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天津中學2022級高二（上）第一次月考數(shù)學試卷一?填空題（共25小題，每道題3分，共75分）1.經(jīng)過點和點的直線的斜率是____________.【答案】【解析】【分析】由兩點斜率公式即可求解.【詳解】由兩點斜率公式可得,故答案為：2.直線的傾斜角的大小為______．【答案】##【解析】【分析】首先求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系計算可得.【詳解】直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故答案為：3.已知直線斜率的取值范圍是，則的傾斜角的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】因為直線斜率的取值范圍是，所以當斜率時，傾斜角， 當斜率時，傾斜角，綜上傾斜角的取值范圍，故答案為：【點睛】本題主要考查了直線的斜率，直線的傾斜角，屬于中檔題.4.兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________.【答案】【解析】【分析】通過直線平行求出，然后利用平行線之間的距離求出結(jié)果即可．【詳解】直線與直線平行，所以，直線與直線的距離為．故答案為：．5.已知直線與直線垂直，則a等于___________.【答案】【解析】【分析】若直線與直線垂直,則，進而求解.【詳解】∵直線與直線垂直，所以,所以.故答案為：.6.過點，且斜率為2的直線的一般式方程為________________． 【答案】【解析】【分析】由點斜式寫出直線方程，再化為一般形式即可.【詳解】因為直線過點，且斜率為2，所以直線的點斜式方程為，所以直線的一般方程為．故答案為：.7.直線l過點P(1，3)，且它的一個方向向量為(2，1)，則直線l的一般式方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量求出直線斜率即可得直線方程.【詳解】因為直線l的一個方向向量為(2，1)，所以其斜率，所以l方程為：，即其一般式方程為：.故答案為：.8.過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是_______________【答案】或.【解析】【分析】分截距為0以及截距不為0兩種情況分別求解即可.【詳解】當截距為0時,滿足在兩坐標軸上的截距相等.此時設(shè)直線方程為,則,故,化簡得.當截距不為0時,設(shè)直線方程為,則.故,化簡可得.故答案為：或.【點睛】本題主要考查了根據(jù)直線的截距關(guān)系式求解直線方程的問題,需要注意分截距為0與不為0兩種情況進行求解.屬于基礎(chǔ)題.9.已知三角形的三個頂點A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在的直線方程為________. 【答案】x＋13y＋5＝0【解析】【分析】由中點坐標公式求得BC的中點坐標，再直線方程的兩點式即可得到答案.【詳解】由B(3，－3)，C(0，2)，則BC的中點坐標為，∴BC邊上中線所在直線方程為，即x＋13y＋5＝0.故答案為：.【點睛】本題考查直線方程的求法，考查中點坐標公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.經(jīng)過點，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線l的方程為_________．【答案】或【解析】【分析】分截距為零和截距不為零兩種情況求解即可.【詳解】設(shè)直線l在y軸上的截距為a，則在x軸上的截距為．當時，直線l過點，又直線l過點，故直線l的斜率，故直線l的方程為，即；當時，直線l的方程為，即，∴直線l過點，∴，∴，∴直線l的方程為．綜上可知，直線l的方程為或．故答案為：或.11.不論為何實數(shù)，直線恒過定點_________.【答案】 【解析】【分析】直線方程轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)直線系方程求解即可.【詳解】解：將直線方程轉(zhuǎn)化為，所以直線過直線與的交點，所以，聯(lián)立方程，解得所以，直線恒過定點故答案為：12.已知直線：與：平行，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行列方程，驗證后求得的值.【詳解】由于，所以，解得或.當時，兩直線方程為，兩直線重合，不符合題意.當時，兩直線方程為，兩直線平行，符合題意.綜上所述，的值為.故答案為：13.點到直線的距離為______．【答案】1【解析】【分析】直接利用點到直線的距離公式計算可得.【詳解】點到直線的距離.故答案為：14.點到直線距離的最大值為___________.【答案】【解析】 【分析】直線恒過點，根據(jù)幾何關(guān)系可得，點到直線的距離為.【詳解】解：直線恒過點，則點到直線的距離的最大值為點到點的距離，∴點到直線距離的最大值為：.故答案為：.15.已知直線，，則直線與之間的距離最大值為______.【答案】5【解析】【分析】分別求出直線，過的定點，，當與兩直線垂直時距離最大，且最大值為，由此即可求解．【詳解】直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，，當與直線，垂直時，直線，的距離最大，且最大值為，故答案為：5．16.已知圓的一條直徑的端點分別是，，則該圓的方程為________．【答案】【解析】【分析】求出圓心和半徑，即得答案. 【詳解】由題意可得該圓的圓心為的中點，即，半徑為，故該圓的方程為，股答案為：17.已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為________________.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【解析】【分析】方法一：設(shè)出圓的標準方程，代入點的坐標，建立方程組，求出答案；方法二：求出線段AB的垂直平分線方程，聯(lián)立x－2y－3＝0求出圓心坐標，進而計算出半徑，寫出圓的標準方程，化為一般方程.【詳解】方法一：設(shè)所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得:,解得：故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：線段的中點坐標為，即，直線的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為-2，所以線段AB的垂直平分線方程為，即2x＋y＋4＝0，由幾何性質(zhì)可知：線段AB的垂直平分線與的交點為圓心，聯(lián)立， 得交點坐標，又點O到點A的距離，即半徑為，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0故答案為：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.18.經(jīng)過點圓的方程為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓的一般方程為，代入點坐標，待定系數(shù)求解即可.【詳解】設(shè)圓的一般方程為，代入點可得：，解得故圓的一般方程為：故答案為：19.若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則a的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】把點的坐標代入圓的方程，把“＝”改為“＜”號，解不等式即可．【詳解】由題意，解得．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系．