《重慶市楊家坪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期九月測(cè)試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

重慶市楊家坪中學(xué)高2025屆高二（上）九月測(cè)試數(shù)學(xué)試題（滿分150分，時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂思.如簡(jiǎn)改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線=平行的直線方程式（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意利用點(diǎn)斜式求直線的方程．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程式為，即，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程,考查直線與直線平行條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2.過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線的垂直可得出斜率得關(guān)系，即可點(diǎn)斜式得出直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率， 所以過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為，即.故選：B3.若，，為兩兩垂直的三個(gè)空間單位向量，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積性質(zhì)即可求解.【詳解】依題意得，，；所以，故選：B.4.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動(dòng)，類似今日的踢足球活動(dòng).已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P?A?B?C，其中平面，，則該球的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而得到三棱錐的外接球即為以為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體的外接球，求出長(zhǎng)方體體對(duì)角線的長(zhǎng)，得到該球的半徑和體積.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又?所以兩兩垂直，所以三棱錐的外接球即為以為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體的外接球，即該球的直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，所以該球的半徑?，體積為.故選：C5.如果，那么直線不經(jīng)過(guò)的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】C【解析】【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可.【詳解】由可得，,所以直線的斜率縱截距，所以直線經(jīng)過(guò)一、二、四象限，故選:C6.在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可. 【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D7.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可. 【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.8.若，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合余弦函數(shù)的值域求出直線斜率的范圍，再利用斜率的定義求解作答.【詳解】直線的斜率，顯然此直線傾斜角，因此或，解得或，所以直線的傾斜角的取值范圍為.故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.正方體的截面可能是A.鈍角三角形B.直角三角形C.菱形D.正六邊形【答案】CD【解析】【分析】如圖所示截面為三角形ABC，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，應(yīng)用余弦定理，證明是銳角三角形；如圖，取相對(duì)棱的中點(diǎn)和相對(duì)頂點(diǎn)，得到的四邊形是菱形；正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，如圖為正六邊形．【詳解】 如圖所示截面為三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，∴，∴∴∠CAB為銳角，同理∠ACB與∠ABC也為銳角，即△ABC為銳角三角形，∴正方體的截面若是三角形，則一定是銳角三角形，不可能是鈍角三角形和直角三角形，A、B錯(cuò)誤；若是四邊形，則可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C正確；正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，如圖為正六邊形，故若是六邊形，則可以是正六邊形，D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查正方體截面問(wèn)題，考查空間想象能力，屬于中等難度.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為B.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是C.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為D.直線必過(guò)定點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A,根據(jù)兩點(diǎn)式直線方程的使用條件判斷即可;對(duì)于B,求出直線分別在軸和軸上的截距,再用三角形面積公式求解即可;對(duì)于C,設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,列方程組求解即可;對(duì)于D,將直線可轉(zhuǎn)化為即可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)或時(shí),不存在選項(xiàng)中的兩點(diǎn)式直線方程,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,直線在軸上的截距為,在軸上的截距為,所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是,故B正確;對(duì)于C,設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為, 則,解得,即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,直線可轉(zhuǎn)化為,過(guò)定點(diǎn),故D正確.故選:BD.11.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)在同一平面內(nèi)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離可能為（）A.2B.3C.4D.5【答案】BCD【解析】【分析】利用等體積法計(jì)算點(diǎn)到平面BDE的距離d，則點(diǎn)到點(diǎn)P的距離可能值大于等于d，再結(jié)合選項(xiàng)即可.【詳解】連接，如圖，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，則E也為的中點(diǎn).由題意，，且，故四邊形為平行四邊形，故， 故又，故，設(shè)點(diǎn)到平面BDE的距離為d，則，解得，又點(diǎn)P與點(diǎn)B，D，E在同一平面內(nèi)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于等于，選項(xiàng)中BCD滿足.故選：BCD12.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為等邊三角形，平面平面，點(diǎn)在線段上，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則為的中點(diǎn)B.