《高考數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及解題思路方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

高考數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及解題思路方法考試內(nèi)容平面及其基本性質(zhì)．平面圖形直觀圖的畫法．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn平行直線．對(duì)應(yīng)邊分別平行的角．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn直線和平面平行的判定與性質(zhì)．直線和平面垂直的判定與性質(zhì)．點(diǎn)到平面的距離．斜線在平面上的射影．直線和平面所成的角．三垂線定理及其逆定理．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn平行平面的判定與性質(zhì)．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn考試要求數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（1）掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖;能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（2）掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（3）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn

1（4）掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面間的距離的概念，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（5）會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（6）了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（9）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn9（B）．直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體?數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn考試內(nèi)容：數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn平面及其基本性質(zhì)．平面圖形直觀圖的畫法．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn平行直線．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn直線和平面平行的判定與性質(zhì)．直線和平面垂直的判定．三垂線定理及其逆定理．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn兩個(gè)平面的位置關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn空間向量及其加法、減法與數(shù)乘．空間向量的坐標(biāo)表示．空間向量的數(shù)量積．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn直線的方向向量．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn直線和平面垂直的性質(zhì)．平面的法向量．點(diǎn)到平面的距離．直線和平面所成的角．向量在平面內(nèi)的射影．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn平行平面的判定和性質(zhì)．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)．

2數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn考試要求：數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（1）掌握平面的基本性質(zhì)。會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖：能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（2）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；理解直線和平面垂直的概念.掌握直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（3）理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（4）了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（5）掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)：掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間距離公式．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（6）理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（7）掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念.對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（8）了解多面體、凸多面體的概念。了解正多面體的概念．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn

3（10）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)。會(huì)畫正棱錐的直觀圖．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（11）了解球的概念.掌握球的性質(zhì).掌握球的表面積、體積公式．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（考生可在9（A）和9（B）中任選其一）?§09.立體幾何知識(shí)要點(diǎn)一、平面.1.經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.注：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).2.兩個(gè)平面可將平面分成3或4部分.（①兩個(gè)平面平行，②兩個(gè)平面相交）3.過(guò)三條互相平行的直線可以確定1或3個(gè)平面.（①三條直線在一個(gè)平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行）[注]：三條直線可以確定三個(gè)平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個(gè).4.三個(gè)平面最多可把空間分成8部分.（X、Y、Z三個(gè)方向）二、空間直線.1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線—共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線—共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線—不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).

4④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.（×）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段）⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2.異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）.（二面角的取值范圍）（直線與直線所成角）（斜線與平面成角）（直線與平面所成角）

5（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.5.兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.是異面直線，則過(guò)外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）一、直線與平面平行、直線與平面垂直.1.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥.（×）（平面外一條直線）②直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交.（×）（平面外一條直線）③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與平行.（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面.（×）（可能在此平面內(nèi)）⑤平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.（×）（兩個(gè)平面可能相交）

6⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）⑦直線與平面、所成角相等，則∥.（×）（、可能相交）3.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）4.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.l若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），得不出⊥.因?yàn)椤?，但不垂直O(jiān)A.l三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行）②垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面）

7③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）5.⑴垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn).[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]⑵射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上一、平面平行與平面垂直.1.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）4.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）

8注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.5.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因?yàn)閯t.6.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）7.⑴最小角定理：（為最小角，如圖）⑵最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒(méi)有.五、棱錐、棱柱.1.棱柱.⑴①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長(zhǎng)，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，

9是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形得出的.⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.⑶棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱.（×）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.⑷平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為

10，則.[注]：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形）②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）③對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.（×）（只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形）④棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）2.棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以.⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.[注]：i.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等iii.正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長(zhǎng)為，斜高為）

11③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附：以知⊥，，為二面角.則①，②，③①②③得.注：S為任意多邊形的面積（可分別多個(gè)三角形的方法）.⑵棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.⑥

12三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.[注]：i.各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直.簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令得，已知?jiǎng)t.iii.空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則為正方形.3.球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.①球的表面積公式：.②球的體積公式：.⑵緯度、經(jīng)度：

13①緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過(guò)點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.附：①圓柱體積：（為半徑，為高）②圓錐體積：（為半徑，為高）③錐形體積：（為底面積，為高）4.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，，，得.注：球內(nèi)切于四面體：②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.六.空間向量.1.（1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.注：①若與共線，與共線，則與共線.（×）[當(dāng)時(shí)，不成立]②向量共面即它們所在直線共面.（×）[可能異面]③若∥，則存在小任一實(shí)數(shù)，使.（×）[與不成立]

14④若為非零向量，則.（√）[這里用到之積仍為向量]（2）共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使.（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作∥.（4）①共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使.②空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡(jiǎn)證：P、A、B、C四點(diǎn)共面）注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使(這里隱含x+y+z≠1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是△BCD的重心，則向量用即證.3.（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.①令=(a1,a2,a3),，則∥

15(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)②空間兩點(diǎn)的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小（方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.II.競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)一、四面體.1.

16對(duì)照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心；②四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心；③四面體的四個(gè)面的重心與相對(duì)頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1；④12個(gè)面角之和為720°，每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之和為180°.2.直角四面體：有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形.（在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長(zhǎng)之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高），則有空間勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.3.等腰四面體：對(duì)棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據(jù)定義不難證明以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體.（在等腰四面體ABCD中，記BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h），則有①等腰四面體的體積可表示為；

17②等腰四面體的外接球半徑可表示為；③等腰四面體的四條頂點(diǎn)和對(duì)面重心的連線段的長(zhǎng)相等，且可表示為；④h=4r.二、空間正余弦定理.空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D