《重難點3-2 解三角形的綜合應用（8題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

重難點3-2解三角形的綜合應用解三角形一直是高考數學中的熱門考點，這類試題主要考查學生數形結合、等價轉化、數學運算和邏輯推理的能力。一般為中等難度，但題目相對綜合，涉及知識較多，可通過三角恒等變換、構造函數或構造基本不等式等方法加以解決?！绢}型1四邊形中的解三角形問題】滿分技巧四邊形中的解三角形問題通常需將四邊形分成多個三角形，觀察各個三角形之間的關系，找出同角、共邊的三角形，有時還需結合三角恒等變換。【例1】（2024·湖南婁底·高三統考期末）如圖所示，在平面四邊形中，角為鈍角，且.（1）求鈍角的大小；（2）若，求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，所以，又，所以，即，解得或者，又為鈍角，所以.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （2）設，四邊形內角和為，由（1）的結論知：，在中，由正弦定理得：，即，在中，，即，又，則，即，即，，即，，即，即的大小為.【變式1-1】（2024·云南昆明·統考一模）在中，，，.（1）求的面積；（2）如圖，，，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，,所以，因為，，所以，在中，由正弦定理可得，解得.又因為，所以.（2）由（1）可知，，因為，所以，又因為，即，故，所以，，在中，由余弦定理可得，解得.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式1-2】（2024·重慶·高三重慶八中?？奸_學考試）已知四邊形的外接圓面積為，且為鈍角，（1）求和；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1），；（2）【解析】（1）四邊形的外接圓面積為，即的外接圓面積為，設的外接圓半徑為，則，解得，在中，，即，故，因為為鈍角，所以為銳角，故，由余弦定理得，即，故，解得，負值舍去，（2），因為，所以，在中，由正弦定理得，又，故，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，故，四邊形的面積為.【變式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）如圖，在四邊形中，為的中點，，，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （1）求；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，，，為的中點，所以在中，，所以，所以，在中，，所以，.（2）因為，所以，所以，所以，在中，，所以【題型2解三角形中的中線應用】滿分技巧1、中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2+AC2=2(BD2+AD2)【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD2=14b2+c2+2bccosA【點睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD的值也適用）.【例2】（2024·廣東廣州·廣州六中校考三模）在中，角，，對應的邊分別為，，且.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （1）求角；（2），，點在上，，求的長.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知，，得，由余弦定理，得，即，所以，由，得.（2）由（1）知，，所以，即，由，解得，即，設，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，即，解得，所以.【變式2-1】（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）在中，內角所對應的邊分別為，且滿足．（1）求角；（2）若，且，求邊的中線長．【答案】（1）；（2）【解析】（1）對于，由正弦定理得，因為，所以，即，由角為的內角可得；（2）因為，所以，又角為的內角，所以，則，即是一個角為的等腰三角形，設上的中點為，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以，即，所以，所以，即邊的中線長為.【變式2-2】（2024·浙江寧波·高三統考期末）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若，BC邊上的中線，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，即，所以，又因為，所以，所以．（2）方法1：因為，所以，即，所以①；由余弦定理得，②；所以由①②得，所以．方法2：由余弦定理得：，因為，所以①；又②；所以由①②得，????所以．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式2-3】（2024·重慶·統考一模）在梯形中，為鈍角，，．（1）求；（2）設點為的中點，求的長．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在梯形中，由為鈍角，得是銳角，在中，，則，由余弦定理得，即為等腰三角形，所以.（2）由，得，由點為的中點，得，所以.【變式2-4】（2024·全國·高三專題練習）在中，．（1）求的大?。唬?）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求邊上中線的長．條件①：的面積為；條件②：；條件③：．【答案】（1）；（2）不能選①，選②或③，答案均為1【解析】（1）由正弦定理及，得．①因為，所以．②由①②得．因為，所以．所以．因為，所以．（2）選①，的面積為，即，即，解得，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 因為，由余弦定理得，即，解得，由基本不等式得，但，故此時三角形不存在，不能選①，選條件②：．由（1）知，．所以，所以．因為，所以．所以，即．所以是以為斜邊的直角三角形．因為，所以．所以邊上的中線的長為．選條件③：．由余弦定理得，即．設邊上的中線長為，由余弦定理得，所以邊上的中線的長為1．【題型3解三角形中的垂線應用】滿分技巧1、分別為邊上的高，則2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個作用：（1）產生直角三角形；（2）與三角形的面積相關。【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）在中，內角A，B，C滿足學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 ．（1）求；（2）若邊上的高等于，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，因為，由正弦定理得：，由余弦理得又因為，所以，．（2）如圖：設邊上的高為，為垂足，在中，；在中，，，，設，則，，所以，所以.【變式3-1】（2024·福建·高三校聯考開學考試）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）過點A作的垂線與的延長線交于點D，，的面積為，求的周長．