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1、第三章ARMA模型的特性第一節(jié)平穩(wěn)性第一節(jié)可逆性第二節(jié)自協(xié)方差函數(shù)3.1平穩(wěn)性一、Green函數(shù)定義：描述系統(tǒng)記憶擾動程度的函數(shù)二、AR模型的G1.AR(1)的G：2.AR(1)的格林函數(shù)形式：3.AR(1)的滯后算子表達式4.AR(p)的Green函數(shù)遞推公式原理待定系數(shù)法方法遞推公式三、AR模型平穩(wěn)性如果一個時間序列模型可以寫成如下形式：其中，xt為零均值平穩(wěn)序列，at為白噪聲，且滿足條件就稱該模型是平穩(wěn)的。1.含義：四、AR模型平穩(wěn)性條件1.判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的2.判別方法單位根判別法平穩(wěn)域判別法例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性

2、例3.1平穩(wěn)序列時序圖例3.1非平穩(wěn)序列時序圖3.AR模型平穩(wěn)性判別方法（1）特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內(nèi)（2）平穩(wěn)域判別必要條件：4.AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域5.AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)五、AR方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得一個有限階的AR(P)模型，可以表示成一個無限階的MA模型例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差六、MA模型的GMA(q)模型總是平穩(wěn)的七、ARMA模

3、型的G1.ARMA(2,1)的G的隱式......2.ARMA(p,q)的G的隱式3.ARMA(n,n-1)的G的隱式......4.ARMA(2,1)的G的顯式5.AR(2)的G的顯式6.ARMA(1,1)的G的顯式1.ARMA(2,1)的平穩(wěn)性八、ARMA模型的平穩(wěn)性（1）用特征根表示：（2）用自回歸系數(shù)表示：3.ARMA(2,m)的平穩(wěn)性4.ARMA(p,q)的平穩(wěn)性P階自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外平穩(wěn)性完全由其自回歸部分決定5.ARMA(p,q)的傳遞形式3.2可逆性如果一個時間序列（未必平穩(wěn)）的模型可以寫成如下形式：其中：at為白噪聲，且有稱這個模型是可逆的。一、含義：二、AR(

4、P)的逆函數(shù)AR(P)模型總是可逆的......三、MA(q)的逆函數(shù)1.MA(1)的逆函數(shù)2.MA(q)逆函數(shù)的遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式四、ARMA(p,q)逆函數(shù)的遞推公式逆轉(zhuǎn)形式五、MA的可逆性1.MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)2.可逆MA模型定義若一個MA模型能夠表示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型可逆概念的重要性一個自相關(guān)系數(shù)列唯一對應(yīng)一個可逆MA模型。一個有限階的MA(q)模型，可以表示成一個無限階的AR模型可逆MA(1)模型六、MA模型的可逆條件1.MA(1)2.MA(q)模型的可逆條件是：MA(

5、q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)必要條件：例3.6續(xù):考察如下MA模型的可逆性(1)—(2)逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式(3)—(4)逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式七、ARMA可逆條件1.ARMA(1,2)2.ARMA(p,q)q階移動平均系數(shù)多項式的根都在單位圓外即可逆性完全由其移動平滑部分決定八、G與I的關(guān)系符號相反，參數(shù)互換，即用在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望協(xié)方差函數(shù)的遞推公式(Yule-Wolker方程）3.3自協(xié)方差函數(shù)一、AR模型（一）自協(xié)方差例:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差例:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為(二)自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系

6、數(shù)遞推公式(三)常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型(四)AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復指數(shù)衰減例:考察如下AR模型的自相關(guān)圖例—自相關(guān)系數(shù)按復指數(shù)單調(diào)收斂到零例例自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性例自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減二、MA模型自相關(guān)系數(shù)(一)MA(1)(二)MA(2)(三)格林函數(shù)與自協(xié)方差的關(guān)系(四)MA(q)自協(xié)方差函數(shù)P階截尾自相關(guān)系數(shù)P階截尾三、偏自相關(guān)系數(shù)(一)定義對于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關(guān)度量。用數(shù)學語言描述就是(二)偏自相關(guān)系數(shù)的計算

7、滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數(shù)的值。(三)偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性1.AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾例:考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖例理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖例理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖例理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖例理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖2.MA偏自相關(guān)系數(shù)拖尾例:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾MA模