《四川省瀘州市合江縣馬街中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

馬街中學(xué)2023年秋期高二第三學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（????）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線方程運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為，即，即，可得，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：D.2.某社區(qū)為迎接2022農(nóng)歷虎年，組織了慶祝活動(dòng)，已知參加活動(dòng)的老年人、中年人、青年人的人數(shù)比為12：15：13，如果采用分層抽樣的方法從所有人中抽取一個(gè)80人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)抽取的青年人的人數(shù)為（）A.20B.22C.24D.26【答案】D【解析】【分析】由分層抽樣抽樣比可得答案.【詳解】由分層抽樣可知，抽取青年人人數(shù)為.故選：D．3.已知兩直線，平行，則的值是（）A.7B.0或7C.D.7或【答案】B 【解析】【分析】根據(jù)直線平行可得關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】解得：或本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線的位置確定參數(shù)范圍，關(guān)鍵是明確直線的斜率和截距所處的范圍.4.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，那么另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式可直接求解．【詳解】因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是2，即所以平均數(shù)為【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題型.5.圓與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.2B.1C.0D.與m有關(guān)【答案】A【解析】【分析】求出直線過(guò)定點(diǎn)，判斷出定點(diǎn)在圓內(nèi)可得答案.【詳解】把直線化為，令，，解得，直線過(guò)定點(diǎn)，把代入，說(shuō)明定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓必有2個(gè)交點(diǎn).故選：A. 6.若橢圓的離心率是，則雙曲線的離心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用與表示出橢圓的離心率并且結(jié)合橢圓離心率的數(shù)值求出，接著利用，表示出雙曲線的離心率，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：由題意得橢圓的離心率，所以．所以．所以雙曲線的離心率．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7.在平行六面體中，，，，，，，則的長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知求的長(zhǎng).【詳解】如下圖， ，則，所以，又，，所以.故選：B8.已知定直線l的方程為，點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓的一條切線，是切點(diǎn)，C是圓心，若面積的最小值為，則此時(shí)直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為（）A.B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得直線l的方程為，再求出圓C的圓心坐標(biāo)與半徑，由面積的最小值為求得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解k，可得直線l的方程，進(jìn)一步求得直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值．【詳解】解：由題意可得直線l的方程為，圓C的圓心，半徑為1，如圖： ，又，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，可得，，則，解得，則直線l的方程為，則直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線（不同時(shí)為0），則（）A.當(dāng)時(shí)，與軸垂直B.當(dāng)時(shí)，與軸重合C.當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，的傾斜角為銳角【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線方程的特征一一分析即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)直線（），即，表示與軸平行（重合）的直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)直線，即，即與軸重合，故B正確； 對(duì)于C：當(dāng)時(shí)直線，此時(shí)滿足方程，即過(guò)原點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)直線，即，斜率，所以的傾斜角為鈍角，故D錯(cuò)誤；故選：BC10.已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸，軸上進(jìn)行討論，根據(jù)條件求出即可【詳解】由于焦點(diǎn)在直線上，則當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，令，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，所以拋物線的方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，令，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，所以拋物線的方程為：，故選：BC.11.已知空間中三點(diǎn)、、，則下列結(jié)論不正確的有（）A.與是共線向量B.的單位向量是C.與夾角余弦值是 D.平面的一個(gè)法向量是【答案】ABC【解析】【分析】利用共線向量的坐標(biāo)關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用單位向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用法向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，因?yàn)?，則、不共線，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，的單位向量為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，與夾角的余弦值是，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)為平面的法向量，則，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，D對(duì).故選：D.12.已知雙曲線下焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在雙曲線的一條漸近線上存在一點(diǎn)M使是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若點(diǎn)M與雙曲線上頂點(diǎn)的連線交雙曲線的下支于點(diǎn)N，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C.點(diǎn)N在圓內(nèi)D.的大小為45°【答案】BD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)M在上，可得與垂直，可判斷AB錯(cuò)誤；雙曲線的上頂點(diǎn)設(shè)為 ，直線和雙曲線方程聯(lián)立可得，由軸，，，，可判斷CD..【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在上，因?yàn)槭且訫為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以與垂直，，且，所以漸近線方程為，，故A錯(cuò)誤，B正確；由題意，雙曲線的上頂點(diǎn)設(shè)為，所以直線：和雙曲線方程聯(lián)立，可得，所以軸，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以N在圓上.故選：BD.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】2【解析】【分析】由雙曲線的虛軸長(zhǎng)的定義可得.【詳解】雙曲線方程為，所以，所以虛軸長(zhǎng)為.故答案為：2.14.已知，，人進(jìn)行射擊比賽，且，，一次射擊命中環(huán)的概率分別為，， ，若他們每人射擊一次，則至少有人命中環(huán)的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式直接求解.【詳解】人中至少有人命中環(huán)即人命中環(huán)或人命中環(huán)，故所求概率，故答案為：.15.已知直線：12x－5y＝3與圓x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.【答案】4【解析】【分析】首先求圓心到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圓心坐標(biāo)為(3，4)，半徑r＝3，所以圓心到直線12x－5y＝3的距離d＝＝1，則|AB|＝2＝4.