《重慶市第八中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重慶八中2023—2024學(xué)年度高二年級（上）半期考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足：，則（）A.B.1C.iD.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求z，進(jìn)而求其模長.【詳解】因為，即，可得，所以.故選：B.2.若橢圓的離心率為，則（）A.3或B.C.3或D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦點位置分類討論，利用離心率計算求解即可.【詳解】若橢圓焦點在上，則，所以，故，解得，若橢圓焦點在上，則，所以，故，解得，綜上，或. 故選：C3.“直線與圓相切”是“”的（）條件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相切求的值，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為圓，即，可知圓心為，半徑為1，若直線圓相切，則，解得或，又因為是的真子集，所以“直線與圓相切”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知D，E分別為的邊BC，AC的中點，且，，則為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，結(jié)合中線性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】因為，，且，，可得，，所以，整理得．故選：C． 5.若曲線C上存在點M，使M到平面內(nèi)兩點距離之差的絕對值為8，則稱曲線C為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知M的軌跡為：，即與其有交點的曲線都是“好曲線”，結(jié)合圖形即可判斷不是“好曲線”的曲線.【詳解】由題意知：M平面內(nèi)兩點，距離之差的絕對值為8，由雙曲線定義知：M的軌跡以為焦點的雙曲線且，即軌跡方程為：，可知：“好曲線”一定與有交點，結(jié)合各選項方程的曲線知：所以不是“好曲線”的是.故選：B.6.如圖所示，雙曲線型冷卻塔外形，是離心率為3的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，已知該冷卻塔的上口半徑為3cm，下口半徑為4cm，高為8cm（數(shù)據(jù)以外壁即冷卻塔外側(cè)表面計算），則冷卻塔的最小直徑為（） A.cmB.cmC.cmD.cm【答案】C【解析】【分析】先作出雙曲線圖，根據(jù)圖像代入點，求出點的坐標(biāo)，最后求出的值.【詳解】如圖所示，根據(jù)題意，作出冷卻塔的雙曲線函數(shù)圖，設(shè)雙曲線方程為，因為冷卻塔的上口半徑為3cm，下口半徑為4cm，高為8cm，所以設(shè)雙曲線上的點且，將代入可得，兩式相減得，又雙曲線離心率為3，所以，所以，代入可得，得，所以，將點代入可得，解得，所以冷卻塔的最小直徑為，故選：C 7.已知點M是圓上的動點，點N是圓上的動點，點P在直線上運(yùn)動，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，求點關(guān)于直線對稱的點為，結(jié)合對稱性分析求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，則，即，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，即，因為，則，所以的最小值為.故選：D.8.點分別為橢圓的左、右焦點，點P，Q為C 上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，，的面積為，e為橢圓的離心率，則為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知：為矩形，利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理和面積關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性可知：為平行四邊形，且，所以為矩形，可知的面積即為的面積，設(shè)，則，可得，由面積關(guān)系可得，即，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共計20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.若三條不同的直線能圍成一個三角形，則m的取值不可能為（）A.B.C.D.1【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合若或或重合時，結(jié)合兩直線的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.【詳解】由直線， 若或重合時，則滿足，解得；若或重合時，則滿足，解得；若經(jīng)過直線與的交點時，此時三條直線不能圍成一個三角形，聯(lián)立方程組，解得，即交點，將點代入直線，可得，解得.故選：ABC.10.橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與C交于P，Q兩點，且點Q在第四象限，若，則（）A.為等腰直角三角形B.C的離心率等于C.的面積等于D.直線l的斜率為【答案】ABC【解析】【分析】由線段比例關(guān)系以及橢圓定義可知，且滿足，即可得A正確；易知可得C正確；在等腰直角三角形中，可知直線的斜率為，計算可得的離心率等于.