《山西省三晉名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中階段測試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

三晉名校聯(lián)盟2023—2024學(xué)年高三年級階段性測試（期中）數(shù)學(xué)試卷考生注意1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得到，利用交集概念求出答案.【詳解】，故.故選：D2.設(shè)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】因為，所以，， 故選：B3.已知P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由向量求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).【詳解】由P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，，得，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，因此，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.故選：A4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】確定函數(shù)的定義域并判斷其奇偶性，排除部分選項，再利用在上函數(shù)值的正負(fù)判斷得解.【詳解】函數(shù)，對任意實數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，又，即函數(shù)是R上的偶函數(shù)，而是奇函數(shù)， 因此函數(shù)的定義域為R，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，選項A錯誤；當(dāng)時，，，選項BD錯誤，選項C符合要求.故選：C5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的極小值為（）A.2B.1C.0D.-1【答案】A【解析】【分析】由單調(diào)性可得，求得值，驗證求極值即可.【詳解】函數(shù)，由在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取極小值，所以有，由，得，解得，則有，由，得只有一個根，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故當(dāng)時，滿足題意，所以有極小值，且極小值.故選：A.6.在三棱錐中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若且，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A平面B.平面C.平面D.平面【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形結(jié)合選項以及相關(guān)定理進(jìn)行逐一驗證.【詳解】因為，分別為，的中點(diǎn)，所以，因為平面，平面， 所以平面，所以A正確.連接交于，連接，由是三角形的中位線可知為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以,因為平面，平面，所以平面，所以B正確.假若平面，則，這從已知條件無法得出，所以C不正確.因為，為的中點(diǎn)，所以；因為，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以；因為，，所以平面，所以D正確.故選：C.7.已知，，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化切為弦，結(jié)合，得到，因為，所以，故，求出.【詳解】，即，故，所以，所以，因為，，所以， 因為，所以，故，解得.故選：C8.已知等比數(shù)列的前項和，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可計算得公比，進(jìn)而可得，進(jìn)而對分奇偶，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于為等比數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，由得對任意的偶數(shù)成立，由于為單調(diào)遞增數(shù)列，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取最大值，故，當(dāng)為奇數(shù)時，由得對任意的奇數(shù)成立，由于為單調(diào)遞增數(shù)列，所以單調(diào)遞增，故，綜上可知：對任意，，故選:C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9.已知，若，則（）A.B.C.的最小值為8D.的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，以及基本不等式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A和B中，因為且，可得且，即，所以，且，，所以A、B正確；對于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取“”號，所以C正確；對于D中，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取“”號，所以D錯誤．故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的零點(diǎn)是D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AC【解析】【分析】先根據(jù)兩角和差的正余弦公式化簡函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項分析即可.【詳解】. 對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以不是的圖象的對稱軸，故B錯誤；對于C，由，可得，所以，所以，故C正確；對于D，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)的定義域為，的圖象關(guān)于直線對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.是偶函數(shù)B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題目分析、在上的單調(diào)性和增減性，然后討論其復(fù)合函數(shù)的增減性和奇偶性即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，的圖象關(guān)于直線對稱，通過整體向右平移一個單位，所以關(guān)于對稱，為偶函數(shù).又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.函數(shù)，則，則為在奇函數(shù).，所以在上為單調(diào)遞增. 選項A：由于.所以為偶函數(shù).故A正確.選項B：因為，由于在上為單調(diào)遞增.所以，故B錯誤.選項C：令，則，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以，故C錯誤.選項D：經(jīng)過分析，所以，D正確.故選：AD12.已知圓錐的軸截面是等邊三角形，，是圓錐側(cè)面上的動點(diǎn)，滿足線段與的長度相等，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在一個定點(diǎn)，使得點(diǎn)到此定點(diǎn)的距離為定值B.存在點(diǎn)，使得C.存在點(diǎn)，使得D.存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為【答案】BD【解析】【分析】取線段PA的中點(diǎn)C，過點(diǎn)C作平面與PA垂直，可知平面截圓錐PO所得的截口曲線是以BC為長軸的橢圓，進(jìn)而判斷選項A、B；類比平面中圓的性質(zhì)，可判斷選項C；根據(jù)三棱錐與三棱錐的體積相等，可知當(dāng)M到平面PAB的距離最大時，三棱錐體積最大，求出體積的最大值即可判斷選項D.【詳解】如圖所示，取線段PA的中點(diǎn)C，過點(diǎn)C作平面與PA垂直.依題意，有因為，所以點(diǎn)M在平而內(nèi)，再結(jié)合是等邊三角形，可知平面截圓錐PO所得的截口曲線是以BC為長軸的橢圓.對于選項A，因為點(diǎn)M的軌跡是橢圓而不是圓，所以不存在定點(diǎn)使得M到此定點(diǎn)的距離為定值，故A錯誤；對于選項B，當(dāng)點(diǎn)M與C重合時，，當(dāng)點(diǎn)M與B重合時，，則M在B與C之間運(yùn)動時，必存在的情形，即，故B正確； 對于選項C，以AB為直徑作一個球，由，可知點(diǎn)C在此球面上，從而可知點(diǎn)M的軌跡除了B，C兩點(diǎn)之外均在此球內(nèi)部.類比平面中圓的性質(zhì)，可知，故C錯誤；對于選項D，當(dāng)點(diǎn)M到平面PAB的距離最大時，點(diǎn)M恰好是其軌跡橢圓的短軸端點(diǎn).