故答案為：16.已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，對(duì)給定的點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離最短、配方法進(jìn)行求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以有，∴，故，∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，可取得最小值，此時(shí)， 設(shè)，由得∴∵，∴當(dāng)時(shí)，，故的最小值為16．故答案為：16．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用兩點(diǎn)間線段最短，結(jié)合配方法是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.（1）求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在中，求邊上高線所在直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出線段中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)得為線段中點(diǎn)，從而利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組求解即可；（2）通過(guò)直線垂直求出高線的斜率，代入點(diǎn)斜式直線公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為， 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行四邊形性質(zhì)得為線段中點(diǎn)，有，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以邊上的高線所在直線的斜率為，又，故邊上的高線所在直線的方程為，即為.18.為了解我市高三學(xué)生參加體育活動(dòng)的情況，市直屬某校高三學(xué)生500人參加“體育基本素質(zhì)技能”比賽活動(dòng)，按某項(xiàng)比賽結(jié)果所在區(qū)間分組：第1組：，第2組：，第3組：，第4組：，第5組：，得到不完整的人數(shù)統(tǒng)計(jì)表如下：比賽結(jié)果所在區(qū)間人數(shù)5050a150b其頻率分布直方圖為： （1）求人數(shù)統(tǒng)計(jì)表中的a和b的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該項(xiàng)比賽結(jié)果的中位數(shù)；（3）用分層抽樣的方法從第1，2，3組中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加上一級(jí)比賽活動(dòng)，求參加上一級(jí)比賽活動(dòng)中至少有1人的比賽結(jié)果在第3組的概率.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出比賽結(jié)果在及內(nèi)的頻率即可得解；(2)利用頻率分布直方圖求中位數(shù)的方法計(jì)算即得；(3)求出第1，2，3組中各抽的人數(shù)，再用列舉法即可求出概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，比賽結(jié)果在內(nèi)的頻率為：，則，比賽結(jié)果在內(nèi)的頻率為：，則，所以人數(shù)統(tǒng)計(jì)表中的a和b的值分別為200，50；（2）由頻率分布直方圖知，比賽結(jié)果在內(nèi)的頻率為0.2，比賽結(jié)果在內(nèi)的頻率為0.6，則中位數(shù)應(yīng)在內(nèi)，所以估計(jì)該項(xiàng)比賽結(jié)果的中位數(shù)為：；（3）因第1，2，3組的頻率分別為0.1，0.1，0.4，則利用分層抽樣在第1，2，3組中抽的人數(shù)比為，于是得抽取的6人中，第1組抽取1人，第2組抽取1人，第3組抽取4人，記第1組抽取的1位同學(xué)為A，第2組抽取的1位同學(xué)為B，第3組抽取的4位同學(xué)為，，，，則從6位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有：，，，，，，，，，，，，，，，共有15種等可能結(jié)果，其中2人比賽結(jié)果都不在第3組的有：，共1種可能， 所以至少有1人比賽結(jié)果在第3組的概率為.19.已知雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線l與雙曲線的一支交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程即可得，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程為并于雙曲線聯(lián)立，利用交點(diǎn)位置限定出的取值范圍，表示出關(guān)于的表達(dá)式即可求得其取值范圍．【小問(wèn)1詳解】由漸近線方程為，所以，右頂點(diǎn)為，所以，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．小問(wèn)2詳解】如下圖所示：根據(jù)題意易知，直線斜率存在，并設(shè)直線l的方程為，設(shè)， 則聯(lián)立直線和雙曲線消去可得．因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于兩點(diǎn)，所以，解得，因此．因?yàn)?，所以，所以，所以，故?0.如圖，在直四棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．（1）證明：．（2）若二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示證明即可； （2）求出平面，平面的法向量，利用向量夾角公式列出關(guān)于的方程，求解即可．【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．因?yàn)椋?，所以，故．【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．易得平面的一個(gè)法向量為．，解得（舍去）．故的值為．21.橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的斜率. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，先得，再由得，即可求得橢圓的方程；（2）易知直線斜率存在，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，由韋達(dá)定理可得和，根據(jù)為直角可得，代入即可求得斜率的值.【小問(wèn)1詳解】由題，橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，又，所以，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題，過(guò)點(diǎn)滿足題意的直線斜率存在，設(shè)，聯(lián)立，，消去得，，令，解得.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，因?yàn)闉橹苯侨切危瑒t為直角，所以，即， 所以，所以，解得.22.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，、是離心率為的橢圓S的焦點(diǎn).（1）求橢圓S的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線和，，與橢圓S交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓S交于M、N兩點(diǎn).求證：原點(diǎn)O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及橢圓的離心率可求出橢圓方程；（2）先根據(jù)橢圓的對(duì)稱性以及平面幾何知識(shí)證明原點(diǎn)O到直線AM和到直線BN的距離相等，然后設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系和點(diǎn)到直線距離公式可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】化拋物線C：的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，即C：.得拋物線C的焦點(diǎn)，設(shè)橢圓S的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c.則由題意得，，得.∴，又橢圓S的焦點(diǎn)在y軸上.∴橢圓S的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：由題意知A、O、B共線，M、O、N共線，且，又由橢圓的對(duì)稱性，知，.∴四邊形AMBN為菱形，且原點(diǎn)O為其中心，AM、BN為一組對(duì)邊.∴原點(diǎn)O到直線AM和到直線BN的距離相等下面求原點(diǎn)O到直線AM的距離. 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限.當(dāng)直線AM的斜率為零或不存在時(shí)，四邊形AMBN為正方形，直線AB和直線MN的方程分別為和，且軸或軸.設(shè)，則或.于是，有，得.原點(diǎn)O到直線AM的距離為.當(dāng)直線AM的斜率存在且不等于零時(shí)，設(shè)AM：.由，消去并整理得，且.設(shè)，，則，，∴.由，得，即，得，滿足.∴原點(diǎn)O到直線AM的距離為.∴原點(diǎn)O到直線BN的距離也為.綜上所述，原點(diǎn)O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值.