《安徽省阜陽(yáng)市潁上第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

潁上一中新高二開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，求出函數(shù)的值域化簡(jiǎn)集合B，再利用交集、補(bǔ)集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，因此，當(dāng)時(shí)，，則，因此，所以，.故選：C2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，從而得到的共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?故選：A3.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】觀察題目中角的特征可知，將要求的角轉(zhuǎn)化成已知角即，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由題意可知，將角進(jìn)行整體代換并利用誘導(dǎo)公式得；；所以，即.故選：A.4.某人從一魚池中捕得120條魚，做了記號(hào)后再放回池中，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，再?gòu)脑擊~池中捕得100，經(jīng)過(guò)發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的魚有10條（假定該魚池中魚的數(shù)量既不減少也不增加）則池中大約有魚（）A.120B.1000條C.130條D.1200條【答案】D【解析】【分析】設(shè)池中有魚約x條，根據(jù)條件列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)池中有魚約x條，則由題意可知，解得，故池中魚約有1200條．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，屬于基礎(chǔ)題型.5.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)命題進(jìn)行求解，可得，再通過(guò)充分條件和必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槊}是真命題，當(dāng)時(shí)，，若 恒成立，則，結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是，故選：B．6.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，，，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（）A.B.C.1sD.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)周期求出，再解不等式，得到的范圍即得解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為1s.故選：C.7.若，則（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)和的單調(diào)性可以判斷選項(xiàng)A與B，再根據(jù)的單調(diào)性可以判斷選項(xiàng)C與D，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，令，則該函數(shù)在為增函數(shù)，∴，故A錯(cuò)誤；令，則該函數(shù)在為減函數(shù)，則，則有，故B錯(cuò)誤；令，則該函數(shù)為減函數(shù)，所以，.則，故C正確；由C可知，，又，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C.8.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A2B.0C.-3D.-6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，可以證明是周期為4的周期函數(shù)，計(jì)算出和k，由周期性可得，再利用函數(shù)的對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又為偶函數(shù)，所以，所以，即，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)；由，易得，，所以，所以，，解得，；所以； 故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在正六邊形中，下列命題正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合圖形依次判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A:∵,∴A正確.選項(xiàng)B:取的中點(diǎn)為,如上圖所示，則,∴B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C:在正六邊形中，,,所以中，,則;同理，,，∴C正確.選項(xiàng)D:設(shè)六邊形邊長(zhǎng)為1，則,，原式化簡(jiǎn)為：，∴D正確. 故選:ACD.10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是[a，b]，則稱區(qū)間[a，b]是函數(shù)f(x)的一個(gè)“等域區(qū)間”．下列函數(shù)存在“等域區(qū)間”的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)“等域區(qū)間”的定義，由f(x)與直線至少有2個(gè)交點(diǎn)逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，且對(duì)稱軸為，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；對(duì)于D，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；對(duì)于BC，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；由題意可知，當(dāng)f(x)與直線至少有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，符合題意，因?yàn)楹瘮?shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，所以與直線只有1個(gè)交點(diǎn)，A錯(cuò)誤．在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象，由圖象可知，與直線有2個(gè)交點(diǎn)，B正確．在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象 由圖象可知，單調(diào)遞增且與直線有2個(gè)交點(diǎn)，C正確．在單位圓中，由三角函數(shù)的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象由圖象可知：與直線只有1個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：BC.11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.、、、四點(diǎn)共面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C.三棱錐的體積為 D.