點與圓有三種位置關(guān)系：點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外，其判斷方法是求出點到圓心的距離然后與半徑比較．也可直接代入圓的標準方程，點為，則點在圓內(nèi)；點在圓上；點在圓外．20.在平面直角坐標系中，圓的方程為，該圓的周長為__________.【答案】【解析】 【分析】把一般方程改寫成標準方程后可求其半徑，從而可求周長．【詳解】由題設(shè)可得圓的標準方程為：，所以圓的半徑為，故周長為．故答案為：．【點睛】本題考查圓的一般方程與標準方程的互化，注意圓的一般方程中，，本題屬于基礎(chǔ)題．21.已知實數(shù)x，y滿足，那么的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合式子的幾何意義，利用點到直線的距離公式計算作答.【詳解】方程表示直線，表示該直線上的點與定點的距離，所以的最小值是點到直線的距離.故答案為：22.方程所表示的曲線是圓，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由圓的一般式方程需要滿足的條件可得，即可得解.【詳解】因為方程所表示的曲線是圓，所以，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.23.當點P在圓上運動時，連接點P與定點，則線段的中點M的軌跡方程為__________． 【答案】【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)點法，利用中點坐標即可求解.【詳解】設(shè),由中點坐標公式可得，由于在圓上運動，所以M軌跡方程為，故答案為：24.圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由題意可得直線過圓心，進而可得出的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.【詳解】將圓化為標準方程得，則圓心為，因為圓關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，則，即，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.25.數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如：與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點 之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點：對于函數(shù)，的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，表示點與點與距離之和的最小值，再找對稱點求解即可.【詳解】函數(shù)，表示點與點與距離之和的最小值，則點在軸上，點關(guān)于軸的對稱點，所以，所以的最小值為：.故答案為：.二?解答題（共5小題，每道題15分，共75分）26.在三棱臺中，若平面，分別為中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）求點到平面的距離；（4）求點到直線的距離．【答案】（1）證明見解析 （2）（3）（4）【解析】【分析】（1）連接，證明四邊形是平行四邊形，則，即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可；（4）利用向量法求解即可.【小問1詳解】連接，因為分別為中點，所以且，又因且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面法向量為，則有，可取，因為軸垂直平面，則可取平面的法向量為， 則，所以平面與平面所成角的余弦值為；【小問3詳解】，則，則點到平面的距離為；【小問4詳解】，則，故，所以點到直線的距離為．27.直三棱柱中，為中點，為中點，為中點． （1）求證：平面；（2）求直線與平面的正弦值；（3）求點到平面的距離；（4）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求證即可；（2）（3）（4）利用向量法求解即可.【小問1詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，故，因為軸垂直平面，所以可取平面的法向量為，則，所以，又平面，所以平面； 【小問2詳解】，則，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以直線與平面的正弦值為；【小問3詳解】點到平面的距離為；【小問4詳解】，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，因為軸垂直平面，則可取平面的法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為． 28.如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，．（1）求證：平面；（特別提醒：這一問建系去證給0分）（2）求二面角的正弦值；（可以開始建系了）（3）求點到直線的距離；（4）設(shè)為線段上的點，求如果直線和平面所成角的正弦值為，求的長度．【答案】（1）證明見解析（2）（3）（4）或 【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）（3）（4）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為四邊形為矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以二面角的正弦值為；【小問3詳解】，則，所以，所以點到直線的距離為；【小問4詳解】設(shè)， 則，故，解得或，所以或.29.如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，且點和分別為和的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長．【答案】（1）證明見解析 （2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；（3）設(shè)，再利用向量法求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，因為點和分別為和的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，取的中點，連接，因為，為的中點，所以，則，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取， 設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以二面角的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)，，因為平面，則即為平面的一條法向量，，則，解得（舍去），所以. 30.如圖，四棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法證明即可；（2）利用向量法求解即可；（3）設(shè)，再根據(jù)線面角利用向量法求解即可.【小問1詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，則，所以， 又平面，所以平面；小問2詳解】由（1）得即為平面的一個法向量，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，則，所以二面角的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)，則，因為軸垂直平面，則可取平面的法向量為，則，解得（舍去），所以. 【點睛】