《高中數(shù)學(xué)解題基本方法數(shù)學(xué)歸納法及訓(xùn)練習(xí)題集》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

高中數(shù)學(xué)解題基本方法數(shù)學(xué)歸納法及訓(xùn)練習(xí)題集歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類(lèi)事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類(lèi)事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類(lèi)事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)。數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或n≥n且n∈N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是n＝k＋1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)（n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_(kāi)____。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個(gè)數(shù)是_____。A.2B.2－1C.2D.2＋13.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N)時(shí)該命題成立，那么可推得n＝k＋1時(shí)該命題也成立。現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)該命題不成立，那么可推得______。(94年上海高考)A.當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立4.數(shù)列{a}中，已知a＝1，當(dāng)n≥2時(shí)a＝a＋2n－1，依次計(jì)算a、a、a后，猜想a的表達(dá)式是_____。A.3n－2B.nC.3D.4n－35.用數(shù)學(xué)歸納法證明3＋5(n∈N)能被14整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)對(duì)于式子3＋5應(yīng)變形為_(kāi)______________________。6.設(shè)k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k＋1棱柱對(duì)角面的個(gè)數(shù)為f(k+1)＝f(k)＋_________。

2【簡(jiǎn)解】1小題：n＝k時(shí)，左端的代數(shù)式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1時(shí)，左端的代數(shù)式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以應(yīng)乘的代數(shù)式為，選B；2小題：（2－1）－（2－1）＝2，選C；3小題：原命題與逆否命題等價(jià)，若n＝k＋1時(shí)命題不成立，則n＝k命題不成立，選C。4小題：計(jì)算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，選B；5小題：答案（3＋5）3＋5（5－3）；6小題：答案k－1。Ⅱ、示范性題組：例1.已知數(shù)列，得，…，，…。S為其前n項(xiàng)和，求S、S、S、S，推測(cè)S公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。（93年全國(guó)理）【解】計(jì)算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜測(cè)S＝(n∈N)。當(dāng)n＝1時(shí)，等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即：S＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S＝S＋＝＋

3＝＝＝,由此可知，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立。綜上所述，等式對(duì)任何n∈N都成立。【注】把要證的等式S＝作為目標(biāo)，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k＋3）－1。這樣證題過(guò)程中簡(jiǎn)潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗(yàn)、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問(wèn)題的常見(jiàn)證法，在數(shù)列問(wèn)題中經(jīng)常見(jiàn)到。假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過(guò)程也不嚴(yán)密。必須要進(jìn)行三步：試值→猜想→證明。【另解】用裂項(xiàng)相消法求和：由a＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝。

4此種解法與用試值猜想證明相比，過(guò)程十分簡(jiǎn)單，但要求發(fā)現(xiàn)＝－的裂項(xiàng)公式?？梢哉f(shuō)，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。例2.設(shè)a＝＋＋…＋(n∈N),證明：n(n＋1)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2)

5【注】用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，注意適當(dāng)選用放縮法。本題中分別將縮小成(k＋1)、將放大成(k＋)的兩步放縮是證n＝k＋1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵。為什么這樣放縮，而不放大成(k＋2)，這是與目標(biāo)比較后的要求，也是遵循放縮要適當(dāng)?shù)脑瓌t。本題另一種解題思路是直接采用放縮法進(jìn)行證明。主要是抓住對(duì)的分析，注意與目標(biāo)比較后，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小。解法如下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由

6整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因?yàn)閗≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1時(shí)猜測(cè)正確。綜上所述，對(duì)所有的自然數(shù)n，都有a＝a＋(n－1)d，從而{a}是等差數(shù)列。【注】將證明等差數(shù)列的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明數(shù)學(xué)恒等式關(guān)于自然數(shù)n成立的問(wèn)題。在證明過(guò)程中a的得出是本題解答的關(guān)鍵，利用了已知的等式S＝、數(shù)列中通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系a＝S－S建立含a的方程，代入假設(shè)成立的式子a＝a＋(k－1)d解出來(lái)a。另外本題注意的一點(diǎn)是不能忽視驗(yàn)證n＝1、n＝2的正確性，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)遞推的基礎(chǔ)是n＝2時(shí)等式成立，因?yàn)橛?k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的條件是k≥2?！玖斫狻靠勺Ca－a＝a－a對(duì)于任意n≥2都成立：當(dāng)n≥2時(shí)，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；從而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a－a＝a－a，從而{a}是等差數(shù)列。一般地，在數(shù)列問(wèn)題中含有a與S時(shí)，我們可以考慮運(yùn)用a＝S－S的關(guān)系，并注意只對(duì)n≥2時(shí)關(guān)系成立，象已知數(shù)列的S求a一類(lèi)型題應(yīng)用此關(guān)系最多。Ⅲ、鞏固性題組：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：6＋1(n∈N)能被7整除。

71.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)(n∈N)。2.n∈N，試比較2與(n＋1)的大小，并用證明你的結(jié)論。3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：cos·cos·cos·…·cos＝(81年全國(guó)高考)4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：|sinnx|≤n|sinx|（n∈N）。（85年廣東高考）6.數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式a＝(n∈N)，設(shè)f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，試求f(1)、f(2)、f(3)的值，推測(cè)出f(n)的值，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。7.已知數(shù)列{a}滿(mǎn)足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]，(x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求a和a；②.猜測(cè)a，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜測(cè)。8.設(shè)f(logx)＝,①.求f(x)的定義域；②.在y＝f(x)的圖像上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線與x軸平行？證明你的結(jié)論。③.求證：f(n)>n(n>1且n∈N)