異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷ABD選項(xiàng)，利用錐體的體積公式可判定C選項(xiàng)，綜合可得出合適的選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、、，對(duì)于A選項(xiàng)，，，，設(shè)，即，所以，，該方程組無(wú)解，所以，、、、四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以，，則， 又因?yàn)椋砜傻茫?，所以，平面截正方體所得截面為等腰梯形，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，所以，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，D對(duì).故選：BCD.12.把定義域?yàn)榍彝瑫r(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”:(1)對(duì)任意的,總有;(2)若,則有成立.下列說(shuō)法正確的是()A.若為“函數(shù)”,則B.若為“函數(shù)”,則一定是增函數(shù)C.函數(shù)在上是“函數(shù)”D.函數(shù)在上是“函數(shù)”表示不大于的最大整數(shù)【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A,由條件(1)得.由條件(2),得,所以,故A說(shuō)法正確;對(duì)于B和C,舉反例說(shuō)明其說(shuō)法錯(cuò)誤;對(duì)于D,說(shuō)明函數(shù)符合條件(1)(2),故D說(shuō)法正確.【詳解】對(duì)于A,若函數(shù)為“函數(shù)”,則由條件(1)得.由條件(2)得當(dāng)時(shí),,所以,故A說(shuō)法正確; 對(duì)于B,若,,則滿足條件(1)(2),但不是增函數(shù),故B說(shuō)法錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng),時(shí),,,,,不滿足條件(2),所以不是“函數(shù)”,故C說(shuō)法錯(cuò)誤;對(duì)于D,在上的最小值是,顯然符合條件(1).設(shè)上的每一個(gè)數(shù)均由整數(shù)部分和小數(shù)部分構(gòu)成,設(shè)的整數(shù)部分是,小數(shù)部分是,即則.設(shè)的整數(shù)部分是,小數(shù)部分是,即,則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以,所以函數(shù)滿足條件(2),所以在上是“函數(shù)”,故D說(shuō)法正確.故選:AD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖，在中，，，，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：考點(diǎn)：向量數(shù)量積14.下列敘述中正確的是________________．（填寫所有正確命題的序號(hào)）①隨機(jī)從某校高一600名男生中抽取60名學(xué)生調(diào)查身高，該調(diào)查中樣本量是60②數(shù)據(jù)2，3，3，5，9，9的中位數(shù)為3和5，眾數(shù)為3和9 ③數(shù)據(jù)9，10，11，11，16，20，22，23的75%分位數(shù)為21④若將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都加上2，則平均數(shù)和方差都沒(méi)有發(fā)生變化【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)樣本容量的定義即可判斷①選項(xiàng)；根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可判斷②選項(xiàng)；根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可判斷③選項(xiàng)；根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可判斷④選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闃颖局邪膫€(gè)體數(shù)稱為樣本量，所以①正確；因?yàn)閿?shù)據(jù)2，3，3，5，9，9的中位數(shù)為，所以②錯(cuò)誤，由于．所以該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是第6項(xiàng)與第7項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為21，故③正確；若將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都加上2，則易知平均數(shù)增加2，方差是不變化的，故④錯(cuò)誤．故答案為：①③．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．的外接圓半徑為1，，若BC邊上的一點(diǎn)D滿足，且，則的面積為_(kāi)________．【答案】##【解析】【分析】先利用正弦定理求得，再次利用正弦定理得到，從而得到，進(jìn)而利用余弦定理即可求得，由此利用三角形面積公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，得到圖形如下，因?yàn)榈耐饨訄A半徑，，所以由正弦定理得，可得，因?yàn)锽C邊上的一點(diǎn)D滿足，且，所以，則，，，， 所以由正弦定理可得，，故，又，所以，所以由余弦定理，可得，故，即，所以.故答案為：.16.在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】作出圖形，設(shè)，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最小值，利用正弦定理求得外接圓直徑的最小值，可求得該三棱錐外接球直徑的最小值，由此可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓柱的外接球半徑為，取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每個(gè)點(diǎn)的距離都等于，則為圓柱的外接球球心，由勾股定理可得.本題中，平面，設(shè)的外接圓為圓，可將三棱錐內(nèi)接于圓柱，如下圖所示： 設(shè)的外接圓直徑為，，該三棱錐的外接球直徑為，則.如下圖所示：設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，由，可得，，所以，的最大值為，由正弦定理得，即的最小值為， 因此，，所以，三棱錐外接球表面積為.故三棱錐外接球的表面積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.四、解答題：本小題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1．（1）若AC＝，求的面積；（2）若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出BC＝，再求出的面積；（2）設(shè)∠CAD＝θ，在ACD中，由正弦定理得＝①，在中，由正弦定理得＝②，①②兩式相除，即得解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝， 所以的面積＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝．（2）設(shè)∠CAD＝θ，在ACD中，由正弦定理得＝，即＝，①在中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－(－θ)＝θ－，由正弦定理得＝，即＝，②①②兩式相除，得＝，即4(sinθ－cosθ)＝sinθ，整理得sinθ＝2cosθ．