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1、泰勒公式及其應用摘要：泰勒公式是數(shù)學分析中的重要內容，集中體現(xiàn)了微積分中“逼近法”的思想，在理論分析和實際應用中經常涉及。本文首先闡述了泰勒公式的定義和基本內容，然后在基本概念的基礎上舉例實證，探討了泰勒公式在求極限，級數(shù)收斂，定積分，近似計算，根的存在性，函數(shù)的凹凸性及拐點，行列式計算這幾個方面的應用與技巧。通過這幾個方面的研究，使我們在特定的題設條件下形成特定的解題思路，使一些問題得到更好的解答。關鍵詞：泰勒公式；導數(shù)；極限；近似計算TaylorFormulaandIt”sApplicationsAbstract:TaylorForm

2、ulaisaveryimportantcontentofmathematicalanalysis,itcanintensivelyembodythesoulof“approximation“ofcalculus,anditisextensivelyappliedinthetheoreticalanalysisandpracticalapplication.Firstly,thispaperstatesthedefinitionandprimarycontentaboutit,thendiscussesitsapplicationsands

3、killsinsomeaspectsbyenumeratingexamplesbasingontheconcept,suchaslimitation,seriesconvergence,definiteintegral,approximatecalculation,existenceofroots,concavityandconvexityoffunction,flecnodeoffunction,determinantcalculation.Throughthestudyoftheaspectsabove,thispaperaimsto

4、formthespecialthoughtsinspecialsituations,andenableustosolvetheproblemmoreefficiently.Keyword:Taylorformula;derivative;limit;approximatelyconsiderations目錄1引言……………………………………………………………………………（1）2泰勒公式的基本理論…………………………………………………………（1）2.1泰勒公式的定義…………………………………………………………（1）2.2泰勒公式的類型………

5、…………………………………………………（2）3泰勒公式的應用………………………………………………………………（4）3.1利用泰勒公式判斷級數(shù)斂散性……………………………………………（4）3.2利用泰勒公式求極限………………………………………………………（5）3.3利用泰勒公式求近似值……………………………………………………（6）3.4利用泰勒公式證明不等式…………………………………………………（7）3.5利用泰勒公式研究函數(shù)的性質……………………………………………（8）3.6利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式………………………………（9

6、）4結論……………………………………………………………………………（10）參考文獻…………………………………………………………………………（12）泰勒公式及其應用1引言1715年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒公式：當時變稱作麥克勞林公式。1772年，拉格朗日強調了這條公式的重要性，而且稱之為微分學基本定理，但是泰勒在證明中并沒有考慮級數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴謹，直到十九世紀二十年代才由柯西完成。在初等函數(shù)中，多項式是最簡單的函數(shù)。因為多項式函數(shù)的運算只有加、減、乘三種運算。如果能將有理分式函數(shù)，特別是無理函數(shù)

7、和初等超越函數(shù)用多項式函數(shù)近似代替，而誤差又能滿足要求，顯然，這對函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計算都有重要意義。那么一個函數(shù)只有什么條件才能用多項式函數(shù)近似代替呢？這個多項式函數(shù)的各項系數(shù)與這個函數(shù)有什么關系呢？用多項式函數(shù)近似代替這個函數(shù)誤差又怎么樣呢？通過對數(shù)學分析的學習，我感覺到泰勒公式是微積分學中的重要內容，在函數(shù)值估測及近似計算，用多項式逼近函數(shù)，求函數(shù)的極限和定積分不等式、等式的證明等方面，泰勒公式是有用的工具2泰勒公式的基本理論2.1泰勒公式的定義我們在學習導數(shù)和微分概念時已經知道，如果函數(shù)在點處可導，則有即在點附近，用一次

8、多項式逼近函數(shù)時，其誤差為的高階無窮小量。然而在很多場合，取一次多項式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近，并要求誤差為，其中為多項式的次數(shù)。為此，我們考察任一次多項式逐次求它