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，由正弦定理得．兩邊除以，得，由二倍角公式，有，整理為，上式因式分解為，解得或（舍去），學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 又由，可得；（2）由．有，又由，可得，有，可得，又由的面積為及，有，代入，可得，，又由，有，代入，可得，在中，由余弦定理，有，有的周長為．【變式3-2】（2024·江蘇常州·高三統考期末）記的內角，，的對邊分別為，，，邊上的高為，已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）或2；（2）【解析】（1）余弦定理得，，又，所以，代入，，或2．（2）由正弦定理得，又，，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 ，，，，，，，．【變式3-3】（2024·江西贛州·高三統考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．【答案】（1）證明見解析；（2）直角三角形.【解析】（1）因為，由正弦定理得，，整理可得，，又，于是，即，因為，所以，所以或（舍去），所以；（2）根據等面積法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.【變式3-4】（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且，過點A作，使得四邊形ABCD滿足，．（1）求角的大小；（2）若，求四邊形的面積．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及正弦定理，得．整理化簡得．由余弦定理得．又，所以．（2）設，則，．在中，由正弦定理得．所以．在中，由正弦定理得，所以，即．所以，即．注意到，所以，．所以，，．所以四邊形的面積為．【題型4解三角形中的角平分線應用】滿分技巧如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，c1、利用角度的倍數關系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD2、內角平分線定理：AD為?ABC的內角∠BAC的平分線，則ABAC=BDDC.說明：三角形內角平分線性質定理將分對邊所成的線段比轉化為對應的兩邊之比，再結合抓星結構，就可以轉化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運用向量知識解決起來都較為簡捷。學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 3、等面積法：因為S?ABD+S?ACD=S?ABC，所以12c?ADsinA2+12b?ADsinA2=12bcsinA，所以b+cAD=2bccosA2整理的：AD=2bccosA2b+c（角平分線長公式）【例4】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯考期末）在中，.（1）求；（2）若，點在邊上，平分，求的長.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，由正弦定理得，故由余弦定理可得，因為，所以；（2）因為平分，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以.【變式4-1】（2024·廣東湛江·高三統考期末）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）求角A；（2）作角A的平分線與交于點，且，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因，由正弦定理可得：，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 即.因，故，則有，即，因，故.（2）因為為角平分線，所以，所以.因，，，則，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分別代入化簡得：，解得：或（舍去），所以.【變式4-2】（2024·山東濟南·高三統考期末）記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．（1）求B，（2）的平分線交邊于點D，且，求b．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，，所以，又，所以．（2）因為，即，又，，解得，在中，由余弦定理得，則.【變式4-3】（2024·浙江寧波·高三余姚中學校聯考期末）在中，已知.（1）求的長；（2）若的平分線交點，求的最大值.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得，，得到，所以，由正弦定理，得到，又，所以.（2）設，因為，所以，又，所以，由余弦定理，，所以當時，取到最大值.【變式4-4】（2023·安徽·高三校聯考期末）如圖,在中,的平分線交邊于點,點在邊上,,,.??（1）求的大小;（2）若,求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為是的角平分線,所以,在中，根據余弦定理得,所以,則，因為，所以.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （2）因為，所以，在中，由正弦定理得，在四邊形中，，所以，則.【題型5解三角形中的等分點應用】滿分技巧當所三角形問題不再是中線、角平分線、垂線這些特殊情況時，要注意結合補角的三角函數關系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量?！纠?】（2024·山西太原·高三統考期末）在中，，，分別為內角的對邊，點在線段上，，，的面積為.（1）當，且時，求；（2）當，且時，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意得，，，，，，，，，；（2）由題意得，，，，，，，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 ，，，，，的周長為.【變式5-1】（2024·江蘇蘇州·高三統考期末）在中，角的對邊分別為，已知.（1）求證：；（2）若點在邊上，且，求的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因為，由正弦定理知，所以，所以3，即，因為，所以，所以.（2）在中，，在中，，所以，所以，所以，因為，所以，所以.【變式5-2】（2023·江蘇揚州·高三統考階段練習）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為，，，且．（1）求；學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （2）已知，為邊上的一點，若，，求的長．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，由正弦定理得，因為，可得，所以，即，所以，又因為，可得，所以，可得.（2）在中，由余弦定理得，所以，因為且，所以，所以，又因為，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，解得.