《黑龍江省齊齊哈爾市普高聯(lián)誼校2023-2024學年高三上學期12月期末考數(shù)學Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

齊齊哈爾普高聯(lián)誼校高三期末考試數(shù)學試卷考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：復數(shù)，數(shù)列立體幾何（含空間向量）占50%；集合，邏輯，不等式，函數(shù)，導數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，平面向量占50%．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.2.復數(shù)在復平面上對應的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.在等比數(shù)列中，，，則首項等于（）A.2B.1C.D.4.若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（）A.B.C.D.5.設函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減6.若函數(shù)在上單調(diào)，則取值范圍是（）A.B.C.D.7.若為函數(shù)的極值點，則函數(shù)的最小值為（） A.B.C.D.8.圣·索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，為哈爾濱的標志性建筑，被列為第四批全國重點文物保護單位.其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A.30B.60C.D.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.設向量，，則（）A.B.C.D.10.設等差數(shù)列的前n項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.最大C.D.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為偶函數(shù)D.若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則可以為12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（） A.平面平面B.的最小值為C.若直線與所成角余弦值為，則D.若是的中點，則到平面的距離為三、填空題：本題共4小題．13已知函數(shù)，則______．14.若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．15.已知，為坐標原點，點（異于點）在直線上，則________.16.已知函數(shù)圖象上相鄰兩對稱軸的距離為，則函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且的圖象所有交點的橫坐標之和為________.四、解答題：本題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前n項和.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角；（2）若，求邊上高的最大值.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點是的中點， ，．（1）求與所成角的大小；（2）求與平而所成角的正弦值．20.已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.21.如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，.（1）若是的中點，證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.22.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同零點，求的取值范圍，并證明. 齊齊哈爾普高聯(lián)誼校高三期末考試數(shù)學考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：復數(shù)，數(shù)列立體幾何（含空間向量）占50%；集合，邏輯，不等式，函數(shù)，導數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，平面向量占50%．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合A，再利用集合的交集運算求解.【詳解】由，得，解得，所以，又，所以．故選：D2.復數(shù)在復平面上對應的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】【分析】先進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，分母變成一個實數(shù)，分子進行復數(shù)的乘法運算，整理成復數(shù)的標準形式，寫出對應點的坐標，看出所在的象限.【詳解】∵復數(shù)=,∴復數(shù)對應的點的坐標是（）, ∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，故選A.3.在等比數(shù)列中，，，則首項等于（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量關(guān)系求解即可.【詳解】，，，.故選：C4.若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角公式進行計算即可.【詳解】設向量與的夾角是，則．又因，所以．故選：A．5.設函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，畫函數(shù)圖象，然后結(jié)合圖象得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，且，所以是奇函數(shù)，又，作出函數(shù)圖象如下圖：由圖知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：B6.若函數(shù)在上單調(diào)，則取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，得到，然后根據(jù)在單調(diào)求解.【詳解】解：因為，所以，因為在單調(diào)，所以，∴，故選：D.7.若為函數(shù)的極值點，則函數(shù)的最小值為（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】先由為函數(shù)的極值點求得a，再利用導數(shù)法求解.【詳解】，因為是函數(shù)的極值點，所以，則，所以，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：C8.圣·索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，為哈爾濱的標志性建筑，被列為第四批全國重點文物保護單位.其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A.30B.60C.D.【答案】D【解析】【分析】在中，利用正弦定理，得，再結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，求得， ，得解．【詳解】由題意知，，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，，所以，在中，米，所以小明估算索菲亞教堂的高度為米．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.設向量，，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示可判斷AB正誤；由向量模長坐標運算可知CD正誤.【詳解】對于A，，，A正確；對于B，，與不平行，B錯誤；對于C，，，C正確；對于D，，，D正確.故選：ACD.10.設等差數(shù)列的前n項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.最大C.D.【答案】AD【解析】【分析】由已知條件可得，然后逐個分析判斷即可 【詳解】因為，所以，得，即，則A正確.當時，，則，最小，故B錯誤.因為，所以，所以，對稱軸為，所以，則C錯誤.因為，所以D正確.故選：AD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為偶函數(shù)D.若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則可以為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用輔助角公式和周期公式即可判斷；對于B，求出后利用對稱中心點的計算即可判斷；對于C，利用偶函數(shù)的判斷標準判斷即可；對于D，根據(jù)三角函數(shù)變換法則進行變換后，利用關(guān)于軸對稱進行判斷即可.