值.選項D正確.故選：D.5．（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長度的和為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點在底面的射影為的中心，連接，由，得，所以，因為球的半徑為，所以截面圓的半徑，所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 如圖所示易求，所以，易得，所以，所以交線長度和為.故選：C.6．（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習）已知正方體的棱長為，為的中點，為棱上異于端點的動點，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在正方體中，平面平面，因為平面，平面，平面平面，則平面與平面的交線過點，且與直線平行，與直線相交，設(shè)交點為，如圖所示，又因為平面，平面，即分別為，與平面所成的角，因為，則，且有，當與重合時，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時，即為棱中點；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當點由點向點移動過程中，逐漸減小，點由點向點方向移動；當點為線段上任意一點時，平面只與該正方體的4個表而有交線，即可用成四邊形；當點在線段延長線上時，直線必與棱交于除點外的點，又點與不重合，此時，平面與該正方體的5個表面有交線，截面為五邊形，如圖所示．因此．當為棱上異于端點的動點，截面為四邊形，點只能在線段（除點外）上，即，可得，則，所以線段的取值范圍是，所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.故選：B．7．（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）（多選）用一個平面去截正方體，關(guān)于截面的說法，正確的有（）A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形B．截面有可能是四邊形，并且有可能是正方形C．截面有可能是五邊形，并且有可能是正五邊形D．截面有可能是六邊形，并且有可能是正六邊形【答案】ABD【解析】由題意，在正方體中，對于A中，過點三點的截面為，截面的形狀為正三角形，所以A正確；對于B中，過棱的中點，作正方體的截面，此時截面與上下底面平行且全等，所以截面的性質(zhì)為正方形，所以B正確；對于C中，用一個平面截正方體，截面可以是五邊形，但不能為正五邊形，所以C錯誤；對于D中，如圖所示，用一個平面截正方體，當取各邊的中點時，截面是正六邊形，所以D正確.故選：ABD.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 8．（2023·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考期中）（多選）如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為a．現(xiàn)準備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）A．過棱AC的截面中，截面面積的最小值為B．若過棱AC的截面與棱BD（不含端點）交于點P，則的最小值為C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)截面與棱BD的交點為P，如圖1，過棱AC的截面為，當P為棱BD的中點時，由，，且都在平面內(nèi)，則平面，又在平面內(nèi)，所以，所以當P為棱BD的中點時，的面積取得最小值，最小值為，A正確．圖1設(shè)，，．在中，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因為，所以，所以，B正確．對于C，如圖2，當截面EFNM為平行四邊形時，，，因為平面ABD，平面ABD,所以平面ABD，又因為平面CBD，平面CBD平面ABD,所以，同理，由選項A可知，所以，從而平行四邊形EFNM為長方形．設(shè)，利用相似比可得，則，所以長方形EFNM的面積，當且僅當時，等號成立，C錯誤．圖2與該木塊各個頂點的距離都相等的截面分為兩類．第一類：平行于正四面體的一個面，且到頂點和到底面距離相等，這樣的截面有4個．第二類：平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個．故與該木塊各個頂點的距離都相等的截面共有7個，D正確．故選：ABD9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正三棱臺中，，，點，分別為棱，的中點，若過點，，作截面，則截面與上底面的交線長為．【答案】【解析】連接并延長交的延長線于點，連接交于點，連接，如圖，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則線段即為截面與上底面的交線，因為F為的中點，，所以.過點E作的平行線交于點，因為，，所以，在中，.10．（2023·重慶·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點，平面截正方體的截面面積為.【答案】【解析】在正方體中，延長交延長線于，連接交于，并延長交延長線于R，延長交延長線于，連接交于，交于，易知點共面，平面即為平面，所以平面截正方體的截面為六邊形，因為，，分別是棱，，的中點，所以根據(jù)相似比易知點都為其所在正方體棱的中點，則易得六邊形為正六邊形，因為正方體的棱長為4，所以正六邊形的邊長，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以截面面積為.11．（2023·廣西河池·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，為中點，過，，的平面截四棱錐所得的截面為．（1）若與棱交于點，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明．（2）求多面體的體積．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】（1）延長，連接交于，連接，如圖，四邊形為截面.中，，由，則為中點，為中點．過作交于，則.,.，即．（2）.由題意及（1）可得，.則；又可得，點F到平面BEC距離為，則.則．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 12．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）如圖，直三棱柱中，點D，E分別為棱的中點，．（1）設(shè)過A，D，E三點的平面交于F，求的值；（2）設(shè)H在線段上，當?shù)拈L度最小時，求點H到平面的距離．【答案】（1）；（2）【解析】（1）如圖延長交于，連接交于，如圖所示：因為為棱的中點，，且，所以是的中點，即，因為，所以∽，所以.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）由題知平面，則，因為，且，所以，所以平面，所以，如圖所示，以為原點，，，分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，所以，，，，，設(shè)，，，，因為最短，所以，所以，解得，所以，則，設(shè)平面的法向量，則，即，所以，所以點到平面的距離.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司