《泰勒公式與泰勒級數(shù)的若干應(yīng)用》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。

1、泰勒公式與泰勒級數(shù)的若干應(yīng)用摘要：泰勒公式與泰勒級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中非常重要的數(shù)學(xué)工具，它是處理高階導(dǎo)問題的一個(gè)有效的武器，其應(yīng)用十分廣泛.本文首先介紹了泰勒公式與泰勒級數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，包括兩種余項(xiàng)的泰勒公式及一些常見為數(shù)的冪級數(shù)展開式：然后介紹了泰勒公式與泰勒級數(shù)的應(yīng)用，包括求極限、證明不等式、近似計(jì)算、求級數(shù)的和、判斷或證明級數(shù)的斂散性、行列式的計(jì)算等，并通過實(shí)例說明其在每一個(gè)方面上的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式泰勒級數(shù)應(yīng)用TaylorformulaandSomeApplicationsofTa

2、ylorSeriesAbstract：TheTaylorformulaandtheTaylorseriesofmathematicalanalysisisveryimportantmathematicaltooltodealwiththeproblemofahigherderivativeeffectiveweapon，whichiswidelyused.ThispaperintroducestheTaylorformulawiththeTaylorseriesofrelatedcontentincludestwomoretha

3、ntheTaylorformulaandsomeofthecommonfunctionsofpowerseriesexpansion;thenintroducedtheTaylorformulawiththeTaylorseriesofapplications，includingseekingthelimittoprovethatinequality，approximatecalculation,findtheseriesandtodetermineorproveconvergenceanddivergenceofseries，

4、thecalculationofthedeterminant，andthroughexampleoneveryaspectofitsapplication.Keywords：withtheremainderoftheTaylorformulaPeanowithLagrangeremainderoftheTaylorformulaTaylorseriesapplication若函數(shù)/在點(diǎn)可導(dǎo)，則有/(%)=/(xo)4-)(x-xo)+6>(x-xo),其誤差為U-&：)的高階無窮小量，然而在很多實(shí)際問題中僅取一次多項(xiàng)式逼近是不夠

5、的，有時(shí)需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式逼近，并要求誤差為于是泰勒公式與泰勒級數(shù)就體現(xiàn)出丫它們的優(yōu)勢，用收斂的泰勒級數(shù)或泰勒公式刻畫函數(shù)，可以使各種不冋類型的函數(shù)都統(tǒng)一為同一結(jié)構(gòu)的冪函數(shù)之和.泰勒公式與泰勒級數(shù)是利用高階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個(gè)重要手段，具有重要的應(yīng)用價(jià)值，木文主要介紹了泰勒公式與泰勒級數(shù)在求極限、證明不等式、近似計(jì)算、求級數(shù)的和、判斷級數(shù)斂散性、計(jì)算行列式等方而的應(yīng)用，特別是其在行列式計(jì)算方而的應(yīng)用，可以說是分析與代數(shù)的一個(gè)有很好的結(jié)合點(diǎn).巧妙合理的利用泰勒公式及泰勒級數(shù)，可以解決一些較難解決的高階導(dǎo)問題，泰勒公式與泰勒

6、級數(shù)的砬用遠(yuǎn)不止本文所介紹的這些，其在其他方面的座用有待于我們進(jìn)一步地研究和探討.1.泰勒公式與泰勒級數(shù)1.1泰勒公式1.1.1帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式定理1[8]若函數(shù)，在點(diǎn)X。存在直到"階導(dǎo)數(shù)，則有，+即,(xo)+,(xo)U_x。)+y)(x_x。)2+…+’^。)“_x。)"+O((x_jco)0當(dāng)xo=O吋，，(%)=八0)+/(0>+丄_^?+…+，稱為(帶有佩亞AZ!諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式1.1.2帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式定理2W(泰勒定理)若函數(shù)/在[6Z,/7]上存在直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在G/，/0內(nèi)存在(

7、《+1)階導(dǎo)函數(shù),則對任意給定的x，xQe[a,b]t至少存在一點(diǎn)fe(?,/?),使得/(x)=/(xo)+/'(x0)(又-xo)+’’t(>)(x-x0)2+???+’(X-x0)H當(dāng)X。=0時(shí),得到泰勒公式/W=/⑼+/'(0)x++…++’(:+(:)?+1(0<^<1)稱為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式.1.2泰勒級數(shù)泰勒公式與泰勒級數(shù)的不同之處是泰勒公式加上相應(yīng)的拉格朗口余項(xiàng)或佩亞諾余項(xiàng)，而泰勒級數(shù)不需要寫出其余項(xiàng).定理3[91設(shè)/在點(diǎn)X。具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么/在區(qū)間(xQ-r，xQ+z<)內(nèi)等于它的泰勒級數(shù)的

8、和函數(shù)的充分條件是：對一切滿足不等式>-人

9、<「的^，有l(wèi)im^W=on一^這里是/在&的泰勒公式余項(xiàng).如果/能在的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)/在&的這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù),并稱等式/W=/(Xo)+一X())+,(X—義0)2+…+’卜)(