《福建省福州第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

福州一中2023-2024學(xué)年高三第一學(xué)期第二學(xué)段期末考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.B.C.D.3.已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為3，則等于（）A.B.C.D.4.已知正三棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為6和12，且棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺(tái)的體積為（）A.B.C.D.5.設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.6.我國(guó)油紙傘的制作工藝非常巧妙.如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動(dòng).如圖2，傘完全收攏時(shí)，傘圈已滑到的位置，且三點(diǎn)共線，為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，半圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為，則當(dāng)傘完全張開時(shí)，的余弦值是（） A.B.C.D.7.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線l與E的右支交于點(diǎn)P，Q設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別是M，N，直線OM，ON的斜率分別是，則，則雙曲線E的離心率為（）A.B.C.D.8.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為B.“”是“直線與直線平行”充要條件C.若正數(shù)a，b滿足，且，則D.已知為兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，若，則10.已知為數(shù)列前n項(xiàng)和，，若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則（） A.常數(shù)數(shù)列B.是等比數(shù)列C.為遞減數(shù)列D.是等差數(shù)列11.在三棱錐中，已知，棱AC，BC，AD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，，則（）A.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面是菱形B平面平面BCDC.異面直線AC，BD互相垂直D.三棱錐外接球的表面積為12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為4，過(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交y軸于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則（）A.B.的取值范圍為C.若，則直線l的斜率為D.有最大值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________．14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上；②離心率為；③焦距大于8．15.已知的半徑是1，點(diǎn)P滿足，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則當(dāng)___________時(shí)，取得最大值．16.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)度等于___________．四、解答題：本題共6小題，共70分，17題10分，其他小題各12分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求的大??；（2）若，直線PQ分別交AB，BC于P，Q兩點(diǎn)，且PQ把的面積分成相等的兩部分，求的最小值．18.己知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）從中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)……第項(xiàng)，按原來(lái)順序組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：；（2）試求BF的長(zhǎng)，使平面AEF與平面PCD夾角的余弦值為．20.某公司食堂每天中午給員工準(zhǔn)備套餐，套餐只有A、B、C三種，公司規(guī)定：每位員工第一天在3個(gè)套餐中任意選一種，從第二天起，每天都是從前一天沒有吃過(guò)的2種套餐中任意選一種．（1）若員工甲連續(xù)吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A”的概率；（2）設(shè)員工甲連續(xù)吃了5天套餐，其中選擇“套餐B”的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．21.己知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)E（異于A，B兩點(diǎn)）在橢圓C上，直線EA與EB的斜率之積為，橢圓C的短軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)Q是橢圓C長(zhǎng)軸上的不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作斜率不為0的直線l，l 與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P，N，若為定值，則稱點(diǎn)Q為“穩(wěn)定點(diǎn)”，問(wèn)：是否存在這樣的穩(wěn)定點(diǎn)？若有，求出所有的“穩(wěn)定點(diǎn)”；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．22.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，，且．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式恒成立（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)k的取值范圍． 福州一中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期第二學(xué)段期末考試高三數(shù)學(xué)期末考試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，根據(jù)陰影部分可求答案.【詳解】由題意圖中陰影部分為，而，，所以.故選：B.2.復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)、虛部的概念即可求解.【詳解】由題意，所以的虛部為.故選：D.3.已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為3，則 等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本量法求出和q，然后由求和公式可得.【詳解】記等比數(shù)列的公比為，由題可知，，即，解得或（舍去），所以.故選：B4.