《天津市第一百中學(xué)咸水沽第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2023～2024學(xué)年度高二第一學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共9題，每題5分，滿分45分）1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率為，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】解：將直線一般式方程化為斜截式方程得：，所以直線的斜率為，所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為.故選：C2.與橢圓C：共焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程先求解出焦點坐標(biāo)，然后根據(jù)定義求解出的值，結(jié)合可求的值，則雙曲線方程可求.【詳解】因為橢圓的焦點坐標(biāo)為，即，所以，記，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C.3.設(shè)，則“”是直線：和直線：平行的（） A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)求解出的值，然后分析條件和結(jié)論的推出關(guān)系判斷出屬于何種條件.【詳解】若，則有，所以或，當(dāng)時，，故重合，舍去；當(dāng)時，，滿足條件，所以，所以“”是“”的充要條件，故選：C.4.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為48的矩形截某圓錐得到橢圓C，且橢圓C與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓C在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，則下列選項中滿足題意的方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意判斷出橢圓的長軸長度乘以短軸長度等于矩形的面積，然后逐項判斷方程是否符合即可.【詳解】由題意可知：，所以，A：，不滿足；B：，不滿足；C：，滿足；D：，不滿足；故選：C. 5.向量，，，則（）A.9B.3C.1D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)先求解出的值，然后表示出的坐標(biāo)，結(jié)合坐標(biāo)下的模長計算公式求解出結(jié)果.【詳解】因，所以，所以，所以，所以，故選：A.6.雙曲線C：（，）的一條漸近線過點，，是C的左右焦點，且，若雙曲線上一點M滿足，則（）A.或B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求解出雙曲線方程，然后根據(jù)在雙曲線的左右支上進(jìn)行分類討論，由此確定出的值.【詳解】因為，，所以，所以或（舍），又因為雙曲線的漸近線過點，所以，所以，所以，所以，所以，若在左支上，，符合要求，所以，若在右支上，，不符合要求， 所以，故選：B.7.已知點，，點C為圓上一點，則的面積的最大值為（）A.12B.C.D.6【答案】D【解析】【分析】先求解出直線方程，然后將圓心到直線的距離再加上半徑作為的高的最大值，由此求解出的面積的最大值.【詳解】因為，，所以，又因為圓的方程為，所以圓心為，半徑為，所以圓上點到直線的最大距離為，所以的面積的最大值為，故選：D.8.過點的直線與橢圓交于A、B兩點，且滿足.若M為直線上任意一點，O為坐標(biāo)原點，則的最小值為（）A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】由，得點為線段的中點，然后利用點差法可求出直線的方程，則的最小值為點到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】橢圓方程.因為，則在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓總有兩個交點. 因為，即為線段的中點，設(shè)，顯然，則，，可得，則，即，所以，即直線的斜率，所以直線為，即，因為M為直線上任意一點，所以的最小值為點到直線的距離.故選：B.9.已知雙曲線（，）的左右焦點分別為，，過的直線與圓：相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則離心率為（）A.3B.C.D.2【答案】C【解析】 【分析】首先求出坐標(biāo)，設(shè)直線與圓相切于點，即可求出，，，，再由銳角三角函數(shù)得到，即可求出離心率.【詳解】圓：的圓心為，半徑，對于雙曲線，令，解得，則，設(shè)直線與圓相切于點，則，又，，，所以，所以，則，所以，即，解得或（舍去）.故選：C二、填空題（共6題，每題5分，滿分30分.）10.橢圓C：（）的焦點為，，短軸端點為P，若，則________. 【答案】【解析】【分析】先根據(jù)橢圓方程求解出的值，再根據(jù)的值求解出的值，由此求解出結(jié)果.【詳解】記坐標(biāo)原點為，因為，所以焦點在軸上，且，因為，所以，所以，所以，所以，所以，故答案為：.11.直線l過點且被圓C：截得的弦長最短，則直線l的方程為________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)圓被直線截得的弦最短時，圓心到弦的距離最大，此時圓心與定點的連線垂直于弦，利用直線的點斜式方程即可得解.【詳解】由圓的方程知圓心，半徑為，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時，圓心與的連線垂直于弦，由圓心與的連線斜率為，所以直線l的斜率為1，直線l的方程為即.故答案為：. 12.圓與圓的公共弦的長為______.【答案】【解析】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長.【詳解】將圓與圓相減可得，即兩圓的公共弦所在的直線方程為，又圓圓心到直線的距離，圓的半徑為，所以公共弦長為.故答案為：.13.如圖所示，四邊形為正方形，為矩形，且它們所在的平面互相垂直，，為對角線上的一個定點，且，則到直線的距離為________.【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因為，所以，所以，，令，， 所以，，則點到直線的距離為.故答案為：14.直線l：與有兩個不同交點，則m的取值范圍________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出直線與半圓的圖象，考慮臨界位置：直線經(jīng)過、直線與半圓相切，結(jié)合圖象求解出的取值范圍.【詳解】即為，表示圓心在原點半徑為的圓位于軸右側(cè)的部分，直線即為，過定點，在平面直角坐標(biāo)系中作出直線和半圓的圖象如下圖所示：圓與坐標(biāo)軸交于，且直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過時，此時，解得， 當(dāng)直線與圓相切時，，解得或（舍），根據(jù)圖象可知，若直線與半圓有兩個不同交點，則，故答案為：.15.