【變式5-3】（2023·安徽·校聯考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求證：；（2）如圖：點在線段上，且，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：由余弦定理得，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 又，可得，即，由正弦定理得，而，代入上式，可得，所以（舍）或，即.（2）因為，，所以，在中，由正弦定理得，而，可得，代入，可得，由余弦定理得.【變式5-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且．（1）求；（2）若，點在邊上，，且，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，即，則，而，于是，即，又，即有，則，所以.（2）依題意，，則，而，于是，，解得，又，解得，由余弦定理得，解得，所以.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【題型6與三角值有關的最值范圍】滿分技巧三角形中的最值范圍問題處理方法1、利用基本不等式求最值-化角為邊余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的條件。2、轉為三角函數求最值-化邊為角如果所求整體結構不對稱，或者角度有更細致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時候可以轉化為角的關系，消元后使得式子里只有一個角，變?yōu)槿呛瘮底钪祮栴}進行解決。要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊?！纠?】（2024·全國·模擬預測）記的內角所對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）已知，由正弦定理得：，整理得：，……①因為……②②代入①有：，再由正弦定理得．（2）由余弦定理得：，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．【變式6-1】（2024·河北邢臺·高三統考期末）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【解析】（1），由正弦定理得．因為，所以．因為為銳角三角形，所以．（2）因為，所以．因為為銳角三角形，所以得．因為，由，得，所以.即的取值范圍為.【變式6-2】（2024·山東棗莊·高三統考期末）在中，角所對的邊分別為.若.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，整理得，所以，由正弦定理得：，因為，所以，所以.（2）因為為銳角三角形，，所以，且，所以，解法，因為，所以，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以，即的取值范圍是.解法，因為，所以，得，所以，即的取值范圍是.【變式6-3】（2023·湖南永州·統考二模）記三個內角的對邊分別為，已知為銳角，．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）無最小值；【解析】（1）因為，由正弦定理得，由余弦定理可得，所以可得，解得或；又為銳角，所以，因此；（2）結合（1）中，又可得：；令，則，又為銳角，，所以，可得，所以，當時，恒成立，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 即可得為單調遞增，所以時，，所以無最值；因此無最小值.【變式6-4】（2023·重慶永川·高三重慶市永川北山中學校?？茧A段練習）在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理可得，，從而可得，，又為三角形的內角，所以，于是，又為三角形的內角，因此.（2），由可知，，，從而，因此，故的取值范圍為.【題型7與邊或周長有關的最值范圍】【例7】（2022·河南·高三專題練習）已知中，角所對的邊分別為，若，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【解析】因為，可得，即，即，可得，因為，則，所以，解得，又因為，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，即，當且僅當時等號成立.故選：C．【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習）在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，，則的最大值為（????）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，即,由正弦定理可得,即，即，因為,所以,因為,所以;由正弦定理可得,則,其中，,因為，所以,從而當時,取得最大值為，故選：A【變式7-2】（2024·廣東汕頭·金山中學校考模擬預測）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下列問題中，并解決該問題.在中，角所對的邊分別為，__________，且.求：學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （1）；（2）周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）若選①，由正弦定理得：，，，，，.若選②，，，，.若選③，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，，.（2）,，，，，，即，所以△ABC周長的取值范圍.【變式7-3】（2024·青海西寧·高三統考期末）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以，所以.因為，所以，所以.（2）由余弦定理可得，則，因為，當且僅當時，等號成立，所以，即，解得.因為，所以.綜上，的取值范圍為.【變式7-4】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯考階段練習）已知的內角的對邊分別為，且的面積為（1）求；（2）求周長的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，即，則，由，得.（2），得，由余弦定理，有，得，周長，當且僅當時取等號，所以周長的最小值為.【題型8與面積有關的最值范圍】【例8】（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）在中，內角，，的對邊分別為，，，已知該三角形的面積．（1）求角的大??；學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （2）若時，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，當且僅當時取等，因此的面積，所以當時，面積取得最大值.【變式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在銳角中，角所對應的邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以．（2）在銳角中，，記的面積為．由正弦定理得，即．