又因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝，即sin∠CAD＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18.如圖所示，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形.，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).（1）證明：平面BCE；（2）證明：平面平面CDE；（3）求直線AD和平面BCE所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）取CE中點(diǎn)M，連結(jié)MF，BM，先利用線面垂直的性質(zhì)定理證得，從而證得四邊形ABMF是平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可證得結(jié)論.（2）先利用線面垂直的性質(zhì)定理證得，然后利用面面垂直的判定定理即可證得結(jié)論.（3）取線段DE的中點(diǎn)P，連接BP，先證得直線AD和平面BCE所成的角就是直線BP和平面BCE所成的角，然后解三角形即可求解.【小問(wèn)1詳解】取CE中點(diǎn)M，連結(jié)MF，BM，MF是的中位線，∴，，∵平面ACD，平面ACD，∴，又，∴，，∴四邊形ABMF是平行四邊形，∴，∵平面BCE，平面BCE，∴平面BCE；【小問(wèn)2詳解】∵平面ACD，平面ACD，∴，∴四邊形ABMF是矩形，∴.∵是正三角形，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，∴.∵，∴，∵，平面CDE，平面CDE，∴平面CDE，∵平面BCE，∴平面平面CDE；【小問(wèn)3詳解】取線段DE的中點(diǎn)P，連接BP，∵且，∴四邊形ABPD是平行四邊形， ∴，則直線AD和平面BCE所成的角就是直線BP和平面BCE所成的角，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為N，連結(jié)BN，由（2）知平面平面CDE，又平面平面，∴平面BCE，∴為直線BP和平面BCE所成角的平面角.設(shè)，則，∵平面ACD，∴，∵，∴，∵，，∴，∵四邊形ABPD為平行四邊形，∴，∴，故直線AD和平面BCE所成的角正弦值為.19.俄羅斯與烏克蘭的軍事沖突導(dǎo)致石油、天然氣價(jià)格飆升.燃油價(jià)格問(wèn)題是人們關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題，某網(wǎng)站為此進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示 （1）求樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率；（2）求樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)；（3）若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在這一組的概率.【答案】（1）0.4（2）55（3）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖所有小矩形面積和為1計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖和第60百分位數(shù)定義計(jì)算即可；（3）利用分層抽樣的概念和古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知，樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率為【小問(wèn)2詳解】樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)落在第四組，且第60百分位數(shù)為【小問(wèn)3詳解】與兩組的頻率之比為，現(xiàn)從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，則組抽取2人，記為，，組抽取4人，記為1，2，3，4.所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15種.其中至少有1人的年齡在的情況有，，，，，，， ，，共9種，故所求概率.20.已知，，設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，解不等式得到答案.（2），則，故，得到值域.【小問(wèn)1詳解】.取，解得.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，則，故，.21.已知函數(shù)部分圖象如圖所示. （1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)，使得關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）結(jié)合圖像，由最大最小值可得，由可得，由函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)可求，從而可得答案.（2）原不等式等價(jià)于,使得成立，令，利用函數(shù)單調(diào)性求解最小值即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由所給函數(shù)圖像可知，，，即，所以，又圖像過(guò)點(diǎn)，所以，，解得，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，故. 【小問(wèn)2詳解】若對(duì)于，關(guān)于x的不等式恒成立，即對(duì)于，關(guān)于x的不等式恒成立，即對(duì)于，恒成立.當(dāng)時(shí)，，令時(shí)，為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即最小值為，故實(shí)數(shù)，所以m的最大值為.22.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增；（3）【解析】【分析】（1）易知為奇函數(shù)，可得，代入解析式，可求出的值；（2）先判斷在上的單調(diào)性，再結(jié)合是定義在的奇函數(shù)，可推出在定義域上單調(diào)遞增；（3）根據(jù)的奇偶性，可得在上恒成立，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可知在上恒成立，進(jìn)而令，可得，從而不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而分離參數(shù)可得 ，求出的最大值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，所以，即，解得.（2）易知的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)及都在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.（3）由題意，在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，則在上恒成立.令，顯然是增函數(shù)，則.，所以上恒成立.則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以所以，即， 故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值（取值范圍）問(wèn)題常見(jiàn)的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.