《重慶市永川北山中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重慶市永川北山中學(xué)校高2024級(jí)高二下期3月月考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘【注意事項(xiàng)】1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上．寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.設(shè)集合，，定義，則中元素的個(gè)數(shù)為（　?。〢.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】用列舉法表示出集合，即可得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)榧?，，定義,所以.一共6個(gè)元素.故選：D2.一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，且這一物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為，則實(shí)數(shù)的值為（）A2B.1C.D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均速度的定義有，結(jié)合已知函數(shù)模型求參數(shù)m即可.【詳解】由已知，得， ∴，解得，故選：B．3.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則等于（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得出.【詳解】．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的最小值是（）A.B.C.D.不存在【答案】C【解析】【分析】函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最小值得解.【詳解】由題意得，.令，得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此在處取得極小值也是最小值，且最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值．(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)在區(qū)間 上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到．5.算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.8B.10C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動(dòng)兩枚算珠的結(jié)果計(jì)算得解.【詳解】撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動(dòng)一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法，在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選：A6.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則在區(qū)間上恒成立，所以，故選：B．7.某放射性同位素在衰變過程中，其含量（單位：貝克）與時(shí)間（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中為時(shí)該同位素的含量.已知時(shí)，該同位素含量的瞬時(shí)變化率為，則（） A.24貝克B.貝克C.1貝克D.貝克【答案】B【解析】【分析】先求出，然后利用，求出，再求解即可.詳解】由，得，因?yàn)闀r(shí)，該同位素含量的時(shí)變化率為，所以，解得，所以.故選：B.8.若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則當(dāng)時(shí)，下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性再比較大小可得答案.【詳解】令，則，由于的正負(fù)不確定，所以的正負(fù)不確定，不能判斷的單調(diào)性，故AC錯(cuò)誤；令，由，則，所以為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，故B錯(cuò)誤D正確；故選：D. 二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或不選得0分．）9.下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】A．，正確；B．，錯(cuò)誤；C．，錯(cuò)誤；D．，錯(cuò)誤．故選:BCD．10.下列說法正確的有（）A.某小組有8名男生，4名女生，要從中選取一名當(dāng)組長，不同的選法有12種B.某小組有3名男生，4名女生，要從中選取兩名同學(xué)，不同的選法有42種C.某市地鐵一號(hào)線正式開通，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有6節(jié)車廂，兩人乘坐車廂的方法共有36種D.在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽，它們的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，每項(xiàng)比賽冠軍只有一人，那么不同的奪冠情況共有64種【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)排列組合的方法逐項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】A：某小組有8名男生，4名女生，要從中選取一名當(dāng)組長，則有種選法，故A正確；B：某小組有3名男生，4名女生，要從中選取兩名同學(xué)，則有種選法，故B錯(cuò)誤；C：某市地鐵一號(hào)線正式開通，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有6節(jié)車廂，兩人乘坐車廂的方法共有種，故C正確； D：在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽，它們的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，每項(xiàng)比賽冠軍只有一人，那么不同的奪冠情況共有種情況，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)定義域?yàn)?，部分?duì)應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的極大值點(diǎn)有個(gè)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.若時(shí)，最大值是，則的最大值為4D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；取，結(jié)合函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；作出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為、，B選項(xiàng)正確；函數(shù)有個(gè)極大值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值是，而最大值不是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由下圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù) 的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)之間的關(guān)系，由圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12.設(shè)函數(shù)，，下列命題正確的是（）A.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，B.若恒成立，則C.若，，時(shí)，總有恒成立等價(jià)于D.，恒成立．【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，結(jié)合變化趨勢考察與的關(guān)系可判斷AB；構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在大于等于0恒成立問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值可判斷C；取，然后使用放縮法可判斷D.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，有最大值，又時(shí)，,且越大時(shí)，趨近于0，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故A正確，B錯(cuò)誤；若，，時(shí)，總有恒成立等價(jià)于函數(shù) 在上單調(diào)遞增，等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意，故C正確；記，則，因?yàn)?