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1、ARMA模型的時間特性時間序列之三Green函數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性ARMA模型，一方面，它基于觀測時間序列建立起來的隨機微分方程，因而它解釋了動態(tài)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性；另一方面，由于可視為某一系統(tǒng)的輸出，因而，它又揭示了產(chǎn)生此動態(tài)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)的動態(tài)特性，但不論是數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，還是系統(tǒng)的動態(tài)特性，均可在時域和頻域中得到描述，所有這些特性，構(gòu)成了ARMA模型的基本特性。本章重點討論ARMA模型的最主要的時域特性——系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)和動態(tài)數(shù)據(jù)的自協(xié)方差函數(shù)。前者表征系統(tǒng)特性，在時序方法中又稱為Green函數(shù)，后者

2、表征數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性。同時，還將介紹ARMA模型的另外兩個時域特性——逆函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。討論模型特性的目的在于:一方面，它是實際應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，很多實際問題的解決往往就是模型特性直接應(yīng)用的結(jié)果；另一方面，它又是建立模型的必要準(zhǔn)備。線性常系數(shù)差分方程及其解的一般形式在時間序列的時域分析中，線性差分方程是非常重要，也是極為有效的工具。任何一個ARMA模型都是一個線性差分方程；因此，ARMA模型的性質(zhì)往往取決于差分方程根的性質(zhì)。為了更好地討論ARMA模型的特性，先簡單介紹線性差分方程的一般知識。時間序列

3、模型與線性差分方程線性差分方程在時間序列分析中有著重要的應(yīng)用，常用的時間序列模型和某些模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)都可以視為線性差分方程，而線性差分方程對應(yīng)的特征根的性質(zhì)對判斷模型的平穩(wěn)性有著非常重要的意義。是普通的n階差分方程，其中為系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)，當(dāng)為常數(shù)時，就是常系數(shù)n階差分方程，是個離散序列，也叫驅(qū)動函數(shù)；是系統(tǒng)的響應(yīng)。當(dāng)時，上式變?yōu)辇R次線性差分方程:稱為n階齊次差分方程。線性差分方程線性差分方程:首先，將最簡單的AR(1)模型作為一個例子。AR(1)模型：反復(fù)進行迭代AR(1)模型的Gr

4、een函數(shù)Green函數(shù)的定義當(dāng)一個相關(guān)的平穩(wěn)時間序列可以用一個無關(guān)的平穩(wěn)時間序列的現(xiàn)在值和過去值的線性組合表示時，其“權(quán)”定義為Green函數(shù)，即式中，稱為Green函數(shù)，，令上式的輸入為單位脈沖響應(yīng)，即，則有：Green函數(shù)表示系統(tǒng)對t時刻作用的單位脈沖產(chǎn)生的響應(yīng)。（1）式可以記為其中式（1）表明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列可以由現(xiàn)在時刻以前的白噪聲通過系統(tǒng)“”的作用而生成，是j個單位時間以前加入系統(tǒng)的干擾項對現(xiàn)實響應(yīng)的權(quán)，亦即系統(tǒng)對的“記憶”。Green函數(shù)的意義格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系統(tǒng)記

5、憶擾動程度的函數(shù)。則AR(1)模型的格林函數(shù)可以表示為：AR(1)模型可表示為同時，可用一個無限階MA來逼近。當(dāng)t不變，k變動時，Gt-k表示k時刻作用于系統(tǒng)的單位脈沖對現(xiàn)在t時刻響應(yīng)xt影響的大?。划?dāng)t變動，k不變時，Gt-k表示系統(tǒng)對于過去k時刻所受到的單位脈沖的衰減情況。AR(1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念以及穩(wěn)定性與平穩(wěn)性的關(guān)系Green函數(shù)的另一個重要作用是，可表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性這一重要的動態(tài)特性。所謂一個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，是指它在任意瞬間受到一個一瞬即逝的干擾(即脈沖)后，其運動狀態(tài)偏離平

6、衡位置越來越遠(yuǎn)，這相當(dāng)于，是發(fā)散的；反之，如果其運動狀態(tài)最終能回到平衡位置上，這相當(dāng)于，則稱系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的；一階系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅由系統(tǒng)本身的固有特性所決定，而與外界無關(guān)，即，ARMA模型所描述的線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性只與AR部分有關(guān)，而與MA部分無關(guān)，因此，AR(1)，ARMA(1,1)，ARMA(1,m)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題實質(zhì)上是一致的，從而可根據(jù)Green函數(shù)的取值情況判斷它們所對應(yīng)的不同的一階系統(tǒng)的穩(wěn)定性。ARMA(2,1)模型的Green函數(shù)引入B算子，得：式中，分子為MA部分，特

7、征根；分母為AR部分，對其進行因式分解，有：其特征根為：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：下面，根據(jù)特征根的取值情況分別進行討論當(dāng)時，AR部分具有兩個不相等的實根，進行因式分解：式中，可求出根據(jù)“泛函理論”中B算子的性質(zhì)，可進行如下展開：可得ARMA（2,1）模型的Green函數(shù)：顯然：當(dāng)時（*表示共軛），AR部分具有一對共軛復(fù)根，則有：式中：，當(dāng)時，AR部分具有兩個相同的特征根，則有：此時Green函數(shù)為：上式即是二階其次差分方程在具有重根時的通解形式，則有：ARMA(2,1)系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用特征根

8、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件這個推論在AR(1)中平穩(wěn)性的條件，同樣對ARMA(2,1)模型也依然適應(yīng)；此時，對于同一階系統(tǒng)，ARMA(2,1)，AR(2)及ARMA(2,m)模型雖然對應(yīng)于外界作用方式不同的二階系統(tǒng)，但它們的穩(wěn)定性問題是一致的。由于可用二階和一階系統(tǒng)組成各種高階系統(tǒng)，所以研究二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性是十分必要的。利用特征根判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性當(dāng)時當(dāng)時，，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定；當(dāng)和中只要有一個大于1，，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)或中任一個等于1而另一個的絕對值小于1，Gj收斂于g1或者