已知正三棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為6和12，且棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺(tái)的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用正三棱臺(tái)的幾何特征求出棱臺(tái)的高，再求出上下底面積，利用棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】由題意可知正三棱臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為， 設(shè)中點(diǎn)為，為下、上底面中心，連接，過(guò)作底面交于，由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以為棱臺(tái)側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，即，因?yàn)?，，所以，，所以此三棱臺(tái)的體積，故選：C5.設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由條件可知直線過(guò)定點(diǎn)，直線時(shí)，弦最短，直線l過(guò)圓心時(shí)，弦最長(zhǎng)，求解即可.【詳解】設(shè)直線為l，方程變形為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑，因?yàn)?，所以在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線時(shí)，弦最短，因?yàn)?，所以，?dāng)直線l過(guò)圓心時(shí)，弦最長(zhǎng)為，故的取值范圍為.故選：. 6.我國(guó)油紙傘的制作工藝非常巧妙.如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動(dòng).如圖2，傘完全收攏時(shí)，傘圈已滑到的位置，且三點(diǎn)共線，為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，半圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為，則當(dāng)傘完全張開時(shí)，的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先通過(guò)題意求出，再通過(guò)余弦定理求出，進(jìn)而通過(guò)倍角公式可得的值.【詳解】當(dāng)傘完全張開時(shí)，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，當(dāng)傘完全收攏時(shí)，，所以，在中，，所以.故選：A.7.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線l與E的右支交于點(diǎn)P，Q設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別是M，N，直線OM，ON的斜率分別是，則，則雙曲線E的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)確定圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，結(jié)合等量關(guān)系可得答案.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓和三邊分別相切于點(diǎn),則，又，所以，所以.設(shè)直線l的傾斜角為，則由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，所以；同理可得，所以；因?yàn)?，所以，解?故選：C.8.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為，令，求得，令，在上單調(diào)遞增，存在唯一的使得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，，，，的值和題設(shè)條件，得出，求解即可.【詳解】∵，等價(jià)于.令則，令，在上單調(diào)遞增，又由，，∴存在唯一的使得，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，又，，，，.所以當(dāng)有且僅有三個(gè)整數(shù)解時(shí)，有，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為B.“”是“直線與直線平行”的充要條件C.若正數(shù)a，b滿足，且，則 D.已知為兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，若，則【答案】CD【解析】【分析】利用投影向量的求法可判定A的正誤，利用直線平行的條件可得B的正誤，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及基本不等式可得C的正誤，根據(jù)空間位置關(guān)系可得D的正誤.【詳解】對(duì)于A，向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，A不正確.對(duì)于B，直線與直線平行，則有且，解得或，所以“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，B不正確.對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，故，C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，D正確.故選：CD.10.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則（）A.常數(shù)數(shù)列B.是等比數(shù)列C.為遞減數(shù)列D.是等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知：， 因?yàn)閿?shù)列也是等比數(shù)列，因此有，顯然既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，符合題意，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可知，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，且，可得，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，可得，根?jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的性質(zhì)可以判斷數(shù)列為遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以?shù)列是不為零的常數(shù)列，所以它是等差數(shù)列，故D正確；故選：ABD11.在三棱錐中，已知，棱AC，BC，AD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，，則（）A.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面是菱形B.平面平面BCDC.異面直線AC，BD互相垂直D.