取線段BC的中點(diǎn)D，因為點(diǎn)C所在的平行于圓錐底面的圓半徑為1，點(diǎn)B所在的底面圓半徑為2，所以過點(diǎn)D作與圓錐底面平行的平面，截圓錐得到一個半徑為的圓，且點(diǎn)D到直線PO的距離.此圓與橢圓的交點(diǎn)即為橢圓的短軸端點(diǎn)M，此時，則三棱錐的體積的最大值為，即存在點(diǎn)M，使得三棱錐的體積為，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)PM與AM長度相等，所以作過PA中點(diǎn)C且與PA垂直的平面，得到截口曲線為橢圓，且點(diǎn)M在橢圓上，并結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征及橢圓的定義進(jìn)行解題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.一個正四棱臺的下底面周長與上底面周長之差為16，且其側(cè)面梯形的高為，則該正四棱臺的高為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺的幾何性質(zhì)即可根據(jù)勾股定理求解.【詳解】如圖：在正四棱臺,分別為側(cè)面上的高以及棱臺的高， 設(shè)棱臺的上下底面的邊長分別為，則，在等腰梯形中，，所以，故棱臺的高為，故答案為：14.記等比數(shù)列的前項和為，已知，且，寫出滿足條件的一個的通項公式：____________.【答案】（或者）【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解首項和公比，即可求解.【詳解】由可知公比不為1，所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以，故答案為：（或者）15.已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，且在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是_________. 【答案】【解析】【分析】由，求出，再結(jié)合余弦型函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行列不等式即可.【詳解】解：依題意得，，得，因為，所以，則，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，則，解得，則的取值范圍是.故答案為：16.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個不相等的實數(shù)根、、、，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，根據(jù)方程的根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有4個不同的公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得m范圍，以及、、、之間的關(guān)系及對應(yīng)范圍，即可求解. 【詳解】由的解析式作出的大致圖象，如圖所示：方程有4個不等實數(shù)根等價于的圖象與直線有4個不同的公共點(diǎn)，則，不妨令，則由圖可知，，，所以，，由，得.所以，設(shè)，則，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求A；（2）若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用余弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，再結(jié)合余弦定理和，可求出角； （2）由結(jié)合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由結(jié)合余弦定理得，兩式結(jié)合化簡可證得結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，所以由余弦定理得，所以，得，因為，所以，得，所以由余弦定理得，因為，所以；【小問2詳解】證明：因為，所以，化簡整理得，，解得或（舍去），所以由余弦定理得，所以，因為，所以由余弦定理得，整理得，所以，所以，得，所以.18.記正項數(shù)列前項和為，已知.（1）求； （2）若，數(shù)列的前項和為，求的值.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）利用以及等差數(shù)列相關(guān)知識可解；（2）分奇偶進(jìn)行求和，奇數(shù)項可以利用等差數(shù)列的前n項和公式求解，偶數(shù)項利用裂項相消法求解，再相加即可.【小問1詳解】因為，所以，將上述兩式相減得：，由于是正項數(shù)列，當(dāng)時，，因為，所以或(舍去)，所以，所以可得：，故數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以；【小問2詳解】因為，結(jié)合（1）的結(jié)論可得，.19.如圖，在四棱錐中，平面，，. （1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）延長，交于點(diǎn)，利用線面平行的判定，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)推理即得.（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作射線，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】如圖，延長，交于點(diǎn)，由，得為正三角形，又，則為的中位線，因此，而平面平面，所以平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)作射線，由平面，得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為， 則，所以直線與平面所成角的正弦值是.20.如圖，已知平行六面體中，，，為，的交點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進(jìn)而可證明面面垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角求解即可.【小問1詳解】由于，，平面，所以平面，又平面，所以，，平面，所以平面,又平面，所以平面平面【小問2詳解】又（1）知平面平面，且兩平面交線為,,平面，所以平面，同理可得平面，因此兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，可得,則 ,設(shè)平面,的法向量分別為，所以取，則，取，則，設(shè)二面角的平面角為為銳角，所以，故二面角的余弦值為21.已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，且.（1）若，求數(shù)列的前項和；（2）若，求的最大值.【答案】21.22.【解析】【分析】（1）首先由遞推關(guān)系結(jié)合得到，再利用分組求和的方法求前n項和； （2）首先利用將原式化簡為，再構(gòu)造函數(shù)，利用作差法判斷函數(shù)的增減性，進(jìn)而可得最大值.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以有，得：，所以，即，當(dāng)時，，所以，不滿足上式，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，綜上：.【小問2詳解】當(dāng)時，，所以，所以，即，令，則，令，解得，由于數(shù)列中的是正整數(shù)，所以可得，，，， 綜上：.22.已知函數(shù).（1）若單調(diào)遞增，求的值；（2）設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，求證：.【答案】（1）1（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立，分離參數(shù)法可求；（2）由是方程的兩個實數(shù)根，化簡得，，兩式作和與差，消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明，整體換元，轉(zhuǎn)化變形為的證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可．【小問1詳解】，，則，由單調(diào)遞增，則，即，則有恒成立，當(dāng)時，對任意都成立；當(dāng)時，，則恒成立，設(shè)，則為減函數(shù)，當(dāng)時，則，且，所以；當(dāng)時，，則恒成立，由為減函數(shù)，當(dāng)時，則，且，所以；綜上所述，；【小問2詳解】 方程，所以，則有，且，由，得．要證，只要證明，即證，記，則，，因此只要證明，即．記，，令，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，則，即，則在上單調(diào)遞增，，即成立，．【點(diǎn)睛】多變量導(dǎo)數(shù)題核心思想是不變的——消元，消元的方法有很多，在雙變量問題中可以差值比值代換，主元法，構(gòu)造函數(shù)等等.這些方法同樣適用于多變量，在三變量消元時也可以考慮先忽略一個變量，將三變量轉(zhuǎn)化成雙變量問題.