《天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)Word版.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

2023-2024學(xué)年度高二年級(jí)第一學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷滿(mǎn)分：150時(shí)長(zhǎng)：100分鐘第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．每題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2．本卷共12題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。一、單選題(每題5分，共60分）1．直線的傾斜角為（????）A．B．C．D．2．已知向量，，且，則的值為（????）A．4B．-4C．5D．-53．如圖，在平行六面體中，，分別在棱和上，且，．若，則（????）A．B．0C．D．4．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（????）A．1B．3C．9D．815．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn) 是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（????）A．B．C．D．6．已知橢圓，直線l：（），直線l與橢圓的位置關(guān)系是（????）A．相離B．相切C．相交D．不確定7．在日常生活中，可以看見(jiàn)很多有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系的形象，如圖，某公園的一個(gè)窗戶(hù)就是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4米，短軸長(zhǎng)為2米的橢圓形狀，其中三條豎直窗欞將長(zhǎng)軸分為相等的四段，則該窗戶(hù)的最短的豎直窗欞的長(zhǎng)度為（????）A．B．C．2D．38．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（????）A．30°B．45°C．60°D．90°9．橢圓的弦被平分，則此弦所在的直線方程為（　　）A．B．C．D．10．已知圓心在軸上的圓與直線相切，且截直線所得的弦長(zhǎng)為，則圓的方程為（????） A．B．或C．D．或11．已知圓：，過(guò)直線：上一點(diǎn)P向圓作切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（????）A．5B．C．D．12．設(shè)分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)P，使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．第ⅠⅠ卷二．填空題（每題5分，共30分）13．圓與圓的公共弦所在的直線方程為．14．已知點(diǎn)，則直線的斜率的大小為.15．過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16．已知橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的離心率是.17．橢圓上的點(diǎn)P到直線的最大距離是,距離最大時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若圓上存在動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍是．三．解答題（共60分）19.已知直線和圓．(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)； (2)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程．20.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求直線FC到平面的距離．21.設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,左右焦點(diǎn).已知，.(1)求橢圓方程及離心率.(2)若斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于C,D兩點(diǎn).若,求直線的方程.22.．已知橢圓：：的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為.，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為E的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與E交于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足：軸且，求證：是定值. 參考答案：1．D【分析】利用直線斜截式可得其斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.【詳解】依題意，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)榈男甭蕿?，所以，則.故選：D.2．C【分析】向量垂直時(shí)，數(shù)量積等于零，向量數(shù)量積用坐標(biāo)進(jìn)行表示即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，即，則，故選：C.3．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量加法與數(shù)乘運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，故．故選：D.4．A【分析】根據(jù)條件，利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c的關(guān)系列式計(jì)算即得.【詳解】由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以的值為1.故選：A5．C【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由題意可知，，在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得， 則，所以，故選：C.6．C【分析】由題得直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），而該定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線和橢圓相交.【詳解】由題意知l：（）恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)（0,1）在橢圓內(nèi)部，所以直線l與橢圓相交．故選：C7．B【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，再結(jié)合題意計(jì)算即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，因?yàn)榇皯?hù)就是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4米，短軸長(zhǎng)為2米的橢圓形狀，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)槠渲腥龡l豎直窗欞將長(zhǎng)軸分為相等的四段，所以當(dāng)時(shí)，，所以最短窗欞的長(zhǎng)度為．故選：B??8．D【分析】連接，由已知條件可證得平面，從而可得，由此可得答案【詳解】連接，則， 因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，所以異面直線與所成的角為，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題9．D【分析】設(shè)以A（4，﹣2）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），A（4，2）為EF中點(diǎn)，得到x1+x2＝8，y1+y2＝﹣4，利用點(diǎn)差法能夠求出中點(diǎn)弦所在的直線方程．