三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)，利用中位線證明平行關(guān)系與長(zhǎng)度關(guān)系得四邊形為菱形；B項(xiàng)，取CD的中點(diǎn)P，由勾股定理證明，由等腰三角形三線合一得，由線線垂直證線面垂直再證面面垂直即可；C項(xiàng)，假設(shè)垂直推證，由斜邊與直角邊關(guān)系可推出矛盾；D項(xiàng)，取的中心 ，由面面垂直性質(zhì)定理得線面垂直關(guān)系，由勾股定理得，利用球心到各頂點(diǎn)距離相等可得正三角形的中心即為球心.【詳解】選項(xiàng)A，如圖，連接EF，EG，取BD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，由F是BC的中點(diǎn)，得，，同理得，，所以，，四邊形EFHG是平行四邊形，于是過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面即為四邊形EFHG，且由E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，得，，因此，所以四邊形EFHG為菱形，故A正確；選項(xiàng)B，取CD的中點(diǎn)P，連接，由，得，由，得，又，所以，所以，又，，又平面BCD，所以平面BCD，又平面ADC，所以平面平面BCD，故B正確；選項(xiàng)C，假設(shè)，已知，且平面，所以平面，而平面，所以，所以，這與已知“”矛盾，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，取正三角形的中心，連接， 則，由于是直角三角形，CD為斜邊，則，由平面平面BCD，平面平面，由，且平面，所以平面，所以，則，所以的外心就是三棱錐的外接球球心，所以外接球半徑R就是外接圓半徑，可知，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ABD.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為4，過(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交y軸于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則（）A.B.的取值范圍為C.若，則直線l的斜率為D.有最大值【答案】BD【解析】【分析】由題意計(jì)算可得，即可得拋物線解析式，設(shè)、，，聯(lián)立曲線則可得與兩交點(diǎn)有關(guān)韋達(dá)定理，借助中點(diǎn)公式與距離公式可得以線段AB為直徑的圓的方程，令即可得、兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可得A，計(jì)算的范圍即可得的范圍即可得B，由可計(jì)算出，兩點(diǎn)具體坐標(biāo)，即可得C，由 ，借助兩角和的正切公式及所得韋達(dá)定理計(jì)算即可得D.【詳解】由在拋物線上，故有，焦點(diǎn)，又，故有，化簡(jiǎn)得，又，故，即，設(shè)、，，聯(lián)立，可得，，則，，則，，故，，則，故以線段AB為直徑的圓的方程為，令，有，故，由圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，，則，則不恒等于，故A錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則 ，令，則，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，故，故，則，故B正確；若，則有，即，由，故，解得，則，則，，故，故C錯(cuò)誤；，由，，故，則當(dāng)時(shí)，有最大值，且其最大值為，故D正確.故選：BD 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】首先將化簡(jiǎn)為，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可得到答案.【詳解】由題意可得：. 故答案為：.14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上；②離心率為；③焦距大于8．【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【解析】【分析】根據(jù)離心率可得之間的關(guān)系，結(jié)合題意取的值，即可得方程.【詳解】由題意可知：，可得，令，可得，又因?yàn)橹行脑谠c(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）.15.已知的半徑是1，點(diǎn)P滿足，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則當(dāng)___________時(shí)，取得最大值．【答案】【解析】【分析】由題意可知：，，根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合三角恒等變換整理得，再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性分析求解.【詳解】由題意可知：點(diǎn)P在以為圓心，半徑為的圓上， 因?yàn)橹本€PA與相切于點(diǎn)A，則，，可知，，又因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，則，可得，則，且，可得，可知：當(dāng)，即時(shí)，取到最大值.故答案為：.16.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)度等于___________．【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，先由平面，得在線段上，再把沿翻折到平面上，得到取得最小值時(shí)，由此求出結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接， 由正四面體性質(zhì)可得，，因?yàn)?，所以平面因?yàn)?，所以平面，?dāng)取得最小值時(shí)，平面，所以在線段上，由平面，得，，，所以，將沿翻折到平面上，如圖由題意知，，，則，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，即，所以故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，17題10分，其他小題各12分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知． （1）求的大??；（2）若，直線PQ分別交AB，BC于P，Q兩點(diǎn)，且PQ把的面積分成相等的兩部分，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互換、兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式即可求解；（2）由三角形面積公式首先得，進(jìn)一步結(jié)合基本不等式以及余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，?【小問(wèn)2詳解】由題意不妨設(shè)，由題意，所以，由余弦定理、基本不等式得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，的最小值為.18.己知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）從中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)……第項(xiàng)，按原來(lái)順序組成一個(gè)新數(shù)列 ，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由，，代入可得，化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論；（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)積為，所以，又因?yàn)椋?