《四川省合江縣馬街中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

馬街中學(xué)高2022級高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求斜率，再求傾斜角.【詳解】直線斜率，所以傾斜角為150°.故選：C2.直線在軸和軸上的截距分別為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分別取和計算得到答案.【詳解】直線，當(dāng)時，；當(dāng)時，，直線在軸和軸上的截距分別為，.故選：B.3.下列試驗是古典概型的是（）A.種下一粒大豆觀察它是否發(fā)芽B.從規(guī)格直徑為（2500.6）mm的一批產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑C.拋一枚硬幣，觀察其正面或反面出現(xiàn)的情況D某人射擊中靶或不中靶【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)古典概型的定義判斷．【詳解】只有Ｃ具有古典概型兩特點.【點睛】本題考查古典概型的定義，在這個型下，隨機實驗所有可能的結(jié)果是有限的，并且每個基本結(jié)果發(fā)生的概率是相同的．4.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)A.有相同起點的向量B.等長向量C.共面向量D.不共面向量【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合空間向量的運算法則可得，據(jù)此可知，，三向量共面．【詳解】如圖所示，因，而，，即由于與不共線，所以，，三向量共面．本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則，向量共面的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5.某班統(tǒng)計一次數(shù)學(xué)測驗成績的平均分與方差，計算完畢才發(fā)現(xiàn)有個同學(xué)的分?jǐn)?shù)還未錄入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分別為，，新平均分和新方差分別為，，若此同學(xué)的得分恰好為，則（）A.，B.，C.，D.， 【答案】C【解析】【分析】利用平均數(shù)和方差的公式即可求解.【詳解】設(shè)這個班有n個同學(xué)，分?jǐn)?shù)分別是，，，…，，第i個同學(xué)的成績沒錄入，第一次計算時，總分是，方差；第二次計算時，，方差，故.故選：C.6.已知，則直線通過（）象限A.第一、二、三B.第一、二、四C.第一、三、四D.第二、三、四【答案】A【解析】【分析】將直線化為斜截式，進而通過斜率和縱截距的范圍得到直線所過的象限.【詳解】由題意，直線，因為，所以，所以直線過第一、二、三象限.故選：A.7.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡曲線為，再由直線恒過定點 ，結(jié)合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.【詳解】由曲線，可得，又由直線，可化為，直線恒過定點，作出曲線與直線的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得，所以，當(dāng)直線與曲線相切時，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.已知，是橢圓的兩個頂點，直線與直線相交于點，與橢圓相交于，兩點，若，則斜率的值為（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件先求出橢圓的方程和的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，由此求解出的橫坐標(biāo)，再結(jié)合向量共線以及在直線上分別求解出點橫坐標(biāo)，根據(jù)橫坐標(biāo)相等可求出的值. 【詳解】由題可知，橢圓的方程為，直線，的方程分別為，.設(shè)，，，其中，聯(lián)立，故.由，得.由點在直線上，得，所以或.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是對于題設(shè)中點的坐標(biāo)的表示，其中在直線上也在直線上是求解出的值的重要條件.二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上面的點數(shù).用x表示紅色骰子的點數(shù)，用y表示綠色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗的結(jié)果.定義事件為“”，事件為“為奇數(shù)”，事件為“”，則下列結(jié)論正確的是（）A.與互斥B.與對立C.D.與相互獨立【答案】AD【解析】【分析】利用對立事件、互斥事件、相互獨立事件的定義直接求解．【詳解】解：定義事件：“”，事件“為奇數(shù)”，事件“”，對于A，事件：“”包含的基本事件有：，，，，，，事件“為奇數(shù)”，包含的基本事件有： ，，，，，，與不能同時發(fā)生，是互斥事件，故A正確；對于B，與不能同時發(fā)生，能同時不發(fā)生，不是對立事件，故B錯誤；對于C，的所有可能結(jié)果如下表：123456123456（C），，，故C錯誤；對于D，（A），（C），，（A）（C），與相互獨立，故D正確．故選：AD．10.已知是空間的一個基底，則下列說法正確的是（）A.存在不全為零的實數(shù)x，y，z，使得B.對空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得C.在，，中，能與，構(gòu)成空間另一個基底的只有D.不存在另一個基底，使得【答案】BC【解析】【分析】若成立則不能構(gòu)成空間的基底，A錯誤，根據(jù)基底的定義知B正確，排除， ，再確定能夠得到C正確，舉反例得到D錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：若存在不全為零的實數(shù)x，y，z，使得，則不能構(gòu)成空間的基底，錯誤；對選項B：是空間的一個基底，故對空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，正確；對選項C：，，和不能與，構(gòu)成空間另一個基底，設(shè)，則，則，故能與，構(gòu)成空間另一個基底，正確；對選項D：表示以為頂點，以為相鄰三邊的長方體對角線向量，繞此對角線長方體旋轉(zhuǎn)，基底變成了另一基底，滿足，錯誤；故選：BC11.