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1、ARCH模型和GARCH模型2003年10月8日，隨著瑞典皇家科學(xué)院的宣布，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的兩位新得主誕生了，他們就是著名的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家---美國(guó)紐約大學(xué)的羅伯特.恩格爾(RobertEngle)教授和加州大學(xué)圣迭哥分校的克萊夫.格蘭杰(CliveGranger)教授。他們將共享1000萬(wàn)克朗(約130萬(wàn)美元)的獎(jiǎng)金，以表彰他們?cè)凇敖?jīng)濟(jì)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)方法”研究方面的卓越貢獻(xiàn)。81RobertF.EngleCliveW.J.Granger81瑞典皇家科學(xué)院表示，這兩位獲獎(jiǎng)人發(fā)明了處理許多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的兩個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)：時(shí)變波動(dòng)性和非平穩(wěn)性的新的統(tǒng)計(jì)方法，在時(shí)間序列

2、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究領(lǐng)域所作出了突破性貢獻(xiàn)。瑞典皇家科學(xué)院表示，羅伯特·恩格爾之所以得獎(jiǎng)是因?yàn)樗l(fā)明了一種計(jì)量方法，能夠預(yù)測(cè)并分析隨時(shí)間變化的股票價(jià)格、外匯匯率以及利率的波動(dòng)。這就是他在1982年提出一種“自回歸條件異方差模型”（簡(jiǎn)記ARCH模型）。81克萊夫.格蘭杰提出的協(xié)整分析理論，我們后文介紹，這里不再展開(kāi)。本節(jié)研究?jī)?nèi)容：研究隨時(shí)間而變化的風(fēng)險(xiǎn)。（回憶：Markowitz均值－方差投資組合選擇模型怎樣度量資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)）本章模型與以前所學(xué)的異方差的不同之處：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的無(wú)條件方差雖然是常數(shù)，但是條件方差是按規(guī)律變動(dòng)的量。81引子---問(wèn)題的提出以前介紹的異方差屬

3、于遞增型異方差，即隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的變化隨解釋變量的增大而增大。但利率，匯率，股票收益等時(shí)間序列中存在的異方差卻不屬于遞增型異方差。例如，匯率，股票價(jià)格常常用隨機(jī)游走過(guò)程描述，yt=yt-1+εt其中εt為白噪聲過(guò)程，811995-2000年日元兌美元匯率時(shí)間序列及差分序列見(jiàn)圖1和圖2。圖1日元兌美元匯率序列JPY(1995-2000)圖2日元兌美元匯率差分序列（收益）D(JPY)81圖3收益絕對(duì)值序列(1995-2000)圖4D(JPY)的平方(1995-2000)81這種序列的特征是（1）過(guò)程的方差不僅隨時(shí)間變化，而且有時(shí)變化得很激烈。（2）按時(shí)間觀察，表

4、現(xiàn)出“波動(dòng)集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定時(shí)段中比較小，而在另一時(shí)段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖5給出高峰厚尾分布示意圖。81正態(tài)分布曲線(xiàn)高峰厚尾分布曲線(xiàn)圖5高峰厚尾分布特征示意圖81顯然現(xiàn)期方差與前期的“波動(dòng)”有關(guān)系。描述這類(lèi)關(guān)系的模型稱(chēng)為自回歸條件異方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通過(guò)預(yù)測(cè)yt或ut的變化量評(píng)估股票的持有

5、或交易對(duì)收益所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)有多大，以及決策的代價(jià)有多大；（2）可以預(yù)測(cè)yt的置信區(qū)間，它是隨時(shí)間變化的；（3）對(duì)條件異方差進(jìn)行正確估計(jì)后可以使回歸參數(shù)的估計(jì)量更具有有效性。81§1、ARCH模型1、條件方差多元線(xiàn)性回歸模型：條件方差或者波動(dòng)率（Conditionvariance，volatility）定義為其中是信息集。812、ARCH模型的定義Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回歸條件異方差）。ARCH(q)模型：（1）的無(wú)條件方差是常數(shù)，但是其條件分布為（2）8

6、1其中是信息集。方程（1）是均值方程（meanequation）ü：條件方差，含義是基于過(guò)去信息的一期預(yù)測(cè)方差方程（2）是條件方差方程（conditionalvarianceequation），由二項(xiàng)組成ü常數(shù)üARCH項(xiàng)：滯后的殘差平方81由于εt2的非負(fù)性，對(duì)ai應(yīng)有如下約束，ω>0,ai30,i=1,2,…q當(dāng)全部ai=0,i=1,2,…,q時(shí)，條件方差st2=ω。因?yàn)榉讲钍欠秦?fù)的，所以要求ω>0。思考題：方程（2）給出了的條件方差，請(qǐng)計(jì)算的無(wú)條件方差。813、ARCH模型的平穩(wěn)性條件為保證st2是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，(2)式的特征方程1-a1L-a2L2-

7、…-aqLq=0的根都應(yīng)在單位圓之外。對(duì)ai,i=1,2,…,q的另一個(gè)約束是0￡a1+a2+…+aq<181對(duì)(2)式求期望，st2=ω+a1E(εt-12)+a2E(εt-22)+…+aqE(εt-q2)=ω+a1st-12+a2st-22+…+aqst-q2當(dāng)T?￥時(shí)，s2=ω+a1s2+a2s2+…+aqs2則無(wú)條件方差81可見(jiàn)若保證st2是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，應(yīng)該有約束0￡(a1+a2+…+aq)<1。因?yàn)閂ar(yt)=Var(εt)=st2，所以上式可以用來(lái)預(yù)測(cè)yt的方差。綜上所述，ARCH模型的方差方程的的平穩(wěn)性條件有1)1-a1L-a2L2-…-

8、aqLq=0的根都應(yīng)在單位圓之外。2)0￡a1+a2