《重難點(diǎn)2-5 利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)與隱零點(diǎn)（7題型+滿分技巧+限時(shí)檢測）（解析版）.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重難點(diǎn)2-5利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)與隱零點(diǎn)導(dǎo)數(shù)綜合問題中的零點(diǎn)問題在高考中常以解答壓軸題的形式出現(xiàn)。主要包含函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷與證明。主要考查：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍、與零點(diǎn)相關(guān)的不等式恒成立或證明問題等，在高考中難度偏大?！绢}型1判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】滿分技巧1、判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法（1）直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖。函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．（2）分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值，畫出草圖．函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．只需要用a與函數(shù)的極值和最值進(jìn)行比較即可．2、處理函數(shù)與圖像的交點(diǎn)問題的常用方法（1）數(shù)形結(jié)合，即分別作出兩函數(shù)的圖像，觀察交點(diǎn)情況；（2）將函數(shù)交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，也通過構(gòu)造函數(shù)，把交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，并作出草圖，根據(jù)草圖確定根的情況.【例1】（2023·湖北荊門·高三荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，及時(shí)，的圖像如圖，得到有3個(gè)解.故選：D.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】【解析】令，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等于曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作圖易知，曲線和直線都過點(diǎn)，且都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或者為或者為.下面考察關(guān)于的方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)，令，其中，則對(duì)恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，關(guān)于的方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)為，因此，函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【變式1-2】（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，則存在，使得，畫出的圖象，如下：令，則，當(dāng)時(shí)，令，解得或，若，則，結(jié)合圖象可知，此時(shí)存在兩個(gè)根，，若，則，結(jié)合圖象可知，此時(shí)存在和滿足要求，當(dāng)時(shí)，令得，此時(shí)，結(jié)合圖象可知，此時(shí)存在兩個(gè)根，綜上，共6個(gè)零點(diǎn)，故選：C【變式1-3】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考一模）已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，已知，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．4B．5C．3或4D．4或5【答案】D學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】因?yàn)椋?，所以函?shù)的周期為2，當(dāng)時(shí)，，則，由，得，則，即，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又為上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，即，又，為上的奇函數(shù)，的周期為2，令，則，即，則，作出函數(shù)和在上的大致圖象：由圖象可知，函數(shù)和的交點(diǎn)為4個(gè)或5個(gè)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè).故選：D.【題型2討論證明函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】滿分技巧證明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法與判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法相似，多在解答題中進(jìn)行考察。利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。注意：單調(diào)性+零點(diǎn)存在=唯一零點(diǎn)【例2】（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：有唯一零點(diǎn)．【答案】（1）1；（2）證明見解析學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】（1）由易判斷在單調(diào)遞增，且，，所以可令，得，所以，由題意，即，所以；（2），則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，結(jié)合（1）可得存在唯一，使得，即函數(shù)有唯一零點(diǎn).【變式2-1】（2023·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線；（2）若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，則，，此時(shí)切線方程為，即；（2）證明：函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，得方程有兩解，即存在兩解．令，則，令，因?yàn)?，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，由，，所以存在，使得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 且，，，，所以在上遞增，在上遞減．所以，由，且，則任意，時(shí)，函數(shù)與有兩交點(diǎn)，故函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．【變式2-2】（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．（1）若的極小值為，求單調(diào)增區(qū)間；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【解析】（1）由題，得，其中，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以，解得．單調(diào)增區(qū)間和；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，的極小值為，的極大值為，，所以在區(qū)間有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以在區(qū)間各有1個(gè)零點(diǎn)，因此有三個(gè)零點(diǎn)，如圖①曲線；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，如圖②曲線；當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，如圖③曲線；當(dāng)時(shí)，，易知有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).【變式2-3】（2023·全國·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）若是的極值點(diǎn)，求；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，1個(gè)；當(dāng)時(shí)，2個(gè)；當(dāng)時(shí)，3個(gè)；【解析】（1）由已知可得，函數(shù)定義域?yàn)?，且，所?又是的極值點(diǎn)，所以，解得.代入可得，.設(shè)，則在上恒成立，所以單調(diào)遞增.又，所以，當(dāng)時(shí)，有，即，所以，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，即，所以，在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極小值，滿足題意.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，.（2）由已知可得，，，且，顯然，且.令，則.①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減.又，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有恒成立，所以，，即在上單調(diào)遞增.顯然時(shí)，有，則；.且，，.當(dāng)時(shí)，1個(gè)；當(dāng)時(shí)，2個(gè)；當(dāng)時(shí)，3個(gè)；【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】滿分技巧1、分離參數(shù)后，將原問題轉(zhuǎn)化為的值域（最值）問題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題（優(yōu)先分離、次選分類）求解；2、利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)造不等式求解；3、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解?！纠?】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)，則在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因?yàn)?