【詳解】對于選項A：因為，不妨設(shè)，又因為，可得；利用橢圓定義可知，所以；即，所以點即為橢圓的上頂點或下頂點，如下圖所示： 由，可知滿足，所以，故A正確；對于選項B：在等腰直角三角形中，易知，即可得離心率，故B正確；對于選項C：因為為等腰直角三角形，且，因此的面積為，故C正確；此時可得直線的斜率，故D錯誤；故選：ABC.11.如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱BC和CD的中點，則（）A.與是異面直線B.與EF所成角的大小為C.與平面所成角的正弦值為D.二面角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)異面直線的概念可得“平面內(nèi)一點與平面外一點的連線，與此平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線異面直線”可知A正確；作出異面直線所成的角判斷B，建立空間直角坐標(biāo)系，向量法判斷CD. 【詳解】對A，因為在平面外，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，所以與是異面直線，故A正確；對B，由中點知，,又，所以，即為與EF所成的角，在等邊中，，故B錯誤；以為原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，，，，，，由題意可知，平面的法向量可取，，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為，故C錯誤；又，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，則，又因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為，故D正確. 故選：AD．12.已知拋物線的焦點坐標(biāo)，圓，直線與C交于A，B兩點，與E交于M，N兩點（A，M在第一象限），O為坐標(biāo)原點，則下列說法中正確的是（）A.B.若，則C.D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再求出；對于C：由于直線過圓心，則由圓的性質(zhì)可得，從而可進(jìn)行判斷；對于B，利用弦長公式求出，而，然后由題意列方程可求出的值；對于D：由題意可得，再結(jié)合拋物線的性質(zhì)化簡計算即可.【詳解】因為拋物線的焦點坐標(biāo)，則，解得，可知拋物線，對于選項A：設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，所以，即，故A錯誤；對于選項C：因為直線恒過圓心，則，可得，所以，故C正確；對于選項B：因為直線過拋物線的焦點，所以， 因為，，所以，解得，所以B正確；對于選項D：因為直線過拋物線的焦點，所以，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分．13.已知向量夾角為，且，，則______．【答案】【解析】【分析】由，再根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】解：因為.故答案為：14.直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得曲線C是以為圓心，1為半徑的右半圓，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】由，可得且，所以曲線是以為圓心，半徑為的右半圓， 直線過定點，斜率為，如圖，當(dāng)直線過時，可得，當(dāng)直線與曲線相切時，則，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：15.過拋物線上的點且與圓有且只有一個公共點的直線有______條．【答案】3【解析】【分析】由已知求出點或.先求解直線斜率不存在時的方程；然后設(shè)斜率，得出點斜式方程，表示出圓心到直線的距離，列出方程，求解即可得出斜率，進(jìn)而得出直線方程.【詳解】由題意可知，，解得，則點或，且圓的圓心，半徑.①當(dāng)點時當(dāng)直線斜率不存在時，此時方程為，與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，此時直線方程為，即. 因為直線與圓相切，所以圓心到的距離，即，整理可得，解得，所以直線方程為；②當(dāng)點時當(dāng)直線斜率不存在時，此時方程為，與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，此時直線方程為，即.因為，直線與圓相切，所以圓心到的距離，即，整理可得，解得，所以直線方程為；綜上所述：直線方程為或或，共有3條.故答案為：3.16.貴州榕江“村超”火爆全網(wǎng)，引起旅游愛好者、社會名流等的廣泛關(guān)注．足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗蹴鞠的場景．已知某“鞠”的表面上有四個點A、B、C、D，連接這四點構(gòu)成三棱錐A-BCD如圖所示，頂點A在底面的射影落在內(nèi)，它的體積為，其中和都是邊長為2的正三角形，則該“鞠”的表面積為______．【答案】【解析】【分析】由線面垂直關(guān)系，利用分割法求三棱錐體積，由垂直關(guān)系結(jié)合球心性質(zhì)找到球心位置，再運(yùn)算求解球半徑即可. 【詳解】如圖，取的中點，連接，，因為，，又平面，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，同理可證，平面平面，設(shè)和的中心分別為、，在平面內(nèi)，過、分別作的垂線，設(shè)交點為，即，又平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可知：平面，同理可得：平面，即球心為，設(shè)“鞠”的半徑為，連接，則，即：，又因為，，所以，又頂點A在底面的射影落在內(nèi)，則，由，為公共邊，得與全等，則為的角平分線，所以.在中，因為，則，在中，，則， 所以該“鞠”的表面積.