已知拋物線C：的焦點為F，O為原點，點M是拋物線C準(zhǔn)線上的一動點，點A在拋物線C上，且，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件先確定點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，然后通過作關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點結(jié)合三點共線求解出線段和的最小值.【詳解】因為，所以，所以，所以，不妨取，，準(zhǔn)線，作關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點，則，所以的最小值即為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取最小值，所以的最小值為，故答案為：.三、解答題（共5題，滿分75分.）16.已知圓心為C的圓經(jīng)過點和，且圓心C在直線上， （1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過點作圓的切線，求切線方程（3）求x軸被圓所截得的弦長【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)求解出圓心和半徑，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別考慮切線的斜率存在和不存在，斜率不存在時直接分析，斜率存在時根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑完成計算；（3）先計算出圓心到軸的距離，然后根據(jù)半徑、、半弦長之間的關(guān)系求解出軸被圓所截得的弦長即可.【小問1詳解】設(shè)圓心，則，所以，解得，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為，圓心到直線的距離為，滿足條件；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為，所以切線方程為或；【小問3詳解】因為圓心到軸()的距離為，且，所以， 所以軸被圓所截得的弦長為.17.如圖，平面，，，，，（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】因為平面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，即，，又，平面，所以平面. 【小問2詳解】因為，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量可以為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】點到平面的距離.18.如圖，在三棱錐中，底面，，點D，E，N分別為棱，，的中點，M是線段的中點，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）已知點H在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長. 【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中點，連接，根據(jù)條件證明出平面平面，由此可證明平面；（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，求解出平面的法向量，然后根據(jù)直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值求解出結(jié)果；（3）設(shè)出點的坐標(biāo)，分別表示出直線的方向向量，根據(jù)方向向量夾角的余弦值求解出的長度.【小問1詳解】取中點，連接，如下圖所示：因為為中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為為中點，為中點，所以，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面.【小問2詳解】 建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，所以，設(shè)平面一個法向量為，所以，所以，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設(shè)，且，所以，所以，化簡得，解得或（舍），所以. 19.設(shè)橢圓（）的左右焦點分別為，，左右頂點分別為A，B，，.（1）求橢圓的方程；（2）已知P為橢圓上一動點（不與端點重合），直線交y軸于點Q，O為坐標(biāo)原點，若四邊形與三角形的面積之比為，求點P坐標(biāo).【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知線段長度求解出的值，然后根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；（2）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為三角形與三角形的面積比，由此得到關(guān)于的關(guān)系式，通過聯(lián)立直線與橢圓方程求得對應(yīng)坐標(biāo)，然后求解出參數(shù)值則的坐標(biāo)可求.【小問1詳解】因為，，所以，所以，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】如下圖所示： 因為四邊形與三角形的面積之比為，所以三角形與三角形的面積比為，所以，所以，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，所以，所以，，所以，解得，當(dāng)時，，，所以，所以，當(dāng)時，，，所以，所以，綜上可知，點坐標(biāo)為或.20.已知橢圓（）的長軸長是短軸長的2倍.（1）求橢圓的離心率；（2）直線過點且與橢圓有唯一公共點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求橢圓的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到，從而求出離心率；（2）由（1）可得橢圓方程為，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與橢圓方程，由得到、的關(guān)系，再求出，由利用基本不等式求出面積最大值，即可求出此時的，從而求出，即可得解.【小問1詳解】依題意，即，所以離心率【小問2詳解】由（1）可得橢圓方程為，即，直線的斜率存在且不為，設(shè)斜率為，則直線為，由，消去整理得，所以，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，解得，所以橢圓方程為，即.