，，所以，故在區(qū)間上存在使得，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以單調(diào)遞增區(qū)間是考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用14.函數(shù)在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，再根據(jù)兩條直線垂直求參數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，所以在處的切線的斜率為3，因?yàn)榍芯€與直線互相垂直，，所以，解得．故答案為：15. 回文聯(lián)是我國對(duì)聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián):“客上天然居，居然天上客;人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為:“回文數(shù)”.如44，585，2662等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，②4位“回文數(shù)”中有2個(gè)不同的數(shù)字，求出每種情況下4位“回文數(shù)”的數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有6種情況，即此時(shí)有6個(gè)4位“回文數(shù)”；②4位“回文數(shù)”中有2個(gè)不同的數(shù)字，有種情況，即此時(shí)有30個(gè)4位“回文數(shù)”；則一共有個(gè)4位“回文數(shù)”；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解“回文數(shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題．16.若函數(shù)與滿足：存在實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)為的“友導(dǎo)”函數(shù).已知函數(shù)為函數(shù)的“友導(dǎo)”函數(shù)，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】首先求出的導(dǎo)數(shù)，由題意可知有解即可，再采用分離參數(shù)法可得，令，求的最值即可求得的取值范圍.【詳解】由可得，函數(shù)為函數(shù)的“友導(dǎo)”函數(shù)，有解，即有解，令，則，令，則， 令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的新定義，考查了導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用以及分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，綜合性比較強(qiáng).四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則直接計(jì)算作答.(2)求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù).【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.18.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，且時(shí)，有極值． （1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值為8，最小值為．【解析】【分析】（1）由題意可得從而可求出，即可求出的解析式，（2）令，求出的值，列表可得的值隨的變化情況，從而可求出函數(shù)的最值【小問1詳解】由題意可得，．由解得經(jīng)檢驗(yàn)得時(shí)，有極大值．所以．【小問2詳解】由（1）知，．令，得，，，的值隨的變化情況如下表：200單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)值388由表可知在上的最大值為8，最小值為． 19.已知函數(shù)，，k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)k取值范圍．【答案】（1）極小值為0，無極大值（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，即可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可由極值點(diǎn)定義求解，（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為；所以函數(shù)有極小值為，無極大值．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化簡為，令，則；令得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，所以，又，所以?0.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的圖象在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由點(diǎn)斜式求解切線方程，即可求解面積，（2）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值點(diǎn)，利用即可求解.【小問1詳解】，則，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則切線斜率，∴函數(shù)在處的切線方程是，即，故與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：．【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，因?yàn)?，則時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，又，則函數(shù)有零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．21.新冠疫情爆發(fā)后，某企業(yè)利用部分人工轉(zhuǎn)產(chǎn)口罩.每生產(chǎn)萬件(每件5個(gè)口罩)，需投入固定成本5萬元，流動(dòng)成本萬元，當(dāng)月產(chǎn)量小于7萬件時(shí)，(萬元)；當(dāng)月產(chǎn)量不小于7萬件時(shí)，(萬元).口罩銷售價(jià)為6元/件，且生產(chǎn)的口罩能全部售出.（1）寫出月利潤(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式；(注：月利潤月銷售收入固定成本流動(dòng)成本) （2）當(dāng)月產(chǎn)量約為多少萬件時(shí)，生產(chǎn)的口罩所獲月利潤最大？最大月利潤是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)月產(chǎn)量約為萬件時(shí)，所獲月利潤最大，最大利潤為8萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)月利潤等于銷售額減去投入總成本減去固定成本，分時(shí)和兩種情況，得到關(guān)于的分段函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法求的最大值，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最大值，最后比較取最大的即可.【詳解】（1）口罩銷售價(jià)為6元/件，則萬件口罩銷售收入為萬元.依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，（2）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為(萬元)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取最大值(萬元)，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值8萬元，當(dāng)月產(chǎn)量約為萬件時(shí)，所獲月利潤最大，最大利潤為8萬元. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的能力，屬于中檔題.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明不等式恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論范圍結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得出單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上有唯一實(shí)數(shù)根，且，則可得，即得證.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得到，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）設(shè)函數(shù)，則，可知在上單調(diào)遞增.又由，知，在上有唯一實(shí)數(shù)根，且，則，即.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，結(jié)合，知， 所以，則，