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.如圖，S為圓錐頂點，O是圓錐底面圓的圓心，AB，CD為底面圓的兩條直徑，，且，P為母線SB上一點，．（1）求證：平面PCD；（2）求圓錐SO的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)PO，由中位線性質(zhì)有，利用線面平行的判定定理即可證結(jié)論；（2）根據(jù)已知求底面半徑，進(jìn)而求出底面積，應(yīng)用圓錐體積公式求體積.【小問1詳解】連結(jié)PO，如圖，∵P、O分別為SB、AB的中點，∴，又平面PCD，平面PCD，∴平面PCD.【小問2詳解】 ∵，P為SB的中點，∴∴，則底面圓面積，∴圓錐體積.18.已知過拋物線的焦點，斜率為1的直線交拋物線于..，且．（1）求該拋物線的方程；（2）在拋物線C上求一點D，使得點D到直線的距離最短．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達(dá)定理，再根據(jù)焦點弦公式計算可得；（2）設(shè)，再利用點到直線的距離及二次函數(shù)求最小值即可得解.【小問1詳解】如圖， 由已知得焦點，∴直線l的方程為，聯(lián)立，消去整理得設(shè)，，則，，，∴拋物線C的方程為【小問2詳解】設(shè)，則到直線的距離，當(dāng)時，，此時，所以.19.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D在邊BC上，且點D是靠近C的三等分點， ．（1）若，的面積為1，求b；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式可求得，再求得的值，利用余弦定理可求得的值；（2）在中，利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式化簡可得出的值.【小問1詳解】如圖，因為，，，則等腰直角三角形，且，因為，所以，所以，所以，則，，，在中，由余弦定理可得:，故.【小問2詳解】在中，由正弦定理可得， 即，即，由正弦定理可得，所以，即.20.如圖1，四邊形ABCD是梯形，，，點M在AB上，，將沿DM折起至，如圖2，點N在線段上．圖1圖2（1）若，求證：平面平面；（2）若，平面DNM與平面CDM夾角的正弦值為，求值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，得，再根據(jù)線面垂直可得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理分析證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求兩個平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】取中點，連接，因為為等邊三角形，則，且，平面，平面，由平面，所以， 又因為，所以，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由題意可得：，且，所以，可得，而，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，可得，得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，由，令，則，可得，由題意可知：平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則 則，即，解得，或（舍去）.所以.21.橢圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓垂直于長軸的弦長公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線是否存在斜率，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為該橢圓的離心率為，所以有，在方程中，令，解得，因為過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1，所以有，由可得：，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線不存在斜率時，由題意可知直線與橢圓有兩個交點，與縱軸也有兩個交點不符合題意；當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)為，所以直線的方程設(shè)為， 于是有，因為該直線與橢圓有兩個交點，所以一定有，化簡，得，設(shè)，于有，因為，所以，代入中，得，于是有，化簡，得，代入中，得.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是由向量等式得到.22.已知雙曲線的漸近線為，左焦點為F，左頂點M到雙曲線E的漸近線的距離為1，過原點的直線與雙曲線E的左、右支分別交于點C、B，直線FB與雙曲線E的左支交于點A，直線FC與雙曲線E的右支交于點D． （1）求雙曲線E的方程；（2）求證：直線AD過定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程求，由此可得雙曲線方程；（2）設(shè)，分別聯(lián)立直線，與雙曲線方程，結(jié)合關(guān)于系數(shù)關(guān)系求點A和點坐標(biāo)，利用點斜式表示直線的方程，再證明直線過定點.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因為雙曲線的漸近線為，則，又因為左頂點到雙曲線E的漸近線的距離為，解得，則，所以雙曲線的方程為．【小問2詳解】設(shè)，若，則，故，直線的方程為；若，設(shè)直線的方程為，直線的方程與雙曲線聯(lián)立，．又，則 所以，即．同理，則，則直線方程為，令，則，即所以直線過定點．