，令，則，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 令，則，注意到，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，且當(dāng)趨近于或時(shí)，都趨近于，若在有2個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件為函數(shù)與圖象在第一象限有2個(gè)交點(diǎn)，所以，即有2個(gè)零點(diǎn)的充要條件為，若符合題意，則對(duì)應(yīng)的取值范圍為的真子集，結(jié)合選項(xiàng)可知：A錯(cuò)誤，BCD正確；故選：BCD.【變式3-1】（2024·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.畫出函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖知：.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以的取值范圍為，故選：B【變式3-2】（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)（1）求曲線在處的切線方程（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，令，得，則，，顯然，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由（1）知，，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，，即，則，因此，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，從而函數(shù)在上的函數(shù)值集合為，函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式3-3】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】（1）時(shí)，，所以，則，所以在處的切線方程為；（2）①由上知時(shí)，，有，令，即在上單調(diào)遞增，又，，所以時(shí)，，時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，且，所以，設(shè)，顯然時(shí)，即此時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知使得，又，易知，所以，由上證得，即，故使得，所以此時(shí)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；③時(shí)，，由①可知，所以此時(shí)無零點(diǎn)，不符合題意；綜上所述時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn).學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型4max、min函數(shù)的零點(diǎn)問題】【例4】（2022·江蘇徐州·高三期末）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)閷?duì)于任意，在總存在，使得，在上由于的增長速率比的增長速率要快得多，所以總存在，使得，所以在與上都趨于無窮大；令，則開口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故，.因?yàn)楹瘮?shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，而已經(jīng)有唯一零點(diǎn)，所以必須有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，即在處取不到零點(diǎn)，故至多只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以在處取得零點(diǎn)，結(jié)合圖像又知與必有兩個(gè)交點(diǎn)，故在與必有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有且只有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；綜上：，即，故選：C.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式4-1】（2022·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).（1）若過點(diǎn)可作的兩條切線，求的值.（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）或；（2）答案見解析【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為在直線上，則，令，則，令，解得，所以或要想讓切線有兩條，只需滿足或（2）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在取得最大值，，所以只需考慮在的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（i）若或，則當(dāng)時(shí)，在無零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，而在有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為①若，即在無零點(diǎn).②若，即，則在有唯一零點(diǎn)；③若，即，由于所以當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)綜上，當(dāng)有0個(gè)零點(diǎn)；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【變式4-2】（2022·福建龍巖·高三福建省龍巖第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示m，n的最大值，記，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】（1）在R上是增函數(shù)；（2）答案見解析【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即在R上是增函數(shù).（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）得，函數(shù)在單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，又，所以時(shí)，恒成立，即時(shí)，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的零點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn)下面討論函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：，所以①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又函?shù)在區(qū)間遞減，所以即當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，由得：當(dāng)時(shí)，遞增當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，又，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，由①得：當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以，，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，，即成立，由，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).【變式4-3】（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）用表示，中的最大值，記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1），；（2）答案見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，由得：或；由得：列表：01+00+極大值極小值∴；；（2）由知：（i）當(dāng)時(shí)，，故在上無零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，，知：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)時(shí)，，，是的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，不是的零點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，，故在的零點(diǎn)就是在的零點(diǎn).由得：，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴當(dāng)時(shí)，即在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即在上無零點(diǎn)；綜上所述：時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，無零點(diǎn).【題型5導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】滿分技巧有關(guān)三角函數(shù)的零點(diǎn)問題處理主要手段有：（1）分段處理；（2）討論好單調(diào)性與端點(diǎn)（特殊點(diǎn)），注意高階函數(shù)的應(yīng)用，直接能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性；（3）關(guān)注有關(guān)三角函數(shù)不等式放縮，有時(shí)候可優(yōu)化解題，避免繁雜的找點(diǎn)過程：；；【例5】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，，，函?shù)在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，因此，函數(shù)在處的切線方程為，即．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）令，則．因?yàn)?，則，則．當(dāng)時(shí)，則，故，從而在上單調(diào)遞減；而，故當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?，則，從而，即在上單調(diào)遞減；而，因此存在唯一的，使得，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．而，故；取，，所以存在唯一的，使得，即在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)．【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）若，求證：當(dāng)時(shí)，（2）若，求證：在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，，（），且．