【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A正確；當時，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B正確；易知函數(shù)的定義域為，又 ，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應的函數(shù)為，由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，，即，，當時，，故D正確．故選：ABD12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.的最小值為C.若直線與所成角的余弦值為，則D.若是的中點，則到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理即可判斷A；結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征判斷當點與重合時，取最小值，即可判斷B；建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點坐標，根據(jù)空間角的向量求法可判斷C ；將線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，根據(jù)空間距離的向量求法求得點到平面的距離，即可判斷D.【詳解】在正方體中，因為平面，平面，所以平面平面，故A正確；連接，由平面，平面，得，故在中，當點與重合時，取最小值，故B正確；如圖，以、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，設，，則，，假設存在點，使直線與所成角的余弦值為，則，解得（舍去），或，此時點是中點，，故C錯誤；由且平面，平面，知平面，則到平面的距離，即為到平面的距離；是的中點，故，，，，設平面的法向量為，則，即，取，則，，故， 所以點到平面的距離為，即到平面的距離為，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共4小題．13.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】求出，代值計算可得出的值.【詳解】因為，則，故.故答案為：.14.若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，則，解得，所以．故答案為：4．15.已知，為坐標原點，點（異于點）在直線上，則________.【答案】【解析】【分析】由點（異于點）在直線上設出其坐標，然后得出向量坐標，由數(shù)量積公式和模長公式求得答案. 【詳解】點（異于點）直線上，可設，，可得，，則，且，所以，故答案為：.16.已知函數(shù)圖象上相鄰兩對稱軸的距離為，則函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且的圖象所有交點的橫坐標之和為________.【答案】4【解析】【分析】由題意可知和且的圖象關(guān)于點中心對稱，作出兩函數(shù)圖象，即可得出答案.【詳解】由題知，函數(shù)的最小正周期為，，所以，則.又，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，作出和，且的圖象如圖所示，可知兩函數(shù)圖象共有4個交點，且關(guān)于點中心對稱，將4個交點從左到右設為，，則，故這4個交點的橫坐標之和為:.故答案為：4 四、解答題：本題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的首項、公比即可作答.（2）利用分組求和法及等比數(shù)列前n項和公式求和作答.【小問1詳解】由，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，得，因此數(shù)列的公比，則，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】由（1）得，，.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角；（2）若，求邊上高的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）用正弦定理邊化角即可求解；（2）用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解. 【小問1詳解】由正弦定理及，得.因為，所以，所以，所以.因為，所以.因為，所以.【小問2詳解】由（1）及余弦定理得：，所以，所以，當且僅當時等號成立，設邊上高為，又因為，所以.即邊上高的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點是的中點，，．（1）求與所成角的大?。唬?）求與平而所成角的正弦值．【答案】19.20.【解析】【分析】（1）以為坐標原點，，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，求出、，利用可得答案； （2）求出平面的一個法向量，利用線面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】，又底面，、底面，，，故以為坐標原點，，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，所以，所以，即與所成角的大小為；【小問2詳解】由（1）知，，．設平面的一個法向量為，則，取，則，，所以是平面的一個法向量，設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．20.已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．（1）求的通項公式； （2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，用、表示及，即可求解作答；（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出、，再分奇偶求和求出即可；方法2，利用（1）的結(jié)論求出、，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是；【小問2詳解】方法1：由（1）知，，，當為偶數(shù)時，，，當為奇數(shù)時，.所以.方法2：由（1）知，，， 當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數(shù)時，..21.如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，.（1）若是的中點，證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線線垂直證明線面垂直，再證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，用向量法結(jié)合坐標運算即可求解.小問1詳解】證明：連接，因為四邊形為菱形，且，所以與為等邊三角形.又中點為，所以.因為，所以，因為平面，平面，所以. 又，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】解：連接，，設，交于點，取中點，連接，所以，底面.以為原點，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，設平面的一個法向量為，則令，得；設平面的一個法向量為，則令，得；所以，所以二面角的正弦值為.22.已知函數(shù). （1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同零點，求的取值范圍，并證明.【答案】（1）；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義計算即可；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及最值，分類討論即可判定的取值范圍，構(gòu)造差函數(shù)證明即可.【小問1詳解】當時，，易知，所以曲線在點處的切線方程為：；【小問2詳解】由已知可得，①若，則，，即在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，又時，，所以函數(shù)存在兩個零點；②若時，，顯然不符合題意；③若時，令，當時，令或，令，即在上單調(diào)遞減，和上單調(diào)遞增，函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，此時函數(shù)至多有一個零點，不符合題意；當時，，則單調(diào)遞增，至多一個零點，不符合題意；當時，令或，令， 即在上單調(diào)遞減，和上單調(diào)遞增，函數(shù)極大值為，函數(shù)極小值為，此時函數(shù)至多有一個零點，不符合題意；綜上所述，時函數(shù)有兩個零點，則一正一負，不妨令，設，令，即在R上單調(diào)遞增，所以，，故時，有，時，有，即，所以，則，又因為在上單調(diào)遞減，故，證畢.【點睛】第二問關(guān)鍵是分類討論，通過判斷單調(diào)性及極值、最值研究函數(shù)的零點個數(shù)，證明可利用構(gòu)造差函數(shù)，通過證明來判定極值點偏移問題.