【詳解】設(shè)以為中點(diǎn)的橢圓的弦與橢圓交于，，∵為中點(diǎn)，∴，，把，分別代入橢圓中，得則①－②得，∴，∴，∴以為中點(diǎn)的橢圓的弦所在的直線的方程為，整理得，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的中點(diǎn)弦所在的直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．10．C【分析】由題意設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓與直線相切得 ，在由圓截直線的弦長(zhǎng)為得，聯(lián)立解出即可解決問(wèn)題.【詳解】由題設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)閳A與直線相切，所以有圓心到該直線的距離為半徑，即：，也即???①又圓截直線的弦長(zhǎng)為，設(shè)圓的圓心為到直線的距離為，所以，由有??????②聯(lián)立①②可得：，所以所求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：C.11．C【分析】當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PQ最小.【詳解】如圖所示：記圓心到直線：的距離為，則.因?yàn)椋援?dāng)直線與CP垂直，即時(shí)，最小，故.故選：C12．D【分析】利用中垂線的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程即可.【詳解】由題知，如圖所示：?? 設(shè)P，F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），由線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，即＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故選：D.13．【分析】?jī)墒较鄿p，即可得到兩圓公共弦所在的直線方程.【詳解】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：14．1【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式求斜率公式即可求解.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為.故答案為：1.15．【分析】方法一：由題意得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，由橢圓定義得，求出即可；方法二：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題中條件，列出方程組求解即可；方法三：由條件設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，求解即可.【詳解】方法一：由題意得.因此所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.由橢圓定義得， 即，所以.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.方法二：因?yàn)樗髾E圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在x軸上，且.設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則①.又點(diǎn)在所求橢圓上，所以，即②.由①②得，，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.方法三：由條件設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，得，解得或（舍去）.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.16．【分析】首先確定三個(gè)頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)幾何關(guān)系，建立方程，即可求離心率.【詳解】因?yàn)?，所以三個(gè)頂點(diǎn)應(yīng)是兩個(gè)短軸端點(diǎn)，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)，即，即，則，得.故答案為：21.第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分【分析】設(shè)與平行且與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式等于0求得c的值，把橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離轉(zhuǎn)化為與橢圓的相切的的直線和其平行線間的距離.【詳解】設(shè)直線與橢圓相切． 由消去x整理得.由得.當(dāng)時(shí)符合題意(舍去)．即x+2y+=0與橢圓相切,橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離即為兩條平行線之間的距離:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線和橢圓的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答本題的關(guān)鍵是理解橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，與這條直線和它平行且與橢圓的相切的直線間的距離的關(guān)系.18．【分析】設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的位置關(guān)系化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，所以，化簡(jiǎn)得．又動(dòng)點(diǎn)在圓上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得．故答案為：19．(1)相交，截得的弦長(zhǎng)為2.（6分）(2)或.（7分）【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解；（2）利用直線與圓相切與點(diǎn)到直線的距離公式的關(guān)系求解.【詳解】（1）由圓可得，圓心,半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.（2）若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不出在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，滿(mǎn)足題意；若過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在， 則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程為，即，綜上，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.20．(1)；（7分）(2).（8分）【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系，用向量法求出線面角的正弦值作答.（2）由（1）的坐標(biāo)系，利用向量法求線面距離作答.【詳解】（1）在正方體中，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，，，于是，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值是.??（2）由（1）知，，，顯然， 即，而平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，而點(diǎn)到平面的距離為，所以直線FC到平面的距離是.21.（1）（7分）(2)（8分）22.【詳解】（1）由題意可得，得，，橢圓；（4分）（2）由（1）知：；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，由得：，則，解得：，，，，，即，，即，整理可得：，或；當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線，恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在且恒過(guò)時(shí)，即， 由得：，，滿(mǎn)足題意；綜上所述：直線恒過(guò)定點(diǎn).（6分）（3）由題意可得，，設(shè)，，，則，由，可得，；直線的方程為，得，與橢圓方程聯(lián)立，可得，所以，即有，所以．所以，是定值．，從計(jì)算出，最后即可證明定值.（6分）