所以．因為在銳角中，，所以，解得，則，故．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式8-2】（2024·上海普陀·高三?？计谀┰谥校阎謩e為的對邊，且，，（1）求滿足的表達式（2）如果，求出此時面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題設，所以，則，，又，則，所以，故，故.（2）由，故，且，由，即，故，又面積，當，即時，.【變式8-3】（2024·江西·高三校聯考期末）如圖，在△ABC中，，D為△ABC外一點，，記，.（1）求的值；（2）若的面積為，的面積為，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，即.（2）由題意知，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以，由（1）知，所以，，所以，所以當時，取得最大值，最大值為.【變式8-4】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記，，的面積分別為，，，已知，.（1）在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）（2）若為銳角三角形，求面積的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）設的內切圓半徑為r，因為，所以，化簡得：，所以，因為，所以，選擇①，因為，所以，因為，，所以，整理得，方程無實數解，所以不存在．選擇②，因為，所以，因為，所以，所以，因為，，所以，整理得，方程無實數解，所以不存在．選擇③，由得：，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以，即，所以，因為以，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的周長為．（2）由（1）知，，面積，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，，解得：，所以，所以，，，所以的取值范圍為，而面積.（建議用時：60分鐘）1．（2023·廣東深圳·高三校考期末）在平面四邊形中，，，對角線與交于點，是的中點，（1）若，求的長；（2）若，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理可得，所以，化簡得，解得，因為是的中點，所以，在中，由余弦定理可得學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 ，所以，因為，所以，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以；（2）因為，，所以，因為，所以，設，所以，即，解得，所以，在中，由余弦定理可得.2．（2024·浙江·校聯考一模）在中，內角所對的邊分別是，已知．（1）求角；（2）設邊的中點為，若，且的面積為，求的長．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由正弦定理得，，因為，所以，化簡得，，在中，由余弦定理得，，又因為，所以（2）由，得，由，得，所以．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 又因為邊的中點為，所以，所以3．（2023·湖南長沙·高三統考階段練習）已知中，．（1）求；（2）的平分線交于，求的長．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理可得，即，又為三角形內角，，.（2）由余弦定理可得，解得或（舍）又由角平分線定理有，即，解得，所以在中，由余弦定理有.4．（2023·江蘇·高三校聯考階段練習）在中，內角，，所對邊分別為，，，．（1）求的值；（2）若，，點在內部，且，，求的面積．【答案】（1）0；（2）．【解析】（1）在中，，由正弦定理可得：，∵，∴，∴，∵，∴.所以：（2）如圖：，所以在線段的中垂線上，作，，垂足分別為，.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 則，設，則中，；在中，；在中，，所以：，解得：或（舍去，因為此時點在外部）.所以.5．（2024·廣東·高三廣東實驗中學校聯考期末）在中，角所對的邊分別為邊上的高設為，且.（1）若，求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，在中，由余弦定理和可得，.，又由面積公式可知，，由得又∴，（2）由題意及（1）得，在中，.過作的垂線，且使，則，，即，得，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 ，，由，得，的取值范圍為.6．（2024·浙江紹興·高三統考期末）在中，已知．（1）若，求的值；（2）已知中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因為，得到，即，由平方關系得，整理得到，解得或.（2）因為，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，又是的中點，所以，又，得到，整理得到，又，得到，所以.7．（2024·全國·武鋼三中校聯考模擬預測）已知中，角，，所對的邊分別為.（1）求的值；（2）若為線段上一點且滿足平分，求的面積的取值范圍.【答案】（1）4；（2）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【解析】（1）由題意知，即，故，即，結合，得；（2）由于平分，故，故，而，即得,設，則，即，則，故，當，即時，取到最大值，最大值為3；又，滿足，當無限趨近于1或2時，無限趨近于0，故的面積的取值范圍為.8．（2024·山東威海·高三統考期末）在中，角所對的邊分別為記的面積為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）24【解析】（1）因為，所以，可得，因為，所以.（2）由余弦定理可知，即，因為，所以，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以，可得，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.9．（2024·湖北·校聯考模擬預測）在中，已知，D為的中點.（1）求A；（2）當時，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，即，，即.或，當時，，由，有，即時.當時，（舍）..（2）設，，由（1）及余弦定理有，即.，即，當且僅當時等號成立.由D為邊的中點有，，當且僅當時等號成立.，當且僅當時等號成立.的最大值為.10．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）記鈍角的內角的對邊分別為．若為銳角且．（1）證明：；（2）若，求周長的取值范圍．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由條件可知：，所以，因為，所以，所以，因為，所以，由正弦定理可知：.（2）因為且，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以周長的取值范圍是.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司