已知橢圓M：（）的左?右焦點分別為，，若橢圓M與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C，D四點，且從，，A，B，C，D這六點中，可以找到三點構(gòu)成一個等邊三角形，則下列選項中可以是橢圓M的離心率的有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】對所有可能的等邊三角形分類討論，得的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】不妨設(shè)為長軸端點，為短軸端點，已知關(guān)于原點對稱，，關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱，相應(yīng)的三角形只取其中一個即可；首先可能是等邊三角形，因為，所以，此時 不可能是等邊三角形，不合題意；若為等邊三角形，則，所以選項B有可能;若為等邊三角形，則,所以選項A有可能;若為等邊三角形，則；綜上可知，可以是橢圓M的離心率的有選項A和B.故選：AB.12.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列四個結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）A.圖形關(guān)于軸對稱B.曲線恰好經(jīng)過6個整點（即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）C.曲線上存在到原點的距離超過的點D.曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3【答案】ABD【解析】【分析】將換成方程不變，得到圖形關(guān)于軸對稱，根據(jù)對稱性，分類討論，逐一判定，即可求解.【詳解】對于A，將換成方程不變，所以圖形關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，當(dāng)時，代入可得，解得，即曲線經(jīng)過點，當(dāng)時，方程變換為，由，解得，所以只能取整數(shù)，當(dāng)時，，解得或，即曲線經(jīng)過，根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過，故曲線一共經(jīng)過6個整點，故B正確； 對于C，當(dāng)時，由可得，（當(dāng)時取等號），，，即曲線上軸右邊的點到原點的距離不超過，根據(jù)對稱性可得：曲線上任意一點到原點的距離都不超過，故C錯誤；對于D，如圖所示，在軸上圖形的面積大于矩形的面積：，軸下方的面積大于等腰三角形的面積：，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于，故D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，以及曲線與方程的應(yīng)用，其中解答中合理利用圖形的對稱性，逐一判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.為估計池塘中魚的數(shù)量，負(fù)責(zé)人將條帶有標(biāo)記的同品種魚放入池塘，幾天后，隨機打撈條魚，其中帶有標(biāo)記的共5條.利用統(tǒng)計與概率知識可以估計池塘中原來有魚________條.【答案】【解析】【分析】設(shè)池塘中原來有魚條，由帶標(biāo)記的魚和總的魚比例相同列等式求解即可.【詳解】由題意，設(shè)池塘中原來有魚條，則由比值相同得，解得，故答案為：350【點睛】本題主要考查古典概型的應(yīng)用，屬于簡單題. 14.已知，，分別是平面α，β，γ的一個法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有________對．【答案】0【解析】【分析】由數(shù)量積公式判斷即可.【詳解】因為，，，所以中任意兩個都不垂直，即α，β，γ中任意兩個都不垂直．故答案為：015.直線與圓相交于、兩點，若,則_________．（其中為坐標(biāo)原點）【答案】【解析】【分析】取MN的中點A，連接OA，則OA⊥MN，先求出O點到直線MN的距離，再求出∠MON，再由數(shù)量積公式即可求出答案.【詳解】解：取MN的中點A，連接OA，則OA⊥MN，∵c2=a2+b2，∴O點到直線MN的距離，x2+y2=16的半徑r=4，∴在直角三角形△AON中,設(shè)∠AON=θ,得，∠MON==，由此可得：.故答案為：. 16.設(shè)橢圓的兩焦點為，.若橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率e的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)橢圓性質(zhì)和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.【詳解】設(shè)，，則，，即，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，即，.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.甲乙兩人各有個材質(zhì)、大小、形狀完全相同的小球，甲的小球上面標(biāo)有 五個數(shù)字，乙的小球上面標(biāo)有五個數(shù)字.把各自的小球放入兩個不透明的口袋中，兩人同時從各自的口袋中隨機摸出1個小球.規(guī)定：若甲摸出的小球上的數(shù)字是乙摸出的小球上的數(shù)字的整數(shù)倍，則甲獲勝，否則乙獲勝.(1)寫出基本事件空間；(2)你認(rèn)為“規(guī)定”對甲、乙二人公平嗎？說出你的理由.【答案】（1）見解析（2）規(guī)定是不公平的（理由見解析）.【解析】【分析】（1）由題意易求得基本事件空間.（2）分別求出甲、乙各自獲勝概率，若概率相等，則“規(guī)定”對甲乙二人公平；若概率不相等，則“規(guī)定”對甲乙二人不公平.【詳解】（1）用表示發(fā)生的事件，其中甲摸出的小球上的數(shù)字為，乙摸出的小球上的數(shù)字為.則基本事件空間：（2）由（1）可知，基本事件總數(shù)個，設(shè)甲獲勝的事件為，它包括的基本事件有，共含基本事件個數(shù)個.