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）若，則．設(shè),，則，，所以在上單調(diào)遞增．所以．又在上單調(diào)遞增，所以．即當(dāng)時(shí)，．（2）若，則．令，得,設(shè)，．則．所以為奇函數(shù)．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，所以0是的一個(gè)零點(diǎn)．下面證明：函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)．因?yàn)?，，所以．所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．又，，所以在上存在唯一的零點(diǎn)．由（1）知當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，．設(shè)，，則．所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．所以當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，也僅有一個(gè)零點(diǎn)．所以在上有3個(gè)零點(diǎn)，分別為，，．即有3個(gè)零點(diǎn)，且．【變式5-2】（2023·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？计谀┮阎瘮?shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并加以證明.【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間，遞增區(qū)間；（2）2，證明見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，所以在單調(diào)遞增；綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間，遞增區(qū)間.（2），當(dāng)時(shí)，，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，可得，因?yàn)?，所以①?dāng)，，所以在單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，則，所以在上無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，則，所以在上無零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得=0，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【變式5-3】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】（1）.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上，有，在上，有,故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）時(shí)，.令，則.令.i.時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.又，存在一個(gè)零點(diǎn)，使.ii.，恒成立，在上單調(diào)遞減.又，，存在零點(diǎn)，使.，.在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.又，，存在一個(gè)零點(diǎn)，使.iii.，恒成立.在單調(diào)遞減，恒成立，在沒有零點(diǎn).iv.時(shí)，下面來證明當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，在上單調(diào)遞增，，恒成立.綜上所述，在只有兩個(gè)零點(diǎn).又是由向右平移一個(gè)單位所得，在只有兩個(gè)零點(diǎn).【題型6不含參函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題】滿分技巧1、不含參函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題的解策略：已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.2、“虛設(shè)零點(diǎn)”的具體操作方法：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程，并結(jié)合學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；這里應(yīng)注意，確定隱性零點(diǎn)范圍的方式是多種多樣的，可以由零點(diǎn)的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設(shè)直接得到，等等；至于隱性零點(diǎn)范圍精確到多少，由所求解問題決定，因此必要時(shí)盡可能縮小其范圍；第二步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到的最值表達(dá)式；這里應(yīng)注意，進(jìn)行代數(shù)式的替換過程中，盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對(duì)數(shù)函數(shù)式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入的關(guān)鍵；第三步：將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡證明；有時(shí)候第一步中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮?。畬?dǎo)函數(shù)零點(diǎn)雖然隱形，但只要抓住特征(零點(diǎn)方程)，判斷其范圍(用零點(diǎn)存在性定理)，最后整體代入即可．（即注意零點(diǎn)的范圍和性質(zhì)特征）【例6】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）記為的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)，都有，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題知，，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在處的切線方程為；（2）由題意，原不等式等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ?，使得，即，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，即．綜上所述，的取值范圍為．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式6-1】（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1），，．故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由（1）得．令函數(shù)，則，所以是增函數(shù)．因?yàn)?，，所以存在，使得，即．所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．因?yàn)?，所以，所以．故．【變?-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）；（2）2【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由題意，知對(duì)任意恒成立，可知對(duì)任意恒成立．設(shè)函數(shù)，只需．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得．設(shè)函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，所以存在，使，即，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以．又，所以，所以整數(shù)的最大值為2．【變式6-3】（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，.（1）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；（2）已知，若，函數(shù)的最小值為，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)根，因?yàn)?不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，即直線與函數(shù)（且）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).，令，得，在和上，，在上，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在時(shí)有極小值，圖象如圖所示：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由圖可知：若要使直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則或，綜上的取值所構(gòu)成的集合為.（2）由題意知，令，得，所以在上單調(diào)遞增.又，由零點(diǎn)的存在性定理知存在使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故又，所以，又，所以.令，則，在恒成立，在單調(diào)遞減，，由得.將代入，得.令，得，所以在單調(diào)遞減，又，所以的值域?yàn)?【題型7含參函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題】滿分技巧含參函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題解題策略：已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例7】（2024·吉林長春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，（2）當(dāng)時(shí)，判斷是否存在極值，并說明理由；（3），求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，理由見解析；（3）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，可得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋傻?，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，在上遞增，所以，又由，存在使得，存在使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以時(shí)，有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值.