若為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為C.平面與平面的夾角為D.若，則直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用線面平行的性質(zhì)定理證明即可；B選項(xiàng)，利用割補(bǔ)的思路得到，然后求體積即可；C選項(xiàng)，利用幾何法找出二面角的平面角，然后求三角函數(shù)值即可判斷；D選項(xiàng)，根據(jù)得到，在中利用余弦定理即可求出，再利用等體積的思路求出點(diǎn)到平面的距離，即可得到直線與平面所成角的正弦值. 【詳解】對(duì)A，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，因?yàn)檎叫?，所以為中點(diǎn)，又，所以為中點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，可得，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以，故B正確；對(duì)C，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈冗吶切危?，因?yàn)榈酌媸钦叫?，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，因平面，所以，又，平面平面，所以為二面角，，故二面角不是，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由題意，， 因?yàn)椋裕驗(yàn)闉榈妊切?，可求得，在中，由余弦定理可得，解得，在中，，，所以高，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法，，所以，解得，所以直線與平面所成角的正弦值為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.過(guò)點(diǎn)斜率為的直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式,再分別求出截距，計(jì)算面積及即得；【詳解】由題可得直線l方程為，即；令，則,令，則,則直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故答案為:.14.如圖，正方的棱長(zhǎng)為2，若空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，若 ，則二面角的平面角的大小為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)幾何法求解二面角的平面角，即可求解大小.【詳解】若，則為正方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)，即為正方體的中心，因此平面即為平面，平面，平面，，，是二面角的平面角，在等腰直角三角形中，，故二面角的平面角為，故答案為：15.如圖，圓錐的高，底面⊙的直徑，是圓上一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則直線和平面所成角的余弦值為_(kāi)_________． 【答案】【解析】【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,設(shè)直線和平面所成角為，則由等體積法有：，即，,，于是，故答案為.16.如圖，在直三棱柱中，，，是上一點(diǎn)，且，是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面，則三棱柱外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】 【分析】本題首先可以根據(jù)平面得出，然后根據(jù)得出以及，故球心到平面的距離，再然后根據(jù)以及得出外接圓的半徑為，最后根據(jù)即可求出的值以及外接球的表面積.【詳解】如圖，連接交于，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以外接球的球心到平面的距離為，因?yàn)椋?，所以外接圓的半徑為，故所求外接球的半徑為，其表面積為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱柱外接球表面積的求法，考查根據(jù)線面平行證明線線平行，考查三角形相似的應(yīng)用，考查利用正弦定理求三角形外接圓半徑，考查推理能力與計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是.（1）求邊所在的直線方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解斜率，進(jìn)而由斜截式即可求解方程，（2）根據(jù)斜率公式以及垂直關(guān)系得高所在直線斜率，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得,由斜截式可得直線方程為；【小問(wèn)2詳解】,所以邊上的高所在直線的斜率為，由點(diǎn)，所以邊上的高所在直線方程為.18.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）若與所成角為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得；（2）由題可得為與所成角，又由條件可得平面，可得，進(jìn)而利用棱錐體積公式即得.【小問(wèn)1詳解】∵，分別為的中點(diǎn)，∴，又，， ∴平面，又平面，∴平面平面，【小問(wèn)2詳解】連接，由，∴平行四邊形，∴，所以是異面直線所成的角，則，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，為，則.19.已知直線和直線．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，求a的值；（Ⅱ）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）2【解析】分析】（1）通過(guò)l1∥l2，斜率相等，截距不相等，推出關(guān)系式，然后求b的取值范圍；（2）利用l1⊥l2，得到，然后利用基本不等式求|ab|的最小值．【詳解】（1）直線：和直線：，∵l1∥l2，，且， 即，且，若，則，整理可得，解得.（2）由，當(dāng)任一直線斜率不存在時(shí)，顯然不成立，，，，又∵，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是熟記兩直線平行時(shí)：系數(shù)滿足；兩直線垂直時(shí)，系數(shù)滿足：，考查了計(jì)算能力.20.如圖，已知分別為四面體的面與面的重心，為上一點(diǎn)，且.設(shè).（1）請(qǐng)用表示；（2）求證：三點(diǎn)共線. 【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解，（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用基底表示，即可根據(jù)向量共線證明.【小問(wèn)1詳解】．【小問(wèn)2詳解】；則，又有公共起點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線．21.如圖，在矩形中，,,是的中點(diǎn)，將沿向上折起，使平面平面（1）求證：;（2）求二面角的大小.【答案】（1）詳見(jiàn)解析； （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件及面面垂直的性質(zhì)定理可得⊥平面，進(jìn)而即得；（2）利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得平面平面，即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,是的中點(diǎn)，所以，，又，∴在中，，所以，∵平面⊥平面，且是交線，平面，∴⊥平面，∵平面，∴；【小問(wèn)2詳解】由題可知，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即二面角的大小為.22.已知四棱錐中，底面是矩形，，，是的中點(diǎn)．（1）證明：； （2）若，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，因?yàn)?，則，，所以，，所以，，故，設(shè)，則，，所以，，且，，所以，，所以，，又因?yàn)椋?、平面，則平面，因?yàn)槠矫?，?【小問(wèn)2詳解】 因?yàn)椋?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，則，設(shè)，其中，，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，