所以.因此乙獲勝的概率為，即乙獲勝的概率大，這個規(guī)定是不公平的.18.如圖，四棱錐P-ABCD中，為正三角形，ABCD為正方形，平面平面ABCD，E?F分別為AC?BP中點. （1）證明：平面PCD；（2）求直線BP與平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）證明過程見解析；（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到線線平行，從而得到線面平行；（2）先做出輔助線，證明線面垂直和線線垂直，進而建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量進行求解線面角.【小問1詳解】連接BD，因為E是AC的中點，故對角線AC，BD相交于點E，即E為BD的中點，又因為F是BP的中點，所以EF是三角形PBD的中位線，所以EFDP，因為PD平面PBD，EF平面PBD，所以平面PCD【小問2詳解】取AB的中點O，連接OP，取CD中點H，連接OH，因為為正三角形，所以由三線合一知：OP⊥AB，因為平面平面ABCD，交線為AB，所以O(shè)P⊥平面ABCD，又四邊形ABCD為正方形， 故OH，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OP，OB，OH所在直線分別為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a，則，設(shè)平面ACP的法向量為，則，令得：，則，設(shè)直線BP與平面PAC所成角為，則所以直線BP與平面PAC所成角的正弦值為19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知四點．（1）這四點是否在同一個圓上？如果是，求出這個圓的方程；如果不是，請說明理由；（2）以線段為直徑作圓，過點作圓的切線，求切線的方程． 【答案】（1）在，；（2）或﹒【解析】【分析】(1)設(shè)出經(jīng)過，，三點的圓的方程，將三點代入解方程，求出，，的值，再將點坐標(biāo)代入即可得出結(jié)論；(2)求出以線段為直徑的圓的方程，設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求解即可．小問1詳解】設(shè)經(jīng)過，，三點的圓的方程為，∴，解得，，，∴經(jīng)過，，三點的圓的方程為，由于，故點也在這個圓上，因此，四點，，，都在圓上．【小問2詳解】以線段為直徑作圓，圓心，半徑為：1，過點作圓的切線，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為：，即可得：，解得，當(dāng)切線的斜率不存在時，也滿足題意，∴切線方程：或．20.已知橢圓（）的離心率為，短軸長為2，直線與橢圓C交于A、B兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在實數(shù)k，使得點在線段的中垂線上？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.【答案】（1） （2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的基本量的關(guān)系求解即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，設(shè)，，可得韋達定理，從而得到的中點坐標(biāo)為，再根據(jù)垂直直線的斜率之積為-1列式求解即可【小問1詳解】依題意有解得，.∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】假設(shè)在線段的中垂線上，聯(lián)立消去y得.設(shè)，，則，.∴.∴的中點坐標(biāo)為.∴，∴，即，解得.∴存在時，點在線段的中垂線上. 21.已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點.【解析】【分析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過C作，再以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面， 而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因，，則，假設(shè)在線段上存在符合要求的點P，設(shè)其坐標(biāo)為，則有，設(shè)平面的一個法向量，則有，令得，而平面的一個法向量，依題意，，化簡整理得：而，解得，所以在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點，使平面和平面 所成角的余弦值為.22.設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點、，求證：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由離心率為，得，再根據(jù)圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為，得到點在橢圓上，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）先證明當(dāng)過點與圓相切的切線斜率不存在時，，再證明當(dāng)過點與圓相切的切線斜率存在時，，即得證．【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，由題知，，橢圓的方程為，解得，點在橢圓上，，解得，，橢圓的方程為．證明：（2）當(dāng)過點與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線的方程為，由（1）知，，，，，，， 當(dāng)過點與圓相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為，，，，，，即，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，，得△，且，，，，，，，，綜上所述，圓上任意一點、、處的切線交橢圓于點，都有．【點睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系和定值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題．