《兩圓方程作差所得直線與兩圓的位置關系.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

1、兩圓方程作差所得直線與兩圓的位置關系圓的一般方程是，對于兩個圓的一般方程，若把它們作差，消去二次項后會得到一個二元一次方程，即得到一條直線的方程。設兩圓，，把這兩個圓的方程作差，消去二次項后，得到的一條直線方程為。現在的我想探討的問題是：所得直線與已知兩圓、的位置關系如何？一、幾個重要定理定理一：直線與過兩圓心的直線垂直，且垂足到兩圓心距離的平方差等于相應兩圓半徑的平方差。先證明直線與過兩圓心的直線垂直。圓的圓心坐標是，圓的圓心坐標是，得過兩圓心的直線的斜率是，而直線的斜率是，故直線與過兩圓心的直線垂直。下面證明垂足到兩圓心距離的平方差等于相應兩圓半徑的平方差。為了便于證明，這里兩

2、圓的方程設為標準方程。設圓，圓。兩圓方程相減消去二次項后得直線的方程為：過兩圓心的直線方程為：即設這兩直線的交點為P，即垂足P滿足解得故垂足P的坐標為又，，所以所以故垂足到兩圓心距離的平方差等于相應兩圓半徑的平方差。上面的結論，足可以說明直線與已知兩圓的位置關系。但是，結論比較抽象，具體直線在哪里？兩圓的位置關系有多種，當兩圓位置關系不同時，直線與兩圓有特定的位置關系。定理二：若兩圓相交，則直線為過兩圓交點的直線。設兩圓、相交，點為兩圓的任一交點，則……①……②①－②，得所以點為直線上的任意一點。即直線為過兩圓交點的直線。定理三：若兩圓相切（無論是外切還是內切），則直線為過兩圓切點

3、的切線。設兩圓、相切，點為兩圓的切點，同理可說明此推論。定理四：若兩圓外離或內含，則直線與過兩圓心的直線垂直，且垂足引兩圓的切線長相等。設兩圓，外離（或內含），由定理可知直線與過兩圓心的直線垂直，設垂足為P，由，得。過點P分別引兩圓的切線，則切線長分別是、，由可知切線長相等。二、用定理解題研究了上述問題后，對于解析幾何上的某些問題特別是有關直線與圓的問題有很大的指導意義。下面以幾道解析幾何題來說明。（1）已知兩圓，，則兩圓公共弦所在直線方程為；（2）已知兩圓，，則過兩圓切點的公切線方程為；（3）已知兩圓，外離，在兩圓連心線上有一點P，點P引兩圓的切線長相等，則過點P且與兩圓連心線垂

4、直的直線方程為；說明：第（1）題中，兩圓的公共弦所在直線就是過兩圓交點的直線。一般的方法是：先由兩圓的方程求出它們的交點坐標，然后由兩點式求出過兩圓交點的直線方程。但是，這里兩圓相交，如果根據推論一，可易得所求直線方程為。第（2）題中，首先可由兩圓的方程求出它們的切點坐標，然后由兩圓的圓心坐標確定切線的斜率，由點斜式可求出過兩圓切點的公切線方程。但是，這里兩圓外切，如果根據推論二，可易得所求直線方程為。第（3）題中，可設出所求直線方程的斜截式，先由所求直線與兩圓心連線垂直確定斜率，再由點P引兩圓的切線長相等進而確定的值。但是，這里兩圓外離，如果根據推論三，易得所求直線方程為。