（3）由，可得，由，因?yàn)?，可得，令，則在上遞減，當(dāng)時(shí)，可得，則，所以，則，又因?yàn)椋沟?，即且?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以在遞增，在遞減，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由，可得，由，可得，即，由，可得，所以，因?yàn)?，設(shè)，則，可知在上遞增，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式7-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．（1）若，證明；（2）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，，，又易知在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，從而.（2）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，與同號(hào)，①當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且，，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，，又，所以函?shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且，，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 綜上所述，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)．【變式7-2】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）（1）求函數(shù)的極值；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）極小值為0，無極大值；（2）證明見解析【解析】（1）依題意，，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故的極小值為0，無極大值．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，則．令，則，易知在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，，故，使得，即①．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故②．由①可得，代入②，得，而，故，故，即原命題得證．【變式7-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.【解析】（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，則，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則在上單調(diào)遞減，而，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，，令，則，在上單調(diào)遞減，而，，則有，即，有，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在時(shí)取最大值，即，令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，即有，要證，即證，只需證，令，，則在上單調(diào)遞減，因此，，即成立，則有成立，所以當(dāng)時(shí)，不等式成立.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以不是的零點(diǎn)，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)時(shí)，令，得，令，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且當(dāng)時(shí)，，如圖所示，所以當(dāng)時(shí)，與的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故選：A.2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意知方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象恰有2個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴可以作出的大致圖象，如圖所示，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 易知直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，或，數(shù)形結(jié)合可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D．3．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，令，即，則，所以函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于曲線和在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，其圖像如圖所示，故的取值范圍為，故選：C.4．（2023·廣東中山·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，討論與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）函數(shù)與的圖象總有一個(gè)交點(diǎn)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）令，，題中問題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，因?yàn)椋?，所以有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以有唯一零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象總有一個(gè)交點(diǎn)．5．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知僅有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以可知的定義域?yàn)?，且，即，即，所以，解?（2）證明：①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)不合題意；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ②當(dāng)時(shí)，令，解得：或，又因，則要使得f（x）僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，此方程無解，此時(shí)不合題意；③當(dāng)時(shí)，即，令，解得或，符合題意，所以.令，則，令，解得：或，令解得：，故在，上遞增，在上遞減，又，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．6．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；（2）用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）極大值為，極小值；（2）答案見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得或，則和隨的變化如下表所示：0+0-0+0-極大極小極大∴在上有2個(gè)極大值：,在上有1個(gè)極小值．（2）由，知．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，∴，故在上無零點(diǎn)．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不是的零點(diǎn)．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，．故在的零點(diǎn)就是在的零點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，在是減函數(shù)，結(jié)合，可知，在有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，在是增函數(shù)，結(jié)合可知，在無零點(diǎn)，故在上無零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，使得時(shí)，在是增函數(shù)；時(shí)，在是減函數(shù)；由知，．當(dāng)，即時(shí)，在上無零點(diǎn)，故在上無零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，無零點(diǎn)7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在有一個(gè)零點(diǎn)，求.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，令，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，有最小值為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，命題得證.（2）若在有一個(gè)零點(diǎn)，則方程在上有一個(gè)解，即在上有一個(gè)解，令，，則，由得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以.8．（2023·安徽蚌埠·高三固鎮(zhèn)縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，時(shí)，又，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，令，易知在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在，使得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由得，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，，所以在上沒有零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以，因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，令，易知在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，則，由可知，則，又在上單調(diào)遞增，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可知，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司