，化?jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，，解得：，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得,所以，故，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①②①②可得：化簡(jiǎn)可得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)． （1）求證：；（2）試求BF的長(zhǎng)，使平面AEF與平面PCD夾角的余弦值為．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，寫出向量坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積證明垂直；（2）求出平面法向量，根據(jù)線面角可求答案.【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建系如圖，,因?yàn)镋為線段PB的中點(diǎn)，所以;,;因?yàn)?所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為， ，令，則.,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，則.設(shè)平面AEF與平面PCD的夾角為，，由題意，解得，即.20.某公司食堂每天中午給員工準(zhǔn)備套餐，套餐只有A、B、C三種，公司規(guī)定：每位員工第一天在3個(gè)套餐中任意選一種，從第二天起，每天都是從前一天沒有吃過(guò)的2種套餐中任意選一種．（1）若員工甲連續(xù)吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A”的概率；（2）設(shè)員工甲連續(xù)吃了5天的套餐，其中選擇“套餐B”的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）分第一天吃的是“套餐A”和第一天吃的是“套餐B”（或“套餐C”），結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）由題意可知：X的可能取值為，結(jié)合題意求分布列和期望.【小問(wèn)1詳解】若第一天吃的是“套餐A”，則第二天吃的是“套餐B”或“套餐C”，此時(shí)的概率為；若第一天吃的是“套餐B”（“套餐C”），則第二天吃的是“套餐C”（“套餐B”），此時(shí)的概率為；所以第三天吃的是“套餐A”的概率.【小問(wèn)2詳解】 由題意可知：X的可能取值為，則有：；；；；可知X的分布列為0123所以X的期望為.21.己知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)E（異于A，B兩點(diǎn)）在橢圓C上，直線EA與EB的斜率之積為，橢圓C的短軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)Q是橢圓C長(zhǎng)軸上的不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作斜率不為0的直線l，l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P，N，若為定值，則稱點(diǎn)Q為“穩(wěn)定點(diǎn)”，問(wèn)：是否存在這樣的穩(wěn)定點(diǎn)？若有，求出所有的“穩(wěn)定點(diǎn)”；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】21.22.存在穩(wěn)定點(diǎn)，理由見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，由化簡(jiǎn)可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，又，，從而可求的表達(dá)式，即可求解. 【小問(wèn)1詳解】由題，，即，所以，，設(shè)，由可得，，化簡(jiǎn)得，又點(diǎn)滿足上式，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】存在這樣的點(diǎn)，設(shè)直線，，，，聯(lián)立，消去整理得，，，，又，，，要使上式為定值，則，故當(dāng)時(shí)，為定值，綜上，存在這樣的穩(wěn)定點(diǎn). 【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)出直線與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，又利用兩點(diǎn)間距離公式可得又，，代入運(yùn)算化簡(jiǎn)得解.22.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，，且．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式恒成立（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，由最大值大于即可解得結(jié)果；（2）根據(jù)不等式，兩邊取自然對(duì)數(shù)后，得到，結(jié)合題設(shè)得，消去后得，再通過(guò)雙變量化單變量，構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性得出.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，因，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，故在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，由，得， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)候，取得最大值.即,當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于0，趨近于負(fù)無(wú)窮，趨近于負(fù)無(wú)窮；當(dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于負(fù)無(wú)窮.所以若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即，解得，又，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，，由題知，且，即，相減得到：由不等式恒成立，則恒成立，即恒成立，所以恒成立，故恒成立，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，即恒成立.設(shè)，則時(shí)，不等式恒成立，因?yàn)?，進(jìn)而得在時(shí)恒成立， 設(shè)，，注意到.則，即，又因?yàn)榍遥瑒t，所以當(dāng)時(shí)，，即，故在單調(diào)遞增，而時(shí)，所以恒成立，故滿足題意.當(dāng)時(shí)，若，由，則在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，與題設(shè)不符綜上所述，正數(shù)k的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)及不等式恒成立的證明等知識(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、推理論證